九年级数学下册试题 第六章《图形的相似》单元复习-苏科版（含答案）

第六章《图形的相似》单元复习
一．选择题
1． 已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（　　）
A．若△AEF与△ABC相似，则EF∥BC
B．若AE×BE＝AF×FC，则△AEF与△ABC相似
C．若，则△AEF与△ABC相似
D．若AF BE＝AE FC，则△AEF与△ABC相似
2． 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于F，连接DF，若BF，BC＝3，则DF＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
3． 如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC、BE、DO、DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①② D．②③④
4． 如图，AB∥CD∥EF，AD＝4，BC＝DF＝3，则BE的长为（　　）
A． B． C．4 D．6
5． 如图，Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，在OB上截取BC＝BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交数轴于点P，则OP的中点D对应的实数是（　　）
A． B． C．1 D．1
6．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
7． 如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　）
A．16 B．17 C．24 D．25
8． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（　　）
A．14 B．15 C．8 D．6
9． 如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为（　　）
A．5 B． C．5或 D．6
10．如图，在 ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与 ABCD的面积之比为（　　）
A．7：12 B．7：24 C．13：36 D．13：72
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的大小变化的情况是（　　）
A．一直减小 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
二．填空题
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝24，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为　 　．
13．已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BEAB，F为AC上一点，且CFAC，EF交AD于P，则EP：PF＝　 　．
14．如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BE：BC：2；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的序号是　 　．
15．如图，在△ABC中，D是AB中点，DE∥BC，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长为　 　．
16．如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（5，0），O（0，0），B（3，6），以点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B'的坐标是　 　．
17．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，CE与BD相交于点F．设DE＝x，BF＝y，当0≤x≤8时，y关于x的函数解析式为　 　．
18．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD上，且∠BEF＝90°，EFBE，DF，则BE＝　 　．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE交于点F．若∠BFE＝45°，则CE＝　 　．
20．如图，等边△EFG内接于正方形ABCD，其中，E，F，G分别在边AD，AB，CD上，若2．则　 　．
21．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上一点，C是的中点，连结AC交BD于点E，连结AD，若BE＝4DE，CE＝6，则AB的长为　 　．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝　 　．
23．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E分别在边AC、BC上，点F、G在AB边上．当四边形DEFG是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长l的取值范围是　 　．
三．解答题
24．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，求它的内接正方形CDEF的边长．
25．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是边AD、AB的中点，点P是BC延长线上一点，且EP⊥EB，过点F作FH∥BP，分别交EB、EP于G、H两点，将△EGH绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到△EMN（M、N分别是G、H的对应点），使直线MN恰好经过点B．
（1）求BP的长；
（2）△EBM与△EPN相似吗？说明理由；
26．如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上任意一点（点P不与B、C重合），连接AP，作PQ⊥AP，交CD于点Q，若AB＝6，BC＝8．
（1）试证明：△ABP∽△PCQ；
（2）当BP为多少时，CQ最长，最长是多少？
（3）试探究，是否存在一点P，使△APQ是等腰直角三角形？
27．如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，点F恰好落在边AB上．
（1）证明：△AEF∽△BFC．
（2）若AB，BC＝1，作线段CE的中垂线，交AB于点P，交CD于点Q，连结PE，PC．
①求线段DQ的长．
②试判断△PCE的形状，并说明理由．
28．如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为射线AB上一动点，以CD为边画Rt△CDE，使∠DCE＝90°，CE：CD＝3：4，连接BE．
（1）求证：△CDA∽△CEB；
（2）在点D运动的过程中，求DE的最小值；
29．四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，对角线BD平分∠ABC．
（1）如图1，延长BC，AD交于点M．
求证：①△MCD∽△MAB；
②AD＝CD；
（2）如图2，连接AC交BD于点F，将△ABC沿着AC翻折得到△AEC，连接DE，若CE∥BD，BC＝6，CD＝4，求CF的长．
答案
一．选择题
D．B．B．A．A．D．A．A．B．B．D．
二．填空题
12．8．
13．．
14．①②③④．
15．12．
16．（2，4）或（﹣2，﹣4）．
17．．
18．．
19．．
20．．
21．4．
22．或1．
23．l或l
三．解答题
24．∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
∴x，
∴正方形CDEF的边长为．
25．（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠A＝∠ABC＝90°，
∵点E是边AD的中点，
∴AE＝2，
∴BE2，
∵∠BEP＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，∠EBP+∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝∠PBE，
∵∠A＝∠BEP＝90°，
∴△ABE∽△EPB，
∴，即，
解得，PB＝10；
（2）结论：△EBM∽△EPN，
理由：设BN交PE于O，
∵FH∥BP，
∴∠EHF＝∠EPB＝∠ENO，
∵∠EON＝∠BOP，
∴△EON∽△BOP，
∴，
∴，又∵∠EOB＝∠PON，
∴△EOB∽△NOP，
∴∠EBM＝∠EPN，
∵∠BEP＝∠MEN＝90°，
∴∠BEM＝∠PEN，
∴△EBM∽△EPN.
26．（1）∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC＝90°，
而∠QPC+∠PQC＝90°，
∴∠APB＝∠PQC，
∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP∽△PCQ；
（2）∵△ABP∽△PCQ，
∴，即，
则CQx2x（x﹣4）2，
故当x＝4时，CQ的最大值为，
即BP为4时，CQ最长，最长是；
（3）∵△APQ是等腰直角三角形，则PA＝PQ，
而△ABP∽△PCQ，
则△ABP≌△PCQ（AAS），
∴AB＝PC＝6，
则BP＝8﹣6＝2，
即BP＝2时，△APQ是等腰直角三角形．
27．证明：（1）∵将△CDE沿CE折叠得到△CFE，
∴∠D＝∠EFC＝90°，
∴∠AFE+∠BFC＝90°，
又∵∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠AEF＝∠BFC，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△AEF∽△BFC；
（2）①连接EQ，
∵将△CDE沿CE折叠得到△CFE，
∴CD＝CF，
∴BF1，
∴BC＝BF＝1，
∴∠BFC＝∠BCF＝45°，
∴∠AFE＝45°＝∠AEF，
∴AE＝AF＝AB﹣BF1，
∴DE＝AD﹣AE＝2，
∵PQ是EC的垂直平分线，
∴EQ＝CQ，
∵EQ2＝DQ2+DE2，
∴（DQ）2＝DQ2+（2）2，
∴DQ＝2；
②△PEC是等腰直角三角形，
理由如下：∵PQ是EC的垂直平分线，
∴PE＝PC，
∵PE2＝AE2+AP2，PC2＝PB2+BC2，
∴（1）2+（BP）2＝PB2+1，
∴BP1，
∴BP＝AE，
在Rt△AEP和Rt△BPC中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BPC（HL），
∴∠APE＝∠BCP，∠AEP＝∠BPC，
∵∠APE+∠AEP＝90°，
∴∠APE+∠BPC＝90°，
∴∠EPC＝90°，
∴△PEC是等腰直角三角形．
28．（1）证明：∵AC＝8，BC＝6，
∴BC：AC＝3：4，
∵CE：CD＝3：4，
∴，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△CDA∽△CEB；
（2）在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝10，
在Rt△DCE中，CE：CD＝3：4，
设CE＝3x，CD＝4x，则DE＝5x，
要DE最小，则x最小，即CD最小，
而点D在射线AB上，
即当CD⊥AB时，CD最小，
∵AB CD最小AC BC，
∴CD最小，
∴DE的最小值为5x最小CD最小6；
29．（1）证明：①∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠MDC+∠ADC＝180°，
∴∠MDC＝∠ABC，
又∵∠M＝∠M，
∴△MCD∽△MAB；
②连接AC，如图1所示：
∵①△MCD∽△MAB，
∴，
∴，
又∵∠M＝∠M，
∴△MBD∽△MAC，
∴∠MBD＝∠MAC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，BD平分∠ABC，
∴2∠MBD+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠MAC+∠DCA＝180°，
∴∠DCA＝∠MBD，
∴∠DCA＝∠MAC，
∴AD＝CD；
（2）连接BE交AC于点N，如图2所示：
∵将△ABC沿着AC翻折得到△AEC，
∴点B与点E关于AC对称，EC＝BC＝6，
∴BN＝EN，
∵CE∥BD，
∴∠CEN＝∠FBN，
在△CEN和△FBN中，，
∴△CEN≌△FBN（ASA），
∴EC＝BF＝6，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠DAC＝∠DBC，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴∠DBC＝∠DCA，
又∵∠BDC＝∠BDC，
∴△DBC∽△DCF，
∴，
∴DB DF＝DC2，
∴DB （DB﹣BF）＝DC2，
∴DB2﹣6DB＝16，
解得：DB＝8，或DB＝﹣2（舍去），
∵，即，
解得：CF＝3．