山东省泰安市肥城市重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含解析）

2023-2024学年高一12月大联考
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间120分钟，满分150分
一 单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知指数函数的图像经过点，则（ ）
A.4 B.1 C.2 D.
4.“"是“"”成立的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）
A. B.
C. D.
6.已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知函数是上的減函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.设函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.）
9.已知函数为自然对数的底数），则（ ）
A.为偶函数
B.方程的实数解为
C.的图象关于原点对称
D.，且，都有
10.已知函数（为常数），则的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.给出下列结论，其中不正确的是（ ）
A.函数的最大值为.
B.已知函数且在上单调递减，则实数的取值范围是
C.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D.已知定义在上的奇函数在内有1011个零点，则函数的零点个数为2023
12.若，且，则（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
__________.
14.函数的单调递增区间为__________.
15.已知是定义在上的奇函数，当时，，则的解析式为__________.
16.已知函数若关于的方程恰有6个不同的实数根，则的取值范围是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余均12分.
17.（10分）已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若的最大值为9，求的值.
18.（12分）已知函数，且.
（1）求的值；
（2）判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断.
19.（12分）已知函数
（1）若函数在区间上单调，求实数的取值范围；
（2）当时，记在区间上的最小值为，求的表达式.
20.（12分）为响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备.通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产（单位：百辆）新能源汽车需另投入成本（单位：万元），且如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润=销售额-成本）
（1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
21.（12分）已知函数且在上最大值和最小值的和为12.
（1）求实数的值；
（2）令，若在区间上有零点，求的取值范围.
22.（12分）已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.
2023-2024学年高一12月大联考
数学参考答案及评分意见
1.B 【解析】由，解得，所以，所以.故选B.
2.C 【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以“”的否定是“，”.故选C.
3.A 【解析】由指数函数的图象经过点，可得解得所以，故选A.
4.A 【解析】与的图象如下图所示，由图可知，的图象恒在的图象的上方，即在上恒成立，所以当时，“”成立，充分性成立；当时，可知，必要性不成立.故选A.
5.D 【解析】由于在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”，故幂函数在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为.故选.
6.C 【解析】由题意知，，即，即，又，即.故选C.
7.A 【解析】当时，单调递减，且的最小值为.当时，时，单调递增，不符合题意，所以.又因为是上的减函数，故的图象开口向下，即，其对称轴为，则由题意有解得.故选A.
8.C 【解析】根据题意，函数，其定义域为，有，即为偶函数.当时，，则有，则有，则当时，，函数和在区间上都单调递增，则在上单调递增，则不等式等价于，即，平方得，即，解得.故选C.
9.BC 【解析】对于，由题知，其定义域为，因为，所以函数为奇函数，故错误；对于，由，得，解得，故正确；对于，由可知，是奇函数，所以其图象关于原点对称，故C正确；对于，因为函数为上的增函数，所以为上的增函数，所以，且，都有，故D错误.故选BC.
10.BCD 【解析】当时，函数选项符合题意；当时，函数故选项C符合；当时，函数故选项B符合.故选BCD.
11.AB 【解析】A选项，函数中，若令，即有，故A错误；B选项，函数且在上单调递减，知，即有，故B错误；选项，函数与互为反函数，图象关于直线对称，故C正确；选项，定义在上的奇函数在内有1011个零点，由函数的对称性可知在内有1011个零点，即函数的零点个数为2023，故D正确.故选AB.
12.ABD 【解析】根据题意，依次分析选项：对于，若，当且仅当时等号成立，A正确；对于，B正确；对于C，，当且仅当时等号成立，C错误；对于D，，则有，变形可得，故，当且仅当时取等号，故D正确.故选ABD.
13.10 【解析】.
14. 【解析】，令，则，因为为增函数，的增区间为，所以的单调递增区间为.
15. 【解析】设，则，所以.因为是奇函数，所以，所以，即.所以时，，又因为是定义在上的奇函数，所以，即
16.或 【解析】根据作出的大致图象如下：
令.由图可知：当时，此时关于的方程有两个根，分别为；当时，此时方程有4个不同的根；当时，此时方程有3个不同的根；当时，此时方程有2个不同的根，显然不是的根，故要使得方程有6个不同的根，设，设的两个零点分别为，且，故当时，有4个根，有2个根，满足题意，故需要满足解得；当时，此时有3个根，有3个根，满足题意，故需要满足解得.综上可得或.
17.解：（1）当时，.
因为在上单调递增，且，
可得，所以，
故的值域为.
（2）令，因为函数在其定义域内单调递增，所以要使函数的最大值为9，
则在上的最大值为2.
故
解得.
故的值为.
18.（1）解：由，得，解得.
（2）在区间上是减函数，
证明过程如下：
由（1）得，对任意，且，
有.
由，得，又由，得，
于是，即，
所以在区间上是减函数.
19.解：（1）由可得其图象如图所示.
因为在区间上单调，
由图象可知，或，
解得或，
所以的取值范围为.
（2）当时，，此时；
当时，在区间上单调递增，此时，
所以
20.解：（1）
当时，，
当时，.
故
（2）由（1）得
当时，，
.
当时，，
当且仅当，即时等号成立，故.
，故当2023年的年产量为10000辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.
21.解：（1）当时，函数在上单调递减，
所以.
因为函数且在上最大值和最小值的和为12，
所以，
解得或，
因为，
所以或均不符合题意.
当时，函数在上单调递增，
所以，
因为函数且在上最大值和最小值的和为12，
所以，
解得或，
因为此时，
所以.
综上所述，.
（2）由（1）知，
因为，
因为在定义域上为增函数，
所以在定义域上为减函数，
所以在定义域上为增函数，
所以在定义域上为增函数，
所以当时，，
又因为在上有零点，
所以.
22.解：（1）依题可知，解得，所以当时，.
设，则，所以.
又是奇函数，，
即，所以当时，.
综上所述，
（2）当时，，所以在上单调递减，
又是上的奇函数，在上单调递减，
从而在上单调递减.
由，
可得.
又在上单调递减，
，即对任意的恒成立.
记，对称轴为，依题意有.
①当，即时，在上单调递增，
，解得，与矛盾，此时无解；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得.
又因为，所以此时.
③当，即时，在上单调递减，
，解得，又因为，所以此时.
综上所述，实数的取值范围为.