第24章 解直角三角形 单元测试卷 2023—2024学年华东师大版九年级数学上册（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 第24章 解直角三角形 单元测试卷 2023—2024学年华东师大版九年级数学上册（含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 182.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-24 21:30:21 | ||
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文档简介
第24章 解直角三角形单元测试卷
一、单选题(共8小题,每小题3分,满分24分)
1.泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的( )
A.图形的平移 B.图形的旋转 C.图形的轴对称 D.图形的相似
2.如图，小明为了测量一凉亭的高度顶端到水平地面的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶米，、、三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
3.在直角三角形中，，斜边的长为，则边的长为( )
A. B. C. D.
4.如图，一根长为的木棍（），斜靠在与地面（）垂直的墙上，设木棍的中点为，若木棍端沿墙下滑，且端沿地面向右滑动，在滑动的过程中的长度( )
A.减小 B.增大 C.不变 D.先减小再增大
5.已知为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知为锐角，且，则等于（）
A. B. C. D.
7.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，有一天桥高为米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动陡改缓工程，决定将斜坡的底端延伸到处，使，则的长度约为（参考数据：）( )
A.米 B.米 C.米 D.米
二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)
9. ．
10.顶角为的等腰三角形，若腰长为，则腰上的高为
11.已知，那么 ．
12.《周髀算经》中记载了偃矩以望高的方法．矩在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．偃矩以望高的意思是把矩仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高 ．
13.如图，光源在水平横杆的上方，照射横杆得到它在平地上的影子为(点，，在一条直线上，点，，在一条直线上)，不难发现.已知，，点到横杆的距离是，则点到地面的距离等于 .
14.如图，在中，，，，则的长为 ．
三、解答题(共10小题,满分78分)
15.计算： ＋.
16.计算：.
17.已知是锐角，且，计算：.
18.如图所示,铁道口的栏杆短臂长米,长臂长米,当短臂端点下降米时,长臂端点升高了几米
19.如图是某种帐篷支架屋顶的侧面示意图，它是底角为的等腰三角形．已知中柱垂直于底边,支柱垂直于腰,测得米，求的长．
20.图所示的是某超市入口的双翼闸门，如图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
21.如图，在中，，，.
(1)求＋的值；
(2)比较和的大小；
(3)想一想，对于任意直角三角形中的锐角，是否都有与上述两问题相似的结果？若有，请说明理由．
22.进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式：
， ①
， ②
． ③
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如
．
根据上面的知识，请你求出下列三角函数值：
① ②.
23.如图,为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:①镜子;②皮尺;③长为米的标杆． 请根据你所设计的测量方案,回答下列问题:
(1)在你设计的方案中,选用的测量工具是 (用工具序号填写);
(2)画出你的测量示意图;
(3)你需要测量示意图中哪些数据？并用等字母表示测得的数据;
(4)写出求树高的算式： 米．
24.如图，某人在山坡坡脚处测得一座建筑物顶点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得该建筑物顶点的仰角为.已知米，且，，在同一条直线上，山坡坡度为（即）．
(1)求该建筑物的高度(即的长);
(2)求此人所在位置点的铅直高度．(测倾器的高度忽略不计,结果保留根号形式)
参考答案
1.【答案】D
【解析】根据题意画出如下图形: 可以得到, 则 ，即为金字塔的高度，即为标杆的高度, 通过测量影长即可求出金字塔的高度
故答案为:.
2.【答案】A
【解析】由题意，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴米.
3.【答案】B
【解析】为直角三角形，，
.
4.【答案】C
【解析】解：，点是的中点，
，
在滑动的过程中的长度不变．
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
【解析】如图，过点作于点.
在中
.故选.
8.【答案】D
【解析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度．
解：在中，，，
米，
在中，，，
，
（米），
（米）
故选：．
9.【答案】
【解析】
故答案为.
10.【答案】
11.【答案】
【解析】由题意可知：，，
，，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】和均为直角，
，
，
，，，
，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】如图，过点作于点，交于点.
，
，
，即，
解得.
14.【答案】
【解析】过作，
在中，，，
，
在中，，
，即，
根据勾股定理得：，
故答案为：.
15.【答案】原式
【解析】原式
16.【答案】解：原式
.
17.【答案】∵，
∴，
∴，
∴.
则原式
【解析】∵， ∴， ∴， ∴. 则原式
18.【答案】设长臂端点升高了米．
根据题意,得,
解得.
答:长臂端点升高了米
【解析】设长臂端点升高了米．
根据题意,得,
解得.
答:长臂端点升高了米
19.【答案】解：
米，
米，
米．
故的长是米．
20.【答案】解：如图所示，过作于，过作于，则
中，（），
同理可得，，
又点与之间的距离为，
通过闸机的物体的最大宽度为（），
答：当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为．
【解析】过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
21.【答案】(1)∵，， ∴＋＋
(2)=
(3)由这个特例的解答过程可猜想， 对于任意直角三角形中的锐角，都有与上述两问题相似的结果，即对任意直角三角形中的锐角， 有＋； 在中，若为直角，则= 理由如下：设在任意中，，，， ∴＋＋. ∵，， ∴=
22.【答案】解：①
．
②
．
23.【答案】(1)①②
(2)测量方案示意图如图所示．
(3)镜子离树的距离人离镜子的距离目高
(4)
24.【答案】(1)解：在中，，，．答：建筑物的高度为米.
(2)过点作于点，于点，则四边形是矩形，，．设米，则米．在中，，．， ．且在中，，,．解得.答:人所在的位置点的铅直高度为米.
一、单选题(共8小题,每小题3分,满分24分)
1.泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的( )
A.图形的平移 B.图形的旋转 C.图形的轴对称 D.图形的相似
2.如图，小明为了测量一凉亭的高度顶端到水平地面的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶米，、、三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
3.在直角三角形中，，斜边的长为，则边的长为( )
A. B. C. D.
4.如图，一根长为的木棍（），斜靠在与地面（）垂直的墙上，设木棍的中点为，若木棍端沿墙下滑，且端沿地面向右滑动，在滑动的过程中的长度( )
A.减小 B.增大 C.不变 D.先减小再增大
5.已知为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知为锐角，且，则等于（）
A. B. C. D.
7.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，有一天桥高为米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动陡改缓工程，决定将斜坡的底端延伸到处，使，则的长度约为（参考数据：）( )
A.米 B.米 C.米 D.米
二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)
9. ．
10.顶角为的等腰三角形，若腰长为，则腰上的高为
11.已知，那么 ．
12.《周髀算经》中记载了偃矩以望高的方法．矩在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．偃矩以望高的意思是把矩仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高 ．
13.如图，光源在水平横杆的上方，照射横杆得到它在平地上的影子为(点，，在一条直线上，点，，在一条直线上)，不难发现.已知，，点到横杆的距离是，则点到地面的距离等于 .
14.如图，在中，，，，则的长为 ．
三、解答题(共10小题,满分78分)
15.计算： ＋.
16.计算：.
17.已知是锐角，且，计算：.
18.如图所示,铁道口的栏杆短臂长米,长臂长米,当短臂端点下降米时,长臂端点升高了几米
19.如图是某种帐篷支架屋顶的侧面示意图，它是底角为的等腰三角形．已知中柱垂直于底边,支柱垂直于腰,测得米，求的长．
20.图所示的是某超市入口的双翼闸门，如图，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
21.如图，在中，，，.
(1)求＋的值；
(2)比较和的大小；
(3)想一想，对于任意直角三角形中的锐角，是否都有与上述两问题相似的结果？若有，请说明理由．
22.进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式：
， ①
， ②
． ③
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如
．
根据上面的知识，请你求出下列三角函数值：
① ②.
23.如图,为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:①镜子;②皮尺;③长为米的标杆． 请根据你所设计的测量方案,回答下列问题:
(1)在你设计的方案中,选用的测量工具是 (用工具序号填写);
(2)画出你的测量示意图;
(3)你需要测量示意图中哪些数据？并用等字母表示测得的数据;
(4)写出求树高的算式： 米．
24.如图，某人在山坡坡脚处测得一座建筑物顶点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得该建筑物顶点的仰角为.已知米，且，，在同一条直线上，山坡坡度为（即）．
(1)求该建筑物的高度(即的长);
(2)求此人所在位置点的铅直高度．(测倾器的高度忽略不计,结果保留根号形式)
参考答案
1.【答案】D
【解析】根据题意画出如下图形: 可以得到, 则 ，即为金字塔的高度，即为标杆的高度, 通过测量影长即可求出金字塔的高度
故答案为:.
2.【答案】A
【解析】由题意，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴米.
3.【答案】B
【解析】为直角三角形，，
.
4.【答案】C
【解析】解：，点是的中点，
，
在滑动的过程中的长度不变．
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
【解析】如图，过点作于点.
在中
.故选.
8.【答案】D
【解析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度．
解：在中，，，
米，
在中，，，
，
（米），
（米）
故选：．
9.【答案】
【解析】
故答案为.
10.【答案】
11.【答案】
【解析】由题意可知：，，
，，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】和均为直角，
，
，
，，，
，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】如图，过点作于点，交于点.
，
，
，即，
解得.
14.【答案】
【解析】过作，
在中，，，
，
在中，，
，即，
根据勾股定理得：，
故答案为：.
15.【答案】原式
【解析】原式
16.【答案】解：原式
.
17.【答案】∵，
∴，
∴，
∴.
则原式
【解析】∵， ∴， ∴， ∴. 则原式
18.【答案】设长臂端点升高了米．
根据题意,得,
解得.
答:长臂端点升高了米
【解析】设长臂端点升高了米．
根据题意,得,
解得.
答:长臂端点升高了米
19.【答案】解：
米，
米，
米．
故的长是米．
20.【答案】解：如图所示，过作于，过作于，则
中，（），
同理可得，，
又点与之间的距离为，
通过闸机的物体的最大宽度为（），
答：当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为．
【解析】过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
21.【答案】(1)∵，， ∴＋＋
(2)=
(3)由这个特例的解答过程可猜想， 对于任意直角三角形中的锐角，都有与上述两问题相似的结果，即对任意直角三角形中的锐角， 有＋； 在中，若为直角，则= 理由如下：设在任意中，，，， ∴＋＋. ∵，， ∴=
22.【答案】解：①
．
②
．
23.【答案】(1)①②
(2)测量方案示意图如图所示．
(3)镜子离树的距离人离镜子的距离目高
(4)
24.【答案】(1)解：在中，，，．答：建筑物的高度为米.
(2)过点作于点，于点，则四边形是矩形，，．设米，则米．在中，，．， ．且在中，，,．解得.答:人所在的位置点的铅直高度为米.