湖北省宜昌市长阳土家族自治县重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含解析）

长阳重点中学高一年级12月月考
数学试题
总分：150时间：120分钟
一 单项选择题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设命题，则命题的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.某扇形玉雕壁画尺寸（单位：）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数，则使函数值为5的的值是（ ）
A.-2 B.2或 C.2或-2 D.2或-2或
5.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.某网红城市鹅城人口模型近似为（单位：万人），其中表示2015年的人口数量，则鹅城人口数量达到60万的年份大约是（ ）（参考数据：）
A.2037年 B.2047年 C.2057年 D.2067年
7.函数在区间上的值域为（ ）
A. B. C. D.
8.若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9.若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同在区间内，则与符号不同的是（ ）
A. B. C. D.
10.下列判断正确的是（ ）
A. B.若，则
C. D.
11.下列说法错误的是（ ）
A.函数的值域为，则，或
B.若，则函数的最小值为2
C.是的充分不必要条件
D.当时，不等式恒成立，则的取值范围是
12.己知函数是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的值可能为（ ）
A. B.0 C. D.
三 填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知，则的最小值为__________.
14.函数的定义域为__________.
15.若是关于的方程的两个根，则__________.
16.定义域为的函数满足，且当时，0恒成立，设，则的大小关系为__________.（从大到小排列）
四 解答题（本大题共有6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（10分）（1）计算：；
（2）已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集.
18.（12分）已知，
（1）求的值；
（2）求；
19.（12分）已知集合，集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值集合.
20.（12分）杭州亚运会田径比赛10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段.现一的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力.已知该运动员初始体力为.不考虑其他因素，所用时间为（单位：），请回答下列问题：
（1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；
（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？
21.（12分）已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，有.
（1）解不等式：；
（2）若对所有恒成立，求实数的取值范围.
22.（12分）已知函数的单调递减区间为，函数.
（1）求实数的值，并写出函数的单调递增区间（不用写出求解过程）；
（2）证明：方程在内有且仅有一个根；
（3）在条件（2）下，证明：.（参考数据）
2023-2024学年高一第一学期12月月考
数学试卷答案
一 单项选择题
1.【答案】B
【详解】集合.
2.【答案】A
【详解】命题的否定是
3.【答案】D
【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大 小扇形所在圆的半径分别为，相同的圆心角为，则，得，又因为，所以，该扇形玉雕壁画面积
4.【答案】A
【详解】当时，
.
当时，，不合题意.
故.
5.【答案】B
【详解】函数的定义域为，
所以为偶函数，排除选项，
当时，，
则，排除选项.
故选：B.
6.【答案】C
【详解】，即，
，
7.【答案】D
【详解】函数，易得函数在上单调递减，在上单调递减，当时，；当时，.所以，函数的值域为.
8.【答案】B
【详解】对任意的，且，都有，
即对任意两个不相等的正实数，不妨设，
都有，所以有，
所以函数是上的减函数，
又因为为奇函数，即有，有
所以有，所以为偶函数，
所以在上单调递增.
①当，即时，有，由，
得，所以，解得，此时无解；
②当，即时，由，得，
所以，解得或.
综上所述：不等式的解集为.
故选：B
二 多选题
9.【答案】ABD
【详解】由二分法的步骤可知，
①零点在内，则有，不妨设，取中点2；
②零点在内，则有，则，取中点1；
③零点在内，则有，则，取中点；
④零点在内，则有，则，则取中点；
⑤零点在内，则有，则，
所以与符号不同的是，
10.【答案】AB
【详解】对选项A：，正确；
对选项B：，故，正确；
对选项C：要证，即，即，不成立；
对选项D：，错误；
11.【答案】BD
【详解】对选项A：函数的值域为，则，
解得或，正确；
对选项B：，
当且仅当，即时等号成立，等号成立条件不满足，错误；
对选项C：，即，
函数单调递增，故，即；
取满足，不成立，正确；
对选项D：当时，不等式恒成立，错误；
12.【答案】AC
【详解】由于函数是定义在上的奇函数，所以讨论情况如下：
作图像如下图所示，
关于的方程，
解得或
由于与图像有一个公共点，
则图像与图像有三个公共点，如图所示，，
同理，时，，所以实数的值是.
三 填空题
13.【答案】
【详解】由题得，，且，
所以，
，当且仅当时等号成立.
14.【答案】
【详解】函数的定义域满足：，
解得且.
故答案为：.
15.【答案】
【详解】由题意得，
则或，
又，即，解得或（舍去），
则，
所以
.
故答案为：.
16.【答案】
【解析】因为函数满足，所以函数的图象关于直线成轴对称，
因为当时，，由，则，即，
所以在上单调递增，则在上单调递减，
由，
由，根据函数在上单调递增，则；
由，根据函数在上单调递增，则.
由函数在上单调递减，则，即.
四 解答题
17.【答案】（1）；（2）
【详解】（1）
.
（2）由不等式的解集为，得，解答
则，即，解得，即原不等式的解集为.
18.【答案】（1）2；（2）.
【详解】（1）由已知，
化简得，整理得故
（2）
.
19.【答案】（1）；（2
【详解】（1）由，即，
所以，解得，所以，
因为，
当时，，解得，
当时，或，
解得或，
综上可得实数的取值范围为.
（2）是的充分条件，，
，解得或，
即实数的取值集合为.
20.【答案】（1）
（2）时有最小值，最小值为.
【详解】（1）由题可先写出速度关于时间的函数，
代入与公式可得
解得；
（2）①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值；
②疲劳阶段，
则有，
当且仅当，即时，“成立，
所以疲劳阶段中体力最低值为，
由于，因此，在时，运动员体力有最小值.
21.【答案】（1）；（2）
解：（1）为奇函数，所以，
则由，得，得，
故函数在上单调递增.
则
解得，故不等式的解集为.
（2）因为，所以.
若对所有恒成立，
则成立，且，
所以对恒成立，即对恒成立.
令，
则即得
解得
故实数的取值范围是.
22.【答案】（1）
（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
（1）函数的单调递减区间为，故，，
函数定义域满足：，解得或，
在上单调递增，在上单调递增，
故函数的单调递增区间为；
（2），即，即，
设，函数在上单调递增，
，故在上有唯一零点，
即方程在内有且仅有一个根；
（3），要证，即，函数在上单调递增，
故，即，得证.