课件12张PPT。21.1 一元二次方程1．只含有一个未知数且未知数的最高次数为________的整式方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式为____________________.
3．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的________，也叫做一元二次方程的________ 2 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根 解 知识点1：一元二次方程的概念
1．下列方程是一元二次方程的是( )
A．ax2＋bx＋c＝0
B．3x2－2x＝3(x2－2)
C．x3－2x－4＝0
D．(x－1)2－1＝0
2．关于x的一元二次方程(a－3)x2＋x＋a2－9＝0，其中a的取值范围为( )
A．a＞3 B．a≥3 C．a≠3 D．a＜3D C 3．已知关于x的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0.当m________时，它是一元二次方程；当m________时，它是一元一次方程．
知识点2：一元二次方程的一般形式
4．方程3x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A．3，5，－1 B．3，－5，1
C．3，－5，－1 D．3，5，1≠±2 ＝－2 B 知识点3：一元二次方程的解(根)
6．下列关于x的方程中，一定有实数根－1的是( )
A．x2－x＋2＝0 B．x2＋x－2＝0
C．x2－x－2＝0 D．x2＋1＝0
7．(2014·长沙)已知关于x的一元二次方程2x2－3kx＋4＝0的一个根是1，则k＝_____．
知识点4：用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系
8．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )
A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6
C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6C2B9．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．
(1)正方体的表面积为54，求正方体的边长x；解：6x2＝54，一般形式为6x2－54＝0 (2)x个球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮球队数x.10．下列是方程3x2＋5x－2＝0的解的是( )
A．x＝－1 B．x＝1
C．x＝－2 D．x＝2
11．已知实数a，b满足a2－3a＋1＝0，b2－3b＋1＝0，则关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的说法中正确的是( )
A．x＝a，x＝b都不是该方程的解
B．x＝a是该方程的解，x＝b不是该方程的解
C．x＝b是该方程的解，x＝a不是该方程的解
D．x＝a，x＝b都是该方程的解 C D 12．若关于x的一元二次方程为ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是x＝1，则2015－a－b的值是( )
A．2020 B．2010
C．2016 D．201414．小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一边长x厘米，则另一边长________厘米，列方程得____________________．A m≥0且m≠2 (17－x) x2＋(17－x)2＝132 15．(2014·兰州)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为____________________．x(2x－8)＝24 16．分别根据下列条件，写出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般形式．
(1)a＝5，b＝－4，c＝－1；
(2)二次项系数为3，一次项系数为－7，常数项为2.解：(1)5x2－4x－1＝0(2)3x2－7x＋2＝0 17．根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式．
(1)一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条信息，这样共有756条消息；
(2)两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数．解：(1)x(x－1)＝756，x2－x－756＝0(2)设这两个连续奇数分别为n，n＋2，则n2＋(n＋2)2＝130，2n2＋4n－126＝0 18．关于x的方程(a－3)x|a|－1＋x－5＝0是一元二次方程，求a的值．19．已知k是方程x2－201x＋1＝0的一个不为0的根，不解方程，你能求出k2－20k＋的值吗？如果能，请写出解答过程；如果不能，请说明理由．(用方程根的定义解答)课件11张PPT。21．1 一元二次方程教学目标1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．
2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点难点重点
通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．
难点
一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．教学设计教学设计活动2 探究新知
根据题意列方程．
1．教材第2页 问题1.
提出问题：
(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？
(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？
(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程．
2．教材第2页 问题2.
提出问题：
(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？
(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？
(3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？教学设计3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．
提出问题：
本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？
4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？教学设计活动3 归纳概念
提出问题：
(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？
(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？
(3)归纳一元二次方程的概念．
1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
提出问题：
(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？
(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？
(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？教学设计总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．教学设计例2 教材第3页 例题．
例3 以－2为根的一元二次方程是( )
A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0
C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0
总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．教学设计练习：
1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．
2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
3．教材第4页 练习第2题．
4．若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．
答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4.教学设计活动5 课堂小结与作业布置
课堂小结
我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？
作业布置
教材第4页 习题21.1第1～7题.课题：21.1一元二次方程
一、教学目标
1.经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程.
2.会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称.
二、教学重点和难点
1.重点：一元二次方程的概念.
2.难点：把一元二次方程化成一般形式.
三、教学过程
（一）创设情境，导入新课
师：（板书：3x-5=0）这是一个什么方程？（稍停）3x-5=0是一个一元一次方程（板书：一元一次方程）.
师：哪位同学知道什么样的方程是一元一次方程？
生：……（让几名同学回答）
师：（指准3x-5=0）只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程，叫做一元一次方程.（指准“一元一次方程”）一元指的是含有一个未知数，一次指的是未知数的次数是1.
师：一元一次方程是我们在初一已经学过的，从今天开始，我们要学习一种新的方程，叫做一元二次方程（板书：一元二次方程）.
（二）尝试指导，讲授新课
师：什么样的方程是一元二次方程？（板书：x2-x=56）x2-x=56是一个一元二次方程，（板书：4x2-9=0）4x2-9=0也是一元二次方程，（板书：x2+3x=0）x2+3x=0也是一元二次方程，（板书：3y2-5y=7）3y2-5y=7也是一元二次方程.
师：从这些一元二次方程，哪位同学能概括什么样的方程是一元二次方程？（等到有一部分同学举手再叫学生）
生：……（多让几名同学回答）
师：（指准x2-x=56）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.
（师出示下面的板书）
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.
师：请大家把一元二次方程的定义读两遍.（生读）
师：根据一元二次方程的定义，（指准方程）我们很容易判断x2-x=56，4x2-9=0，x2+3x=0，3y2-5y=7这些方程都是一元二次方程.（板书：3x(x-1)=5(x+2)）现在请大家判断，这个方程是不是一元二次方程？为什么？（让生思考一会儿）
生：……（让几名学生发表看法）
师：把这个方程两边去括号，得到3x2-3x=5x+10（边讲边板书：3x2-3x=5x+10），去括号后容易看出，这个方程是一元二次方程.
师：（指3x2-3x=5x+10）这个方程还可以继续整理，怎么继续整理？（指准方程）先把右边的5x和10都移到左边去，再合并，得到3x2-8x-10=0（边讲边板书：3x2-8x-10=0）.
师：（指原方程和3x2-8x-10=0）大家可以比较这两个方程，这个方程是这个方程经过整理得到的，这个方程的形式又简单又整齐，我们把这种形式叫做一元二次方程的一般形式（板书：一元二次方程的一般形式）.
师：从这个例子大家可以看到，任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化成一般形式，一般形式就是ax2+bx+c=0这样的形式（边讲边板书：ax2+bx+c=0）.
师：（指准ax2+bx+c=0）在一元二次方程的一般形式中，我们把ax2叫做二次项，a是二次项系数（板书：其中a是二次项系数）；bx叫做一次项，b是一次项系数（板书：b是一次项系数）；c叫做常数项（板书：c是常数项）.
师：（指准3x2-8x-10=0）譬如，在这个方程中，二次项是3x2，二次项系数是3；一次项是-8x，一次项系数是-8；常数项是-10.
师：（指x2+3x=0）大家看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？
生：二次项是x2，二次项系数是1.（多让几名同学回答）
师：（指x2+3x=0）它的一次项、一次项系数是什么？
生：一次项是3x，一次项系数是3.（多让几名同学回答）
师：（指x2+3x=0）它的常数项是什么？
生：常数项是0.（多让几名同学回答，如有必要师作解释）
师：（指4x2-9=0）大家再看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？
生：二次项是4x2，二次项系数是4.
师：（指4x2-9=0）它的一次项、一次项系数是什么？
生：……（多让几名同学回答）
师：这个方程的一次项可以写成0x（边讲边板书：0x），所以这个方程的一次项是0x，一次项系数是0.
师：（指4x2-9=0）它的常数项是什么？
生：常数项是-9.
师：前面我们学习了一元二次方程的概念和一般形式，下面请大家利用这些知识来做几个练习.
（三）试探练习，回授调节
1.填空：
(1)把5x2-1=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ；
(2)把4x2=81化成一元二次方程的一般形式，结果是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ；
(3)把x(x+2)=15化成一元二次方程的一般形式，结果是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ；
(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化成一元二次方程的一般形式，结果是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
2.填空：
(1)一个一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-5，这个一元二次方程是 ；
(2)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为3，这个一元二次方程是 ；
(3)一个一元二次方程，它的二次项系数为5，一次项系数为-1，常数项为0，这个一元二次方程是 ；
(4)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-6，这个一元二次方程是 .
（四）归纳小结，布置作业
师：这节课我们学习了什么？哪位同学能帮老师小结一下？
生：……（让一两名学生小结）
（作业：P28习题1）
四、板书设计
一元一次方程：3x-5=0 3x(x-1)=5(x+2)
一元二次方程：x2-x=56 3x2-3x=5x+10
4x2-9=0 3x2-8x-10=0
x2+3x=0 一元二次方程的一般形式：
3y2-5y=7 ax2+bx+c=0，其中a是二次项系数，b是一次项系
只含有一个未知数……叫做 数，c是常数项
一元二次方程.
课题：22.1一元二次方程（第2课时）
一、教学目标
1.知道什么是一元二次方程的解（根）.
2.会用直接开平方法解一元二次方程，渗透转化思想.
二、教学重点和难点
1.重点：一元二次方程解（根）的概念，直接开平方法.
2.难点：直接开平方法.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：
(1)只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程，叫做一元二次方程；
(2)ax2+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的 形式，其中
是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项.
2.填空：
(1)把(x+3)(x-4)=0化成一元二次方程的一般形式，结果是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ；
(2)把(2x+1)2=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
（二）尝试指导，讲授新课
师：（板书：2x-6=0）这是一个一元一次方程，这个方程的解是什么？
生：（齐答）解是x=3.（师板书：解是x=3）
师：（指准方程）2x-6=0的解是x=3，这话是什么意思？（稍停）把x=3代入方程，左边=2×3-6=0，右边=0，左边和右边恰好相等.2x-6=0的解x=3，意思是，x=3能使方程左右两边恰好相等.
师：（板书：x2-x=0）这是一个一元二次方程，这个方程的解是什么？（让生思考一会儿再叫学生）
生：解是x=0.（师板书：x=0）
师：（指准方程）把x=0代入方程，左边和右边相等，所以x=0是这个一元二次方程的一个解.
师：除了x=0，这个方程还有没有别的的解？
生：x=1.（师板书：x=1）
师：（指准方程）把x=1代入方程，左边和右边相等，所以x=1也是这个一元二次方程的一个解.
师：可见x2-x=0有两个解，一个解x1=0（边讲边标下标），另一个解x2=1（边讲边标下标）.
师：一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（板书：（根）），所以也可以这样说，（指准板书）x2-x=0有两个根，一个根x1是0，另一个根x2是1.
师：下面请同学们做一个练习.
（三）试探练习，回授调节
3.填空：在-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这些数中，是一元二次方程x2-x-6=0的根的是 .
4.填空：方程x2-36=0的根是x1= ，x2= .
（四）尝试指导，讲授新课
师：（板书：x2-36=0）刚才我们求了x2-36=0这个一元二次方程的两个根，x1=6，x2=-6.我们是怎么求的？我们是通过凑数字求的.大家可以想到，凑数字求根是有局限性的，什么局限性？（稍停）通过凑数字只能求那些很简单的一元二次方程的根，如果方程稍微复杂一点，数字就不好凑了.譬如，我们把右边的0改为2x（边讲边把x2-36=0中的0改为2x），x2-36=2x这个方程就很难用凑数字来求根.所以，求一元二次方程的根不能光靠凑数字，还需要有专门的方法.
师：解一元二次方程的方法有好几种，下面我们先来介绍第一种方法，叫直接开平方法（板书：直接开平方法）.
师：怎么用直接开平方法解一元二次方程？（稍停）让我们来看一个例子.
（师出示例题）
例 解下列一元二次方程：
(1)4x2-9=0； (2)3(2x-1)2=15.
（师边讲解边板书，解题过程如下所示）
解：(1)原方程化成.
开平方，得，
x1=，x2=-.
(2)原方程化成.
开平方，得，
x1=，x2=.
师：（指准例题）从这两个题目，哪位同学会概括用直接开平方法解一元二次方程的步骤？
生：……（让一两名好生概括）
师：（指准例题）用直接开平方法解一元二次方程，有三步，第一步把原方程化成x2=常数，或者含x的式子的平方=常数的形式（板书：第一步：化成什么2＝常数）；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程（板书：第二步：开平方）；第三步解一元一次方程，得到两个根（板书：第三步：解一元一次方程）.
师：下面请同学们按这三步来做两个题目.
（五）试探练习，回授调节
5.完成下面的解题过程：
(1)解方程：2x2-6=0；
解：原方程化成 .
开平方，得 ，
x1= ，x2= .
(2)解方程：9(x-2)2=1.
解：原方程化成 .
开平方，得 ，
x1= ，x2= .
（六）归纳小结，布置作业
师：（指准板书）本节课我们学习了一元二次方程根的概念，还学习了用直接开平方法解一元二次方程.用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步把原方程化成什么2=常数这种形式；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程，也就是把二次降为一次（板书：降次）；第三步解一元一次方程，得到两个根.
（作业：P28习题3，P42习题1）
四、板书设计
2x-6=0解是x=3 直接开平方法 例
x2-x=0解是x1=0,x2=1 第一步：化成什么2＝常数；
x2-36=2x 第二步：开平方，降次；
第三步：解一元一次方程.
第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为__2___的整式方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式为__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)___．
3．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的__解___，也叫做一元二次方程的__根___．
知识点1：一元二次方程的概念
1．下列方程是一元二次方程的是( D )
A．ax2＋bx＋c＝0 B．3x2－2x＝3(x2－2)
C．x3－2x－4＝0 D．(x－1)2－1＝0
2．关于x的一元二次方程(a－3)x2＋x＋a2－9＝0，其中a的取值范围为( C )
A．a＞3 B．a≥3
C．a≠3 D．a＜3
3．已知关于x的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0，当m__≠±2___时，它是一元二次方程；当m__＝－2___时，它是一元一次方程．
知识点2：一元二次方程的一般形式
4．方程3x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是( B )
A．3，5，－1 B．3，－5，1
C．3，－5，－1 D．3，5，1
5．将一元二次方程2y2－1＝y化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：一般形式为2y2－y－1＝0，其中二次项系数是2，一次项系数是－，常数项是－1
知识点3：一元二次方程的解(根)
6．下列关于x的方程中，一定有实数根－1的是( C )
A．x2－x＋2＝0 B．x2＋x－2＝0
C．x2－x－2＝0 D．x2＋1＝0
7．(2014·长沙)已知关于x的一元二次方程2x2－3kx＋4＝0的一个根是1，则k＝__2___．
知识点4：用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系
8．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( B )
A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6
C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6
9．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．
(1)正方体的表面积为54，求正方体的边长x；
解：6x2＝54，一般形式为6x2－54＝0
(2)x个球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮球队数x.
解：x(x－1)＝30，一般形式为x2－x－30＝0
10．下列是方程3x2＋5x－2＝0的解的是( C )
A．x＝－1 B．x＝1
C．x＝－2 D．x＝2
11．已知实数a，b满足a2－3a＋1＝0，b2－3b＋1＝0，则关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的说法中正确的是( D )
A．x＝a，x＝b都不是该方程的解
B．x＝a是该方程的解，x＝b不是该方程的解
C．x＝b是该方程的解，x＝a不是该方程的解
D．x＝a，x＝b都是该方程的解
12．若关于x的一元二次方程为ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是x＝1，则2015－a－b的值是( A )
A．2020 B．2010
C．2016 D．2014
13．若方程(m－2)x2＋x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是__m≥0且m≠2___．
14．小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一边长x厘米，则另一边长__(17－x)___厘米，列方程得__x2＋(17－x)2＝132___．
15．如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的，AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等．设小矩形的长为x，则可列出的方程为__x(2x－8)＝24___．
16．分别根据下列条件，写出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般形式．
(1)a＝5，b＝－4，c＝－1；
(2)二次项系数为3，一次项系数为－7，常数项为2.
解：(1)5x2－4x－1＝0
(2)3x2－7x＋2＝0
17．根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式．
(1)一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条信息，这样共有756条消息；
(2)两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数．
解：(1)x(x－1)＝756，x2－x－756＝0
(2)设这两个连续奇数分别为n，n＋2，则n2＋(n＋2)2＝130，2n2＋4n－126＝0
18．关于x的方程(a－3)x|a|－1＋x－5＝0是一元二次方程，求a的值．
解：由定义可得解得a＝－3
19．已知k是方程x2－101x＋1＝0的一个不为0的根，不解方程，你能求出k2－100k＋的值吗？如果能，请写出解答过程；如果不能，请说明理由．(用方程根的定义解答)
解：∵k2－101k＋1＝0，∴k2－100k＝k－1，k2＋1＝101k，原式＝k－1＋＝－1＝－1＝100
第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．
2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．
3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．
重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．
难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．
一、自学指导．(10分钟)
问题1：
如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①
问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共__场．列方程__＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②
探究：
(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．
(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．
归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．
1．一元二次方程的定义
等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．
点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)
1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？
(1)x3－2x2＋5＝0； (2)x2＝1；
(3)5x2－2x－＝x2－2x＋；
(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；
(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.
解：(2)(3)(4)．
点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．
2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.
点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
1．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．
证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，
∵(m－4)2≥0，
∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.
∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．
点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．
2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．
点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)
1．判断下列方程是否为一元二次方程．
(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；
(3)2x2－3x－1＝0; (4)－＝0；
(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.
解：(1)是；(2)不是；(3)是；
(4)不是；(5)不是；(6)是．
2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．
解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，
∴4a＋8－5＝0，
解得a＝－.
3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.
解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.
3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
