第二章 分式与分式方程期末复习题2023-2024学年鲁教版（五四制）八年级数学上册（含答案解析）

2023-2024学年鲁教版五四制八年级上册
第二章分式与分式方程期末复习题
一．选择题（共10小题）
1．下列各式：①（1﹣x），②，③，④，其中分式有（　　）
A．②④ B．③④ C．④ D．②
2．要使分式有意义，x应满足的条件是（　　）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≠﹣3 D．x＝﹣3
3．若分式的值为0，则有（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝±1
4．若将分式中的x，y都扩大5倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的5倍 B．缩小为原来的
C．缩小为原来的 D．不变
5．化简分式的结果是（　　）
A． B． C． D．
6．计算的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．若÷运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　）
A．y﹣x B．y+x C． D．3x
8．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
9．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．3 D．﹣2
10．关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共5小题）
11．分式：，，的最简公分母是　 　．
12．若分式的值等于0，则y＝　 　．
13．计算：＝　 　．
14．已知x为整数，且为整数，则所有符合条件的x值的和为　 　．
15．若关于x的方程无解，则m＝　 　．
三．解答题（共9小题）
16．分式计算：
（1）；
（2）；
（3）
17．解方程：
（1）﹣＝0；
（2）﹣＝1．
18．解分式方程：
（1）；
（2）．
19．2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.3元．若充电费和加油费均为100元时，电动车可行驶的路程是燃油车的2.5倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费．
20．为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．
（1）求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；
（2）该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用．
21．为响应“绿水青山就是金山银山”的生态文明建设号召，我省对一面积为1800亩的某废弃煤矿进行复垦复绿施工，重构绿水青山自然生态环境．因受某些因素影响延期24天开工，为保证如期完成任务增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了25%，并按期完成了施工任务．求实际平均每天施工多少亩．
22．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每盒甲商品的进价比每盒乙商品的进价便宜10元，已知用8000元购进的乙的盒数和用6000元购进的甲的盒数相同．
（1）求每盒甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）某商家准备用不超过4000元购进甲和乙共120盒，那么该商家最多可以购进多少盒乙？
23．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
24．戴口罩可以有效降低感染新型冠状病毒的风险．某学校在本学期开学初为八年级学生购买A、B两种口罩，经过市场调查，每包A口罩比每包B口罩少10元，花费400元购买A口罩和花费600元购买B口罩的数量相等．
（1）求A、B两种口罩每包的价格各是多少元？
（2）若学校需购买两种口罩共500包，总费用不超过12000元，求该校本次购买A种口罩最少有多少包？
25．某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．
（1）求乙单独完成该项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙全程共同完成更省钱，说明理由．
2023-2024学年鲁教版五四制八年级上册
第二章分式与分式方程期末复习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各式：①（1﹣x），②，③，④，其中分式有（　　）
A．②④ B．③④ C．④ D．②
【分析】根据分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式进行分析即可．
【解答】解：④是分式；①（1﹣x），②，③是整式．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式分母中必须含有字母．
2．要使分式有意义，x应满足的条件是（　　）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x≠﹣3 D．x＝﹣3
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．
【解答】解：由题意得：x+3≠0，
解得：x≠﹣3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
3．若分式的值为0，则有（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝±1
【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
【解答】解：由分子|x|﹣1＝0解得：x＝±1，
而当x＝﹣1时，分母x+1＝﹣1+1＝0，分式没有意义，
x＝1时分母x+1＝2≠0，
所以x＝1．故选C．
【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
4．若将分式中的x，y都扩大5倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的5倍 B．缩小为原来的
C．缩小为原来的 D．不变
【分析】根据分式的基本性质计算即可．
【解答】解：由题意可得将原分式的x，y都扩大5倍可得＝＝，
即分式的值不变，
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5．化简分式的结果是（　　）
A． B． C． D．
【分析】运用平方差公式的运算，先把分子分母分别因式分解，再约分即可．
【解答】解：，
故选：A．
【点评】本题考查分式约分，熟练掌握分式的基本性质是关键．
6．计算的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的乘法法则解决此题．
【解答】解：
＝
＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的基本性质、分式的乘法，熟练掌握分式的基本性质、分式的乘法法则是解决本题的关键．
7．若÷运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　）
A．y﹣x B．y+x C． D．3x
【分析】根据分式的乘除法法则进行解题即可．
【解答】解：÷＝×
∵运算的结果为整式，
∴□中式子一定含有x的单项式，
故只有D项符合．
故选：D．
【点评】本题考查分式的乘除法和整式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
8．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据分式相加减和平方差公式的运算法则求解即可．
【解答】解：，
故选：D．
【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．3 D．﹣2
【分析】分式方程无解有两种情况：①去分母后所得整式方程无解，②解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：，
两边都乘以x﹣3，得
2﹣（x+m）＝2（x﹣3），
∴3x＝8﹣m，
∵分式方程无解，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴9＝8﹣m，
∴m＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
10．关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
【分析】增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【解答】解：去分母得：m+3＝x﹣3，
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入m+3＝x﹣3得：m＝﹣3，
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的增根，理解增根概念是关键．
二．填空题（共5小题）
11．分式：，，的最简公分母是　12x2y2　．
【分析】按照求最简公分母的方法求解即可．
【解答】解：，，的最简公最简公分母是12x2y2；
故答案为：12x2y2．
【点评】此题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
12．若分式的值等于0，则y＝　﹣5　．
【分析】分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可．
【解答】解：若分式的值等于0，
则|y|﹣5＝0，y＝±5．
又∵5﹣y≠0，y≠5，
∴y＝﹣5．
若分式的值等于0，则y＝﹣5．
故答案为﹣5．
【点评】本题主要考查分式的值为0的条件和绝对值的知识点，此题很容易出错，不考虑分母为0的情况．
13．计算：＝　　．
【分析】先计算分式的乘方，再进行乘除运算即可求解．
【解答】解：原式＝
故答案为：．
【点评】本题考查分式的乘方、分式的乘除混合运算．掌握相关运算法则是解题关键．
14．已知x为整数，且为整数，则所有符合条件的x值的和为　12　．
【分析】首先把分式进行化简，式子的值的是整数的条件是分母是分子的因数，据此即可确定．
【解答】解：＝＝＝
式子的值是整数，则x﹣3＝±2或±1．
则x＝5或1或4或2．
则所有符合条件的x值的和为12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了分式的值是整数的条件，正确理解条件是解题的关键．
15．若关于x的方程无解，则m＝　﹣3　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出m的值即可．
【解答】解：关于x的方程化为整式方程为3＝x﹣2﹣m，
解得x＝m+5，
由于原方程无解，即分式方程有增根x＝2，
∴当x＝2时，m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查分式方程的解以及解分式方程，理解分式方程增根的意义是正确解答的前提．
解答题（共9小题）
16．分式计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）直接约分即可得出答案；
（2）先通分，再计算减法即可；
（3）先计算括号内的运算、将除法转化为乘法，再约分即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝﹣
＝；
（3）原式＝
＝ab．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
17．解方程：
（1）﹣＝0；
（2）﹣＝1．
【分析】（1）①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【解答】解：（1）﹣＝0，
2x﹣（x+1）＝0，
2x﹣x﹣1＝0，
x＝1，
经检验：当x＝1时，x（x+1）＝2≠0，
故原方程的解是x＝1；
（2）﹣＝1，
（x﹣2）2﹣16＝x2﹣4，
x2﹣4x+4﹣16＝x2﹣4，
﹣4x+4﹣16＝﹣4，
x＝﹣2，
经检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，是增根，
所以原方程无解．
【点评】考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．
18．解分式方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程两边都乘x（x﹣2）得出3（x+2）+x2＝x（x+2），求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘2（x+3），得：2×2x+2（2x+6）＝﹣12，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）方程两边都乘x（x+2），得：3（x+2）+x2＝x（x+2），
去括号，得：3x+6+x2＝x2+2x，
移项，得：3x﹣2x+x2﹣x2＝﹣6，
合并同类项，得：x＝﹣6，
检验：当x＝﹣6时，x（x+2）＝﹣6×（﹣6+2）＝24≠0，
所以x＝﹣6是原分式方程的根，
∴原分式方程的解为x＝﹣6；
（2）方程两边都乘2（x+3），得：2×2x+2（2x+6）＝﹣12，
去括号，得：4x+4x+12＝﹣12，
移项，得：4x+4x＝﹣12﹣12，
合并同类项，得：8x＝﹣24，
系数化为1，得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，2x+6＝2×（﹣3）+6＝0，
所以x＝﹣3是原分式方程的增根，舍去，
∴原分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
19．2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.3元．若充电费和加油费均为100元时，电动车可行驶的路程是燃油车的2.5倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费．
【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，由题意：若充电费和加油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的2.5倍，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，则燃油车平均每公里的加油费为（x+0.3）元，
根据题意，得：，
解得：x＝0.2，
经检验，x＝0.2是原方程的解，且符合题意，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，理解题意并找到等量关系是解题的关键．
20．为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．
（1）求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；
（2）该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用．
【分析】（1）设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是1.2x元，由题意：订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．列出分式方程，解方程即可；
（2）设订购“红色教育”经典读本a本，则订购“传统文化”经典读本（1000﹣a）本，由题意：“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，列出一元一次不等式组，解得600≤a≤750，再设订购两种读本的总费用为w元，由题意得出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是1.2x元，
由题意得：﹣＝500，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原分式方程的解，
∴1.2x＝12，
答：“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元；
（2）设订购“红色教育”经典读本a本，则订购“传统文化”经典读本（1000﹣a）本，
由题意得：，
解得：600≤a≤750，
设订购两种读本的总费用为w元，
由题意得：w＝12a+10（1000﹣a）＝2a+10000，
∵2＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝600时，w有最小值为2×600+10000＝11200，
此时，1000﹣600＝400，符合题意，
答：订购这两种经典读本的总费用最低为11200元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式．
21．为响应“绿水青山就是金山银山”的生态文明建设号召，我省对一面积为1800亩的某废弃煤矿进行复垦复绿施工，重构绿水青山自然生态环境．因受某些因素影响延期24天开工，为保证如期完成任务增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了25%，并按期完成了施工任务．求实际平均每天施工多少亩．
【分析】设原计划平均每天施工x亩，则实际平均每天施工（1+25%）x亩，根据因受某些因素影响延期24天开工，实际工作效率比原计划每天提高了25%，并按期完成了施工任务．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设原计划平均每天施工x亩，则实际平均每天施工（1+25%）x亩，
由题意得：﹣＝24，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴（1+25%）x＝1.25×15＝18.75，
答：实际平均每天施工18.75亩．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每盒甲商品的进价比每盒乙商品的进价便宜10元，已知用8000元购进的乙的盒数和用6000元购进的甲的盒数相同．
（1）求每盒甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）某商家准备用不超过4000元购进甲和乙共120盒，那么该商家最多可以购进多少盒乙？
【分析】（1）设乙的进价为每盒x元，然后根据题意可列出方程，进而求解即可；
（2）设该商家购进m盒乙，然后根据（1）可知40m+30（120﹣m）≤4000，进而求解即可．
【解答】解：（1）设乙的进价为每盒x元，
根据题意，得，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程的根，且符合题意，40﹣10＝30（元），
答：甲的进价为每盒30元，乙的进价为每盒40元；
（2）设该商家购进m盒乙，根据题意，
得40m+30（120﹣m）≤4000，
解得m≤40，
答：该商家最多可购进40盒乙．
【点评】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是理清已知与未知的数量关系．
23．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量＝工作效率×工作时间列方程求解；
（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．
【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要x天．根据题意，得 ．
解得 x＝90．
经检验，x＝90是原方程的根．
∴x＝×90＝60．
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
则有 ．
解得 y＝36．
需要施工费用：36×（8.4+5.6）＝504（万元）．
∵504＞500．
∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．
【点评】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强．
24．戴口罩可以有效降低感染新型冠状病毒的风险．某学校在本学期开学初为八年级学生购买A、B两种口罩，经过市场调查，每包A口罩比每包B口罩少10元，花费400元购买A口罩和花费600元购买B口罩的数量相等．
（1）求A、B两种口罩每包的价格各是多少元？
（2）若学校需购买两种口罩共500包，总费用不超过12000元，求该校本次购买A种口罩最少有多少包？
【分析】（1）设A种口罩每包的价格为x元，则B种口罩每包的价格为（x+10）元，根据花费400元购买A口罩和花费600元购买B口罩的数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设该校本次购买A种口罩有m包，则购买B种口罩（500﹣m）包，根据总费用不超过12000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设A种口罩每包的价格为x元，则B种口罩每包的价格为（x+10）元，
依题意得：＝，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝30，
答：A种口罩每包的价格是20元，B种口罩每包的价格是30元；
（2）设该校本次购买A种口罩有m包，则购买B种口罩（500﹣m）包，
依题意得：20m+30（500﹣m）≤12000，
解得：m≥300，
答：该校本次购买A种口罩最少有300包．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
25．某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．
（1）求乙单独完成该项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙全程共同完成更省钱，说明理由．
【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，由题意：甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．列出分式方程，解方程即可；
（2）求出甲、乙两队施工天数得出需要施工费用，即可分析得出．
【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天．
由题意得：×20+（+）×36＝1，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙队单独完成这项工程需要80天．
（2）由甲、乙全程共同完成更省钱．理由如下：
由乙队独做需费用：2.5×80＝200（万元）；
甲队独做工期超过90天，不符合要求；
设甲、乙两队合作，完成这项工程需y天，
由题意得：y（+）＝1，
解得：y＝48，
需要施工费用 为（1.5+2.5）×48＝192（万元），
∵192＜200，
∴由甲、乙全程共同完成更省钱．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．