江西省宜春市丰城重点中学2023-2024学年高一上学期第三次段考（12月）数学试题（含答案）

丰城重点中学2023-2024学年上学期高一第三次段考
数学试题
考试时长：120分钟 考试时间：2023.12.22
考试范围：必修第一册第一章至第六章；
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数
C．从自然数集中一次性抽取20个数进行奇偶性分析是简单随机抽样
D．甲乙丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为27
3．若非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．设函数，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（ ）
x -1 0 1 2 3
-0.670 3.011 5.432 5.980 7.651
-0.530 3.451 4.890 5.241 6.892
A． B． C． D．
6．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设， ，，则的大小关系是
A． B． C． D．
7．设，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（ ）
A． B． C． D．
10．在了解学校学生每年平均阅读文学经典名著的数量时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学也抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为20的新样本，则新样本数据的（ ）
A．平均数为6.5 B．平均数为6 C．方差为14.5 D．方差为13.5
11．以下说法正确的有（ ）
A．实数是成立的充要条件
B．已知的定义域为，则的定义域为
C．若，则的最小值是8
D．已知函数若，且，则的取值范围是
12．已知函数，则（ ）
A．对任意的，函数都有零点.
B．当时，对，都有成立.
C．当时，方程有4个不同的实数根.
D．当时，方程有2个不同的实数根.
三、填空题：本题共4小题，共20分
13．总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 .
7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
14．已知幂函数为偶函数，则该函数的增区间为 ．
15．已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则的取值范围是 .
16．已知的零点为，若，则整数的最大值是 .
四、解答题
17（10分）．计算：
（1）已知，计算：；
(2).
18（12分）．为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的月均用电量都在至之间，进行适当分组后，画出的频率分布直方图如图所示.
(1)求图中a的值；
(2)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯式递增电价（第一档电量满足居民基本用电需求，电价最低；第二档电量反应正常合理用电需求，电价较高；第三档电量体现较高生活质量用电需求，电价最高）定价，希望使不少于85%的居民缴费在第一档，求第一档月均用电量的最低标准值（单位：）.
19（12分）．已知函数
(1)若的值域为，求实数的取值范围；
(2)若在内为单调函数，求实数的取值范围
20（12分）．已知函数，R．
(1)若为偶函数，求a的值；
(2)令．若函数在上有两个不同的零点，求a的取值范围．
21（12分）．某森林出现火灾，火势正以100m2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火50m2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m2，应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？
22（12分）．已知函数，，与互为反函数．
(1)若函数在区间内有最小值，求实数m的取值范围；
(2)若函数，关于方程有三个不同的实数解，求实数a的取值范围．
参考答案
1．D 2．A 3．B 4．A 5．B
6．B【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，又因为，
所以，选B.
7．D【详解】显然方程有二不等实根，则，
即有，
令，依题意，方程在区间上有两个不等实根，
因此，解得，所以实数的取值范围为.
8．B【详解】，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，且，
所以，所以，即在，恒成立，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是
9．AC 10．BD 11．CD
12．AC【详解】当时，；当时，；
所以当时，函数只有个零点，当时，函数只有个零点，
时，函数只有个零点，故A正确；
当时，由指数函数与二次函数的单调性知，函数为单调递增函数，故B错；
当时，令，由得或，作出函数的图象
如图所示，当时，方程有两个解；方程有两个解；
所以方程有4个不同的实数根，故C正确；
当时，方程，则，如图所示，有3个不同的交点，
则故D错误．
13．01 14． 15． 16．
17．【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，
所以，即，所以，
所以．
(2)原式.
18．【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得，
解得.
（2）∵前四组的频率之和为，
前五组的频率之和为，
∴频率为0.85时对应的数据在第五组，
∴第一档月均用电量的最低标准值为.
19．【详解】（1）令，.
的值域为能取的一切值，
所以.
（2）因为在内为单调函数，且在定义域内单调递减，
所以在内也为单调函数，且时，
当在内单调递增时，即函数的对称轴且，解得；
当在内单调递减时，即函数的对称轴且，此时无解；
综上所诉：实数的取值范围为.
20．【详解】（1）由已知得函数为偶函数，
则，即，
化简整理得，即恒成立，故．
（2）由得，
即，，
所以的两个零点为，，
因为，，且，所以，且，
解得，且．
故a的取值范围是．
21．【详解】设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，则t＝，
y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费
＝125xt＋100x＋60(500＋100t)
＝125x×＋100x＋30000＋＝100(x－2)＋＋31450
≥2＋31450＝36450，
当且仅当100(x－2)＝，即x＝27时，y有最小值36450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36450元．
22．【详解】（1）指数函数的反函数为同底数的对数函数，∴.
（2）函数在区间内有最小值，
∴在内先减后增，且，
∴，∴．
（3）∵，∴，∴，
∵g(x)在时单调递增，且g=0,
∴的图象如下：

因为有三个不同的实数解，
设，由的图象可得当或时对于一个确定的的值，对应一个的值，对于的每一个确定的的值，对应两个不同的实数根.
则有两个根，且一个在上，一个根为0；
或有两个根，且一个在上，一个在上.
①有两个根，且一个在上，一个根为0，
∴一个根为0，解得，此时，
另一根，舍去；
②有两个根，且一个在上，一个在上，
令，
（ⅰ）当一个根在上，一个在上，
则∴∴.
（ⅱ）当一个根在上，一个根为2，则，解得．
此时的两根为，，满足题意．
综上，a的取值范围为．