苏科版九年级数学下册试题 6.5相似三角形的性质（含答案）

6.5相似三角形的性质
一．选择题
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，，记△ADE的面积为S1，四边形DBCE的面积为S2，则的值是（　　）
A． B． C． D．
2．下列结论正确的个数是（　　）
（1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是六边形；
（2）如果一个三角形的三边长分别为6、8、10，则最长边上的中线长为5；
（3）若△ABC∽△DEF，相似比为1：4，则S△ABC：S△DEF＝1：4；
（4）若等腰三角形一个角为80°，则底角为80°或50°．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在平行四边形中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，下列结论：①BE＝DF；②AG＝GH＝HC；③EGDH；④S△ABE＝3S△AGE．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若△ADE的面积为1，则四边形DECB的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．如图，在 ABCD中，E为CD边上的中点，AE交BD于点O，若S△DOE＝2，则 ABCD的面积为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
6．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△DOE与S△COE的比是（　　）
A．1：25 B．1：5 C．1：4 D．1：3
7．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（　　）
A．45cm，85cm B．60cm，100cm C．75cm，115cm D．85cm，125cm
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OG⊥AB，垂足为G，延长GB至点E，使得GE＝BC，连接OE交BC于点F．若AB＝12，BC＝8，则BF的长为（　　）
A．1 B． C． D．2
9．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC矩形所截，AB被截成三等分，图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2．现分别任作△ABC的内接矩形P1Q1M1N1，P2Q2M2N2，P3Q3M3N3，设这三个内接矩形的周长分别为c1、c2，c3，则c1+c2+c3的值是（　　）
A．6 B． C．12 D．
12．如图，四边形ABCD是正方形，以BC为底边向正方形外部作等腰直角三角形BCE，连接AE，分别交BD，BC于点F，G．则下列结论：①△AFB≌△ABE；②△ADF∽△GCE；③CG＝3BG；④AF＝EF，其中正确的有（　　）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
二．填空题
13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于　 　．
14．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（6，0）、C（0，4），点P在BC边上运动，过P作PQ⊥OP，交AB边于Q，则AQ的最小值为　 　．
15．如图，在四边形ABCD中，连接AC，DE⊥AC于点E，∠ACB＝90°，∠EDC+∠BAC＝45°，AC＝DE，AB＝6，CD＝5，则线段DE的长为　 　．
16．如图，矩形ABCD中，点E在边BC上，EF⊥AE交AD于点F，若AB＝2，BC＝7，BE＝5，则FD的长度为　 　．
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，在△ABC的外部和内部（不包括边）分别取一点D，E，若AD＝AE＝4，BD＝8，CE＝2，∠CAD的补角等于∠CAE，则下列结论：
①点A在线段DE的垂直平分线上；②△ACE∽△BAD；③∠ACB+∠ABC＝∠BAD+∠CAE；④BC的最大值是14．其中正确的结论是　 　（填写所有正确结论的序号）．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝20，点M是AB的中点，点N是AC的中点，连接MN，点P是边BC上一点，PC＝17，点Q是线段PC上的一个动点，连接MQ，PN，MQ与PN相交于点R．若△PQR是直角三角形，则MR的长是　 　．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为对角线BD的中点，点F在CB的延长线上，且BF＝1，连接EF，过点E作EG⊥EF交BA的延长线于点G，连接GF并延长交DB的延长线于点H，则　 　．
20．如图，等边三角形ABC中，AB＝3，点D是CB延长线上一点，且BD＝1，点E在直线AC上，当∠BAD＝∠CDE时，AE的长为　 　．
21．已知：如图，正方形ABCD的边长为，∠EAF为∠BAD内的一个动角，两边分别交正方形的两个外角平分线于点E、F，且满足∠EAF＝45°，连接EF、EC、CF，则BE DF＝　 　．
22．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM＝PN；②△ABM∽△ACN；③；④△PMN为等边三角形；⑤当∠ABC＝45°时，BNPC．
其中正确的是　 　．（请填序号）
三．解答题
23．如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE．
（2）若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长．
24．如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，．
（1）求证：∠APD＝∠C；
（2）如果AB＝3，DC＝2，求AP的长．
25．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长
26．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，试说明：
（1）△ABE∽△ACD；
（2）AD BC＝DE AC．
27．阅读与思考：
阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使AD＝DE，点F是上的一点，且，连接BF可得BF＝BE．
（1）将上述问题中弦AB改为直径AB，如图1所示，试证明BF＝BE；
（2）如图2所示，若直径AB＝10，EOOB，作直线l与⊙O相切于点F．过点B作BP⊥l于点P．求BP的长．
28．如图，BD、CE是△ABC的高．
（1）求证：△ACE∽△ABD；
（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的长．
29．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ABE＝∠C．
（1）求证：BE2＝DE BC；
（2）当BE平分∠ABC时，求证：．
30．如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC，BD相交于点O．
（1）求边AB的长；
（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．
①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；
②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．
31．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②求λ的值．
答案
一．选择题
A．B．D．B．D．B．C．A．C．B．C．B．
二．填空题
13．．
14．．
15．．
16．．
17．①③．
18．或．
19．．
20．2或．
21．3．
22．①②③④⑤．
三．解答题
23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠F＝90°
∵EF⊥CE，
∴∠CED+∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CED＝∠F，又∵∠A＝∠D＝90°，
∴△AFE∽△DEC．
（2）∵△AFE∽△DEC，
∴，
∵AB＝CD＝3，AE＝4，DE＝6，
∴，
解得BF＝5．
答：线段BF的长为5．
24．证明：（1）∵PA⊥AB，DP⊥BC，
∴∠BAP＝∠DPC＝90°，
∵
∴，
∴Rt△ABP∽Rt△PCD，
∴∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，
∵∠DPB＝∠C+∠CDP＝∠APB+∠APD，
∴∠APD＝∠C；
（2）∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC＝3，且CD＝2，
∴AD＝1，
∵∠APD＝∠C，∠CAP＝∠PAD，
∴△APC∽△ADP，
∴
∴AP2＝1×3＝3
∴AP．
25．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，
∵∠BEF＝90°，
∵∠ABE+∠EBA＝∠DEF+∠EBA＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，
∴DF＝1，CF＝3，
∵△ABE∽△DEF，
∴，即，
解得：DE＝2，
∵AD∥BC，
∴△EDF∽△GCF，
∴，即，
∴CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝4+6＝10．
26．解：（1）∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE∽△ACD；
（2）∵△ABE∽△ACD，
∴，
在△ADE和△ACB中，
，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴AD BC＝DE AC．
27．解：（1）如图1所示，连接CE、BC，
∵CD⊥AB，AD＝DE，
∴AC＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
又∵，
∴CA＝CF，∠FBC＝∠EBC，
∴CE＝CF，
又∵∠A+∠F＝180°，∠CEA+∠CEB＝180°，
∴∠CEB＝∠F，
∴△CEB≌△CFB（AAS），
∴BE＝BF；
（2）如图2所示，连接AF，
∵AB＝10，EO，
∴EB＝7.5，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵l与与⊙O相切于点F，
∴∠OFP＝90°，
∴∠AFO＝∠BFP，
又∵OF＝OA，
∴∠OAF＝∠OFA，
∴∠OAF＝∠BFP，
∵BP⊥l于点P，
∴∠BPF＝90°，
∴△AFB∽△FPB，
∴，
即，
∴．
28．解：（1）证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ACE∽△ABD；
（2）在Rt△ABD中，BD＝8，AD＝6，
根据勾股定理，得
AB10，
∵△ACE∽△ABD，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴，
∵DE＝5，
∴BC．
29．证明：（1）∵DE∥BC，
∴∠BED＝∠CBE，
又∵∠ABE＝∠C，
∴△BDE∽△CEB，
∴，
∴BE2＝DE BC．
（2）∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C．又∠ABE＝∠C，
∴∠AED＝∠ABE，
又∵∠EAD＝∠BAE，
∴△ADE∽△AEB，
∴，
∵DE∥BC，
∴，即，
∴，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
又∵∠ABE＝∠C，
∴∠CBE＝∠C，
∴BE＝CE，
∴．
30．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△AOB为直角三角形，且OAAC＝1，OBBD．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB2．
（2）①△AEF是等边三角形．理由如下：
∵由（1）知，菱形边长为2，AC＝2，
∴△ABC与△ACD均为等边三角形，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝60°，
又∵∠EAF＝∠CAF+∠CAE＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF．
在△ABE与△ACF中，
∵，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形，
又∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
②BC＝2，E为四等分点，且BE＞CE，
∴CE，BE．
由①知△ABE≌△ACF，
∴CF＝BE．
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA＝∠GFC+∠FCG+∠CGF＝180°（三角形内角和定理），
∠AEG＝∠FCG＝60°（等边三角形内角），
∠EGA＝∠CGF（对顶角）
∴∠EAC＝∠GFC．
在△CAE与△CFG中，
∵，
∴△CAE∽△CFG，
∴，即，
解得：CG．
31．解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，
∴BE＝EC＝1，
∴AE，
∴EF，
∴CF＝EF﹣EC1；
（2）①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FCG中
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
即点G为CD的中点；
②设CD＝2a，则CG＝a，
由①知，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴，
∵GC＝a，FC＝2a，
∴，
∴，
∴ECa，BE＝BC﹣EC＝2aaa，
∴λ．