第6章 一次函数培优训练专题 一次函数与几何图形2023~2024学年 苏科版八年级数学上册（含答案）

第6章 一次函数培优训练专题-----一次函数与几何图形
培优内容：1.利用一次函数图像解决三角形、直角三角形、等腰直角三角形、长方形、平行四边形等几何图形的问题；2.解决面积问题；3.解决线段、线段和差、周长的最小值问题，4.解决图形运动过程产生的问题。
培训题型：选择题10道，填空题7道，解答题11道。
一、选择题
1.如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为
A. B. C. 2 D. 4
2.(2023·湖北荆州）如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3.在平面直角坐标系中，已知直线与直线平行，且与轴交于点，与轴的交点为，则的面积为（ ）
A．2022 B．1011 C．8 D．4
4.如图，一次函数的图像与坐标轴的正半轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
第1题图 第2题图 第4题图
5.如图所示，已知点C（2，0），直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB、OA上的动点，当的周长取最小值时，点D的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（3，2） C．（，2） D．（，）
6.如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为上一动点，值最小时点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点P在直线上运动，当最大时点P的坐标为
A. B. C. D.
第5题图 第5题图 第7题图
8.如图，O为坐标原点，的两个顶点，，点D在边AB上，，点C为OA的中点，点P为边OB上的动点，则使四边形PCAD周长最小的点P的坐标为
A. B. C. D.
9.正方形、、，按如图的方式放置，、、、和点、、，分别在直线和x轴上，则点的坐标是
A. B. C. D.
10.平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足OM+ON=8．点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为( )
A． B． C． D．
第8题图 第9题图 第11题图
二、填空题
11.如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰，，则过B、C两点直线的解析式是______．
12.一次函数图象上的点到图象的距离等于，
则b的值 。
13.如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，以线段为边在第四象限内作等腰，，求点坐标 ．
14.如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于A，B两点．点D，E分别是OB，AB上的动点，则周长的最小值是______．
第13题图 第14题图
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，分别在x轴上，点，，，分别在直线上，，，，，，都是等腰直角三角形，如果，则点的坐标为________．
16.在平面直角坐标系xOy中，，，动点C在直线上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为______．
17.如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点…，按照如此规律操作下去，则点的纵坐标是______．
第15题图 第17题图
三、解答题
18.在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAPB的周长与面积相等，则点P是“和谐点”．
(1)判断点，D（2，8）是否为“和谐点”，并说明理由；
(2)若“和谐点”E（3，a）在直线y＝3x+b（b为常数）上，求a，b的值．
19.如图是8×8的正方形网格，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是格点（网格线的交点）．以网格线所在直线为坐标轴，在网格中建立平面直角坐标系xOy，使点A坐标为（－2，4）．
(1)在网格中，画出这个平面直角坐标系；
(2)在第二象限内的格点上找到一点C，使A、B、C三点组成以AB为底边的等腰三角形，且腰长是无理数，则点C的坐标是______；
(3)点D为x轴上一动点，当△ABD的周长最小时，点D的坐标为_________．
20.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，．
（1）求直线的解析式；
（2）若点为线段上一动点，过点作于点，延长至点，使，作轴于点，求四边形的周长．
21.如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y=2x+8与坐标轴分别交于A，B两点，点C在x正半轴上，且OA=OC．点P为线段AC（不含端点）上一动点，将线段OP绕点O逆时针旋转90°，得线段OQ（见图2）
（1）分别求出点B、点C的坐标；
（2）如图2，连接AQ，求证：∠OAQ=45°；
（3）如图2，连接BQ，试求出当线段BQ取得最小值时点Q的坐标．
22.如图，在平面直角坐标系中有一点，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，直线过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D，P是直线上的一个动点，
(1)直接写出点B，C，D的坐标：B______，C_______，D______；
(2)求；
(3)时，求点P的坐标．
23.如图，等腰在平面直角坐标系上，．点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿轴的正方向运动，过点作直线，直线与射线相交于点．
（1）点的坐标为____________；
（2）点的运动时间是秒．
①当时，在直线右侧部分的图形的面积为，求（用含的式子表示）；
②当时，点在直线上且是以为底的等腰三角形，若，求的值．
24.如图，直线经过过点，分别交x轴、y轴于点，B．
求直线的解析式；
点C为x轴负半轴上一点，过点C的直线：交线段AB于点D．
如图1，当点D恰与点P重合时，点为x轴上一动点，过点Q作轴，分别交直线、于点M、若，，求t的值；
如图2，若，试判断m，n之间的数量关系并说明理由．
25.若直线y mx8和ynx3都经过 x 轴上一点 B，与 y 轴分别交于A、C．
（1）写出 A、C 两点的坐标，A ，C ；
（2）若BC平分∠ABO，求直线AB和CB的解析式；
（3）点D是y轴上一个动点，是否存在 AB上的动点E，使得△ADE与△AOB全等，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

26.已知：如图点在正比例函数图象上，点坐标为，连接，，点是线段的中点，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动，点在线段上由点向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为秒．
（1）正比例函数的关系式为 ；
（2）当秒，且时，求点的坐标；
（3）连接，在点运动过程中，与是否全等？如果全等，请求出点的运动速度；如果不全等，请说明理由．
27.如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点P，直线l上的两点，满足，将线段向右平移5个单位长度得到线段．
(1)点C的坐标为_________；
(2)连接，，，点Q是x轴上一点（不与点P重合），连接，交于点E．
①当恰好平分时，试判断与有什么数量关系？并说明理由；
②设点，记三角形的面积为S，三角形的面积为．当时，求点Q的坐标．
28.（2023·辽宁沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．
(1)求的值和直线的函数表达式；
(2)以线段，为邻边作 ，直线与轴交于点．
①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式；
②连接，，当的面积为时，请直接写出的值．
第6章 一次函数培优训练专题-----一次函数与几何图形
参考答案
一、选择题
1.；2.C；3. D；4.A；5.D；6.C；7.；8.；9.；10.B；
填空题
11.；12.或3；13.(5,-3)；14.；15.；16.3 ；17.
三、解答题
18.（1）解：（1）点C是“和谐点”，点D不是“和谐点”，
理由如下， 过点C围成的长方形的周长为：2×（4+4）=16，面积为：4×4=16，
∴点C是“和谐点”，
过点D围成的长方形的周长为：2×（2+8）=20，面积为：2×8=16≠20，
∴点D不是“和谐点”．
（2）∵“和谐点”E（3，a）在直线y=3x+b（b为常数）上，
∴ ， 解得： 所以 或．
19.（1）如图，平面直角坐标系即为所求．
（2）如图，点C即为所求，C点坐标（-1，1）．
故答案为：（-1，1）．
（3）如图点D即为所求，此时△ABD的周长最小．
∵B，关于x轴对称，∴（-4，-2），
设直线A的解析式为y=kx+b，则
，解得：∴直线A的解析式为y=3x+10，
将y=0代入y=3x+10，得x=∴D点坐标（，0）．
20.（1）将，代入中，得
， ，直线的解析式为；
（2）设，，，
，四边形是矩形，四边形周长为．
点在直线上，，，
，四边形周长为8．
21.解：（1）对于直线y=2x+8令x=0得到y=8，令y=0，得到x=-4，
∴A（0，8），B（-4，0），∴OA=OC=8，∴C（8，0）．
（2）由旋转可知，OP=OQ，∠POQ=∠AOC=90°，∴∠AOQ=∠COP，
在△AOQ和△COP中，∴△OAQ≌△OPC，∴∠OAQ=∠OCP，
∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OCA=45°，∴∠OAQ=45°．
（3）如图2中，
∵∠OAQ=45°，设直线AQ交x轴与E，则点Q在直线AE上运动，
∵A（0，8），E（-8，0），
∴直线AE的解析式为y=x+8，
根据垂线段最短可知当BQ⊥AE时，BQ的长最短，
∵BQ⊥AE，∴直线BQ的解析式为y=-x-4，
由，解得，∴当BQ最短时，点Q坐标为（-6，2）．
22（1）点向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，
∴，即
∵直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解
∴直线解析式为：
当时，，即
当时，，即故答案为：，，；
（2）如图，连接AO，BO，
∵∴；
（3）设点如图，当点P在线段AB上时，
∵，，∴，
∵，∴，∴，∴点
当点P在点B的左侧时，
∵，且∴，
∵，∴，∴，∴点
当点P在点A的右侧时，得
∴点P在点A的右侧不符合题意；∴或．
23.解：（1）过B点作BD⊥OA于点D，如图1，
∵∠OBA=90°，OB=AB，OA=4．
∴，∴B（2，2），故答案为（2，2）；
（2）①当2≤t≤4时，如图2，则AC=OA-OC=4-t，
∵∠OBA=90°，OB=AB，∴∠OAB=45°，
∵直线l⊥OA，∴∠ACM=90°，∴∠AMC=45°=∠CAM，∴AC=CM=4-t，
∴；
②过AB的中点D，作线段AB的垂直平分线DE，如图3，
∵△ABM是以AB为底的等腰三角形，∴MA=MB，∴点M在直线DE上，
∵点M在直线l上，∴点M为直线l与直线DE的交点，
设直线OB的解析式为y=kx（k≠0），由（1）知，B（2，2），
∴2=2k，∴k=1，
∴直线OB的解析式为：y=x，
∵∠ABO=∠ADM=90°，∴DE∥OB，∴设直线DE的解析式为y=x+n，
∵A（4，0），B（2，2），D为AB的中点，∴D（3，1），
把D（3，1）代入y=x+n中，得1=3+n，∴n=-2，∴直线DE的解析式为：y=x-2，
∵OC=t，∴C（t，0），N（t，t），M（t，t-2），
∵，t＞0∴，∴，或，
解得，t=6，或．
24.设直线的解析式为，直线经过点，，
即，解得，直线的解析式为；
直线过点且，即直线：，
点，，，
，，
，，或；
如图，过点D作于E，
，，，，
，
，，
，，
在和中，，≌，，，
设，，
则，解得，即．
25.解：（1）由直线y=mx+8和y=nx+3得A（0，8），C（0，3），故答案为：（0，8），（0，3）；
（2）解：过点C作CH⊥AB，交直线AB于点H；

∵ BC平分∠ABO，且CO⊥x轴，CH⊥AB，∴CO=CH
又∵OC=3，OA=8；∴CH=3，AC=5；
∴在Rt△CHA中，∠CHA=90°，CH +CA =AH ；所以AH=4
∵易证△BCH≌△BCO（AAS）；∴BO=BH；
设OB长为x，则AB=4+x
∴在Rt△AOB中，x +8 =（x+4） 解得x=6∴B（-6，0）
将点B分别代入直线AB、直线BC可得：
直线AB解析式为：； 直线BC解析式为：；
∴直线AB：yx+8，直线CB：yx+3；
（3）情形1，如图
当△ADE≌△AOB时，AD=AO=8，DE=BO=6，∴OD=16，∴点E的坐标为（6，16）
情形2，如图，
当△AED≌△AOB时，AD=AB=10，DE=BO=6，AE=AO=8，
过点E作EF⊥AD，则有
∴
∴点E的横坐标为，代入得，y=,∴点E的坐标为（，）；
情形3，如图，
当△AED≌△AOB时，方法同情形2可求出EG=，
∴点E的横坐标为-，代入得，y=,∴点E的坐标为（-，）；
综上，点E的坐标为（6，16），，．
26.解：（1）设正比例函数的解析式为y=kx，把A（6，8）代入得：8=6k．
解得：k=．故答案为：y=x；
（2）当t=1时，BP=2，OP=10．
如图，过点Q作QH⊥x轴于点H，
∵S△OPQ=OP QH=6，∴QH=．
把Q（x，）代入y=x中，得x=，∴点Q的坐标为（，）；
（3）∵AO=AB=10，点C是线段AB的中点，∴BC=5，∠QOP=∠CBP．
若△OPQ与△BPC全等，则有OP=BC=5，OQ=BP或OQ=BC=5，OP=PB．
设Q点的运动速度为v个单位/秒，
①OP=BC=5，OQ=BP时，
∵OP=5，∴12-2t=5．解得t=．∴OQ=BP=2×=7．∴AQ=10-7=3．
∴v=3，解得v=．∴点Q运动的速度为个单位/秒．
②当OQ=BC=5，OP=PB=6时，
由OP=PB=OB=6可知：2t=6， 解得：t=3．
∵OQ=5，∴AQ=OA-OQ=10-5=5．∴3v=5，解得v=．
∴点Q运动的速度为个单位/秒．
综上所述：当点Q的运动速度是每秒个单位或每秒个单位时，△OPQ与△BPC全等．
27.（1）解： ， ，，
，， ，，
B向右平移5个单位得到C， 故答案为：．
（2）①．理由如下：
平分，，
向右平移5个单位得到CD，，
， ．
②令直线l的解析式为，
，在直线l上， ，解得
直线l的解析式为，
当时，
，， ，
如图，连接，
，，，，
， ，解得或
点坐标为或．
28.（1）点在直线上，，
一次函数的图象过点和点，
，解得，直线的解析式为；
（2）①点在直线上，且的横坐标为，的纵坐标为：，
点在直线上，且点的横坐标为，点的纵坐标为：，
，
点，线段的长度为，，，
，即；
②的面积为，
，即，解得，
由①知，，
，解得，即的值为或．