苏科版九年级数学下册试题 6.4探索三角形相似的条件（含答案）

6.4探索三角形相似的条件
一．选择题
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③；④AD BC＝DE AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（　　）
A．1个 B．2 C．3个 D．4个
2．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C． D．
3．有一锐角相等的两个直角三角形一定（　　）
A．全等 B．相似
C．既不全等也不相似 D．相似但不全等
4．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD AB
5．下列两个三角形不一定相似的是（　　）
A．两条直角边的比都是2：3的两个直角三角形
B．腰与底的比都是2：3的两个等腰三角形
C．有一个内角为50°的两个直角三角形
D．有一个内角是50°的两个等腰三角形
6．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（　　）
A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD
7．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则以下结论中：①F为CD的中点；②3AM＝2DE；③tan∠EAF；④PN；⑤△PMN∽△DPE，正确的结论个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，△ABC和阴影三角形的顶点都在小正方形的顶点上，则与△ABC相似的阴影三角形为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、B（﹣2，0）、C（2，3）、D（2，0）．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，一直角三角板的直角顶点与点D重合，这块三角板绕点D旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于G、H，则在运动过程中，△ADG与△CDH的关系是（　　）
A．一定相似 B．一定全等 C．不一定相似 D．无法判断
11．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，AE、AF分别交BD于点M、N，连接CN、EN，且CN＝EN．下列结论：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③；④图中只有4对相似三角形，其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题
12．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P是边AB上一点，将△ABC沿经过点P的直线折叠，使得点A落在边BC上的A′处，若△PBA′恰好和△ABC相似，则此时AP的长为　 　．
13．如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，且CE：DE＝1：3，点P在BC上，如果△PCE与以A、B、P为顶点的三角形相似，则这样的点P有　 　个．
14．如图，在△ABC与△AED中，，要使△ABC与△AED相似，还需添加一个条件，这个条件可以是　 　（只需填一个条件）．
15．如图，∠DAB＝∠EAC，请补充一个条件：　 　，使△ADE∽△ABC（只写一个答案即可）．
16．如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有　 　对．
17．在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D请你添加一个适当的条件：　 　，使得△ABC∽△DEF．（注：不能添加任何数字、辅助线和字母）
18．如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①OH⊥BE：②△EHM∽△FHG：③：④2，其中正确的结论是　 　．
19．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是　 　．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠∠C，使点C的对应点D恰好落在边AB上，若△EFC和△ABC相似，则AD的长为　 　．
21．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．
（Ⅰ）矩形对角线BD的长为　 　；
（Ⅱ）点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，点P，E的对应点分别是点D，C，若△APD是等腰三角形，则PE的长为　 　．
22．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，D是AB上一点且AD＝2cm，点E在边AC上，当AE＝　 　cm时，使得△ADE与△ABC相似．
23．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有　 　条．
三．解答题
24．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．
（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？
25．如图，∠1＝∠2，∠D＝∠A．求证△ABC∽△DBE．
26．如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AD的中点，EF⊥BE，且交BC于点F，求证：△DEF∽△EBF．
27．如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至点D，使得BC＝CD．求证：△AEB∽△CED．
28．根据下列图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x和y的值．
29．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝16cm，AB＝8cm，动点D从点B出发，沿BA方向运动；同时动点E从点A出发，沿AC方向运动．如果点E的运动速度为4cm/s，点D的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△ADE相似？
30．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．
求证：（1）△BAC∽△DAE；
（2）△BAD∽△CAE．
答案
一．选择题
C．D．B．B．D．D．D．C．B．A．B．
二．填空题
12．或22．
13．2．
14．∠B＝∠E（答案不唯一）．
15．∠D＝∠B（答案不唯一）．
16．6．
17．∠B＝∠DEF（答案不唯一）．
18．②③．
19．5．
20．或．
21．10；或3．
22．或1.5．
23．3．
三．解答题
24．解：（1）设经过x秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的，
，
解得：x1＝x2＝4，
答：经过4秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒，△PCQ与△ABC相似，
因为∠C＝∠C，
所以分为两种情况：①，
，
解得：t；
②，
，
解得：t；
答：经过秒或秒时，△PCQ与△ABC相似．
25．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ABD＝∠2+∠ABD，
∴∠ABC＝∠DBE，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DBE．
26．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEF＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∴，
∵∠A＝∠BEF＝90°，AE＝DE，
∴，
∴△DEF∽△EBF．
27．证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵BC＝CD，
∴∠CDE＝∠CBE＝∠ABE．
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED．
28．解：图（1）
∵∠1＝∠2，∠G＝∠I＝90°，
∴△FHG∽△JHI，
∴
∴x＝4，y＝10，
图（2）由条件无法判断两个三角形相似．
29．解：设同时运动ts时两个三角形相似，
根据题意可知：
AC＝16，AB＝8，AD＝AB﹣DB＝8﹣2t，AE＝4t，
当△DAE∽△CAB，则，
，
解得t＝0.8；
当△DAE∽△BAC，则，
，
解得t＝2．
答：同时运动0.8s或者2s时两个三角形相似．
30．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．
∴△BAC∽△DAE；
（2）∵△BAC∽△DAE，
∴，
∴，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE．