第五章二元一次方程组 期末专题复习与综合训练讲义（含答案）2023-2024学年北师大版八年级数学上册

北师大版数学八年上册《二元一次方程组》期末专题复习与综合训练
专题一 二元一次方程（组）的有关概念
一、二元一次方程（组）的概念
1、含有两个未知数，并且所含未知数的次数都是1的方程叫做二元一次方程
2、，像这样含有两个未知数的两个一次方程组成的一组方程叫做二元一次方程组。
【温馨提示】二元一次方程组是一个从整体上把握的概念，它的本质是：在这个方程组中，只有
两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1.它并不要求每个方程都含有两个未知数。
二、二元一次方程（组）的解的概念
1、使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。一般情况下二元一次方程有无数个解
2、二元一次方程中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
【温馨提示】判断一组数是不是一个二元一次方程组的解，就是看这就组数是否适合每个方程，若适合就是，若不适合，就不是。
三、典例分析：
例1、下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A、 B、 C、 D、
【解析】通过观察，发现A中含有三个未知数，所以不是二元一次方程组，B中第一个方程为二次方程，所以不是二元一次方程组，C中第一个方程组中的的次数不是1，所以不是二元一次方程组，运用排除法，故选D。
例2、判断下列各组数是不是二元一次方程组的解。
（1） (2)
【解析】要想判断一组数是不是方程组的解，一是将其代入，二是把方程组解出来，此题中只要把
两组数分别代入既可知道（1）不是方程组的解，（2）是方程组的解。
例3、已知是二元一次方程，求k的值。
【解析】此题是利用二元一次方程的定义来出的题，因为是二元一次方程，所以各未知数的指数应
为1，所以x的系数为1，既,所以k=±2.
例4、已知是方程的一个解，那么的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】此题是利用二元一次方程组的解的定义，需要转换未知数，解题时可将代入
，既可得：2+a=3,a=1,故选A.
例5、解方程组时，甲由于看错系数a，结果解得；乙由于看错系数b，
结果解得，则原来的a=______，b=______.
【解析】因为方程组的解是方程组中每个方程的公共解，所以看错系数a所得到的解不影响
4x－by=－2的解，故4（－3）－b（－1）=－2，解得b=10；同理可得a=－1。
四、针对性练习
1、已知是关于x、y的二元一次方程，则m=____,n=____.
2、已知是关于x、y的二元一次方程组的解，试求　的值。
3、二元一次方程有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是
A、 B、 C、 D、
4、下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、已知是二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A、－1 B、1 C、2 D、3
6、已知x、y满足方程组则x－y的值为 .
7、在解方程组时，一同学把c看错而得到，而正确的解是，求a，b，c的值．
8、 解方程组时，甲由于看错系数a，结果解得；乙由于看错系数b，结果解得，则原来的a=______，b=______.
9、如果关于x、y的方程组的解与的解相同，求a、b的值.
10、若与2是同类项,则a－b的值等于______。
11、如果关于x、y的方程组的解满足3x+y=5，求k的值。
针对性练习答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 m=3,n=2 1 B D A 1 a=4，b=5，c=－2 a=－1，b=4 a=－4，b=－26 －1 10
　　
专题二 二元一次方程组的解法
一、解二元一次方程组的基本思路和基本方法
解二元一次方程组的基本思想是“消元”，既把“二元”变为“一元”，解二元一次方程组的基本
方法有两种： 一是代入消元法，二是加减消元法。
在代入消元法中，选择一个系数较简单的变形，用一个求知数代替另一个求知数，代入另一个方程
实现消元求解。
　在代入消元法中，常要用到：①用含x的代数式表示y，只要将方程ax+by=c中的x看作已知数，即把ax+by=c看作关于y的一元一次方程，求出；②用含y的代数式表示x，只要将方程ax+by=c中的y看作已知数，即把ax+by=c看作关于x的一元一次方程，求出
在加减消元法中，使两个方程中对应的同类项系数变成相等或互为相反数，对应相减或相加消去一个求知数求解。
解二元一次方程组时到底采用哪种方法，要对具体方程组进行具体分析，一般地说，当方程组中有一个方程的某一个求知数的绝对值是1或有一个方程的常数项为0时，用代入法简单；当两个方程中某一个求知数的系数的绝对值相等或成倍数时，用加减法简单。
二 二元一次方程组的特殊方法----图像法。
第一步将二元一次方程组中的两个方程转化为一次函数表达式。第二步在同一座标系中作出这两个一次函数的图像，交点就是方程组的解。
重点提示：由于作图难以十分准确，因而这样得到的解只能是近似解，所以这种做法的考点往往是已知图像来解二元一次方程组。同时由于直线有两种位置关系，当两直线平行时，方程组无解；当两直线相交时，方程组有唯一解。
三、典例分析
例1、 求方程2x+5y=50的所有正整数解。
【解析】把方程变形为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后从最小的正整数入手一一求出另一个未知数，再剔除不合要求的。把方程变形为y=10－x，
取x=1，得y=10－不是正整数；同样地，分别取x=2、3、4，对应的y都不是正整数，可见，x的取值应是5的倍数；
取x=5，得y=8；
取x=10，得y=6；
取x=15，得y=4；
取x=20，得y=2；
取x=25，得y=0，不是正整数。
因此，2x+5y=50的所有正整数解是，，，。
【说明】二元一次方程又称不定方程，意思是说它有不确定的解，但对于特殊的解（如正整数解、负整数解等）或在某些条件下的解往往是有限的。求不定方程的特殊解的一般方法是先把方程变形为“用含一个未知数的代数式表示另一个未知数”的形式，然后有次序地取值、验证。
例2、方程组的解是 ___．
【解析】结合方程组特点，因为方程组中两个未知数的系数一个相等，一个互为相反数，所以可以用加减法来解。
解：(1)+(2)得：2x=8,所以x=4，把x=4代入（1）得：y=1,所以方程组的解是：。
例3、已知x、y满足方程组则x－y的值为________．
【解析】因为题中要求的是x－y的值，所以可先把方程组解出来，因为代入既可，但仔细观察可以发现，这两个方程中的x、y的系数恰好对称，若直接相减，便可得到答案，,(1)－(2)得：x－y=1.
例4、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是【 】
A、 B、 (
·
P
（
1
，
1
）
1
1
2
2
3
3
－
1
－
1
O
) C、 D、
【解析】从图象上可以看出，方程组的解是，只要把解代入方程组试一下就可以了，通过代入可以知道所解的二元一次方程组是D.
四、针对性练习
1、求方程2x+5y=50的所有正整数解.
2、 解方程组（提示：用代入法。）
3、解方程组
4、解方程组时,可设=m,=n,则原方程组可化为关于m、n的方程组是______.
5、下列方程组适用代入法消元的是( )
A.；B.；C.；D..
6、方程组的解是( )
A.无解；B.只有一个解；C.有两个解；D.有无数多个解.
7、一个两位数,其十位上的数与个位上的数的和等于1,这个两位数是______
如图，以两条直线，的交点坐标为解的方程组是（　　）
A．； B．；C．；D．。
(
Ｏ
1
2
3
3
2
1
x
y
)
9、用图象法解下列方程组：
（1） (2)
10、若一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图像没有交点,则方程组 的解的情况是
( )
A. 有无数组解 B. 有两组解
C. 只有一组解 D、没有解
11、 如果一次函数y=3x+6与y=2x-4的交点坐标为(a,b),则是方程组( )的解
A、 B、 C、 D、
五、针对性练习答案
1、
2、 ； 3、 ；4、 ；5、B ； 6、A ；7、10 ；8、C
9、⑴、 ⑵、
10、D ；11、C
专题三 利用二元一次方程组解图象题
本专题主要涉及有关图象问题，解决的关键在于从图象中读出条件，列出相关的方程组解决
问题。
二、典例分析
例、如图所示，两个天平都平衡，则与2个球体相等质量的正方体的个数为（　 ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解析】从图中可以看出，两个球的质量等于五个圆柱体的质量，两个正方体的质量等于两个圆柱
的质量，列方程组可得。
解：我们可以设球的质量为x，圆柱的质量为y, 正方体的质量为z，所以由(2)可得，
y=z,代入（1）得：2x=5z，所以正方体的个数为5，故选A.
三、针对性练习
1、如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则
一块巧克力的质量是 ______g．
(
巧克力
果冻
50g
砝码
)
　 2、利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图(1)方式放置，再交换两木块的位置，
按图(2)方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是( )．
A．73 cm B．74 cm C．75 cm D．76 cm
3、如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数）
使得每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数之和均相等．
（1）求x，y的值；
（2）画图完成此方阵图．
针对性练习答案
1、20 ；2、C ；3、⑴、 ⑵、a=6,b=1,c=0
专题四 列二元一次方程组解实际问题
一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤是：①弄清题意和题中的数量关系，特别注意隐含条件。②设出求知数如（x,y）。③找出能够表示应用题全部含义的两个等量关系，根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组。④解这个方程组，求出求知数的值。⑤检验是否符合实际并写出答案。
二、典例分析
例、元旦来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同．请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格．
分析：此题是一个图象信息题，由图可知，第一束花有3支康乃馨1支水仙花，第二束花有2支康乃馨和2支水仙花，由前两束花的价格就可求出康乃馨和水仙花的单价，进而求出第三束花的价格。
解：设康乃馨每支元，水仙花每支元
由题意得： 解得：
第三束花的价格为
答：第三束花的价格是17元．
(
共计
19
元
共计
18
元
第三束
水仙花
康乃馨
)
三、针对练习
1、某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品
每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品
y件，则方程组正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、甲、乙、丙三种商品，若购甲4件，乙7件，丙1件，共需36元；若购甲5件，乙9件，丙1件，共需45元；
若购甲、乙、丙各1件，共需______元．
3、已知、互余，比大.设、的度数分别为、，下列方程组中符合题意的是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、据研究，当洗衣机中洗衣粉的含量在0.2％～0.5％之间时，衣服的洗涤效果较好，因为这时表面活性较大．现将4.94kg的衣服放入最大容量为15kg的洗衣机中，欲使洗衣机中洗衣粉的含量达到，那么洗衣机中需要加入多少千克水，多少匙洗衣粉？（1匙洗衣粉约0.02kg，假设洗衣机以最大容量洗涤）
5、我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头（只）？
6、某中学拟组织八年级师生去B地研学．下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：
李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元．”
小芳：“我们学校七年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到A地研学，一天的租金共计5000元．”
小明：“我们八年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满．”
根据以上对话，解答下列问题：
（1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（2）按小明提出的租车方案，八年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？
四、针对性练习答案
1、B；2、9；3、C
4、解、设洗衣机中需加x千克水，y匙洗衣粉
由题意得：解得：
答：洗衣机中需加10千克水，3匙洗衣粉
解：设鸡有x只，兔有y头
由题意得：解得;
答：鸡有27只，兔有8头
6、⑴设：平安客运公司60座的客车每辆每天的租金是x元，45座的客车每辆每天的租金是y元.
由题意得：解得：
答：平安客运公司60座的客车每辆每天的租金是900元，45座的客车每辆每天的租金是700元.
⑵、900×5+700×1=5200（元）
答：八年级师生到该公司租车一天，共需租金5200元
专题五 二元一次方程组与一次函数
二元一次方程组与一次函数在本质上一样的，都包含两个未知数，因此我们既可以用一次函数的图像来解二元一次方程组，也可以用列二元一次方程组的方法来求解一次函数的解析式。
二、典例分析
例1、如右图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线，交
于点．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标．
(
l
1
l
2
x
y
D
O
3
B
C
A
（
4
，
0
）
)
分析：此题体现了方程组与一次函数的关系，要解决这个问题，就要运用方程思想，建立起k与b间二元一次方程组，解之既得函数解析式，在第四问中，因为要满足两三角形面积相等，就得使C、P两点关于点A对称，这样就可以写出P点坐标了。
解：（1）由，令，得．．．
（2）设直线的解析表达式为，由图象知：，；，．
直线的解析表达式为．
（3）由解得．
，．
（4）因为两三角形面积相等，所以C、P关于A点对称，所以P点纵坐标与C点相反，横坐标与C点到点A的距离相等且分居A点两旁，所以点坐标为．
例2、某学校组织了一次野外长跑活动，参加长跑的同学出发后，另一些同学从同地骑自行车前去加油助威。如图，线段L1，L2分别表示长跑的同学和骑自行车的同学行进的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的函数图象。根据图象，解答下列问题：
（1）分别求出长跑的同学和骑自行车的同学的行进路程y与时间x的函数表达式；
（2）求长跑的同学出发多少时间后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学？
分析与解：注意图象横轴与纵轴所表示的意义，以及两线段分别所代表的意义。
（1）因为L1、L2都是直线，且L1经过原点，故可设长跑对应的图象L1的解析式为y=kx，骑车对应的图象L2的解析式为y=ax+b，则由图象可知L1经过点（60，10），L2经过点（20，0）和（40，10），故可分别解得k=，a=，b=－10，所以长跑的：,骑车的：；
（2）联立以上两个函数解析式，得方程组：
解得：x=30,y=5,
即长跑的同学出发了30分钟后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学。
(
L
1
L
2
)
三、针对性练习
1 、已知直线：和直线：：，求两条直线和 的交点坐标，并判断该交点落在平面直角坐标系的哪一个象限上．
2、甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5小时后乙开始出发，结果比甲早1小时到达B地．如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离s(千米)与时间t（小时）的关系，a表示A、B两地间的距离．请结合图象中的信息解决如下问题：
(1)分别计算甲、乙两车的速度及a的值；
(2)乙车到达B地后以原速立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地？并在图中画出甲、乙在返回过程中离A地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象
针对性练习答案
1、解;由得
∴直线和 的交点坐标是（2，-3),在第四象限
解⑴
解得：
⑵设甲返回时的速度为xkm/h
解得x=90
∴甲返回时的速度为90km/h
如图。线段PE,NE分别表示甲、乙两车返回时距离A地的距离s（千米）与时间t（小时）的关系