河南省郑州市东枫外国语学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

河南省郑州市东枫外国语学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
一、选择题。（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）﹣5的相反数为（　　）
A．5 B．﹣5 C．5或﹣5 D．
2．（3分）火热的卡塔尔世界杯足球赛已经落下帷幕，最终阿根廷队捧起了大力神杯．据统计，本届世界杯，卡塔尔官方共投入约220000000000美元用于场馆、交通、酒店等基础设施建设，220 000 000 000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．22×108 B．220×109 C．2.2×1010 D．2.2×1011
3．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体俯视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2a2+a3＝3a6 B．2a2 4a3＝6a5
C．2a6÷a2＝2a3 D．（2ab2）3＝8a3b6
5．（3分）如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数为（　　）
A．55° B．60° C．70° D．75°
6．（3分）希望中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．若小强的三项成绩（百分制）依次是95，90，91．则小强这学期的体育成绩是（　　）
A．92 B．91.5 C．91 D．90
7．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（　　）
A．＝2× B．＝2×
C．＝2× D．＝2×
8．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则k＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B（0，6），点A在第一象限内，AB＝OA，∠OAB＝120°，将△ABO绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（　　）
A．（，﹣3） B．（﹣，3） C．（2，0） D．（﹣，﹣3）
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个大于1且小于2的无理数　 　．
12．（3分）不等式组的解集为 　 　．
13．（3分）如图所示的电路图中，当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为 　 　．
14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，分别以O，B为圆心，大于OB的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交于点C，过点C作CD⊥AO于点D，则阴影部分的面积为 　 　．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点M为AB边上一点，AM＝2，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为　 　．
三.解答题。（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）距离中考体考时间越来越近，年级想了解初三年级1512名学生周末在家体育锻炼的情况，在初三年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了以下数据（单位：分钟）
男生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，100，58，69，88，99，105
女生：36，48，78，99，56，62，35，109，29，88，88，69，73，55，90，98，69，72
统计数据，并制作了如下统计表：
时间x 0≤x≤30 30＜x≤60 60＜x≤90 90＜x
男生 2 m n 4
女生 1 5 9 3
分析数据：两组数据的极差、平均数、中位数、众数如表所示
极差 平均数 中位数 众数 方差
男生 77 66.7 b 70 617.3
女生 a 69.7 70.5 c 547.2
（1）请将上面的表格补充完整：m＝　 　，n＝　 　，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计初三年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的同学约有多少人？
（3）体育老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持体育老师观点的理由．
18．（9分）为加强疫情防控工作，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表：
名称 红外线体温检测仪
安装示意图
技术参数 最大探测角：∠B'CA'＝34°
安装要求 本设备需要安装在垂直于水平地面AB的支架CE上，CD∥AB且∠ECB'＝∠A'CD
问题解决：学校要求测温区域的宽度AB为4m，师生身高设定为A'A＝B'B＝1.7m．当师生从A走到B时，即可测出人体温度．请你帮助学校确定该设备的安装高度EC．（结果精确到0.1m；参考数据tan34°≈0.7，tan28°≈0.5）
19．（9分）如图，一次函数y＝k1x+b（k≠0）与反比例函数的图象交于A（1，6），B（3，m）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出k1x+b＞时，x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
20．（9分）草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季．某水果店以2850元购进两种不同品种的盒装草莓．若按标价出售可获毛利润1500元（毛利润＝售价﹣进价），这两种盒装草莓的进价、标价如表所示：
价格/品种 A品种 B品种
进价（元/盒） 45 60
标价（元/盒） 70 90
（1）求这两个品种的草莓各购进多少盒；
（2）该店计划下周购进这两种品种的草莓共100盒（每种品种至少进1盒），并在两天内将所进草莓全部销售完毕（损耗忽略不计）．因B品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒．如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少？
21．（9分）日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日器的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段DE为日器的底座，点C为日晷与底座的接触点，DE与⊙O相切于点C，点A，B，F均在⊙O上，且OA，OB，OF为不同时刻晷针的影长，OF，OB的延长线分别与DE相交于点E，D，连接AC，BC，已知OE∥BC．
（1）求证：OF⊥AC；
（2）若OE＝4，，求BC的长．
22．（10分）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣2（a＞0）．
（1）二次函数图象的对称轴是 　 　；
（2）当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差为3，求该二次函数的表达式；
（3）对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥2时，均满足y1≤y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
23．（10分）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；
（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．
河南省郑州市东枫外国语学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题。（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）﹣5的相反数为（　　）
A．5 B．﹣5 C．5或﹣5 D．
【分析】根据相反数的定义即可解答．
【解答】解：﹣5的相反数为5．
故选：A．
【点评】本题考查的是相反数．掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题关键，注意0的相反数是0．
2．（3分）火热的卡塔尔世界杯足球赛已经落下帷幕，最终阿根廷队捧起了大力神杯．据统计，本届世界杯，卡塔尔官方共投入约220000000000美元用于场馆、交通、酒店等基础设施建设，220 000 000 000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．22×108 B．220×109 C．2.2×1010 D．2.2×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：220000000000＝2.2×1011．
故选：D．
【点评】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．
3．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．
【解答】解：俯视图如选项B所示，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的视图是俯视图．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2a2+a3＝3a6 B．2a2 4a3＝6a5
C．2a6÷a2＝2a3 D．（2ab2）3＝8a3b6
【分析】根据整式的加减运算、乘除运算以及积的乘方运算即可求出答案．
【解答】解：A、2a2与a3不能合并，故A不符合题意．
B、原式＝8a6，故B不符合题意．
C、原式＝2a4，故C不符合题意．
D、原式＝8a3b6，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算、乘除运算以及积的乘方运算，本题属于基础题型．
5．（3分）如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数为（　　）
A．55° B．60° C．70° D．75°
【分析】利用平行线的性质定理和判定定理，即可解答．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠3＝∠5＝125°，
∴∠4＝180°﹣∠5＝180°﹣125°＝55°，
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质和判定定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6．（3分）希望中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．若小强的三项成绩（百分制）依次是95，90，91．则小强这学期的体育成绩是（　　）
A．92 B．91.5 C．91 D．90
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
【解答】解：根据题意得：
95×20%+90×30%+91×50%＝91.5（分）．
答：小强这学期的体育成绩是91．（5分）．
故选：B．
【点评】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道常考题．
7．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（　　）
A．＝2× B．＝2×
C．＝2× D．＝2×
【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为（x+1）天，快马送到所需时间为（x﹣3）天，再利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵规定时间为x天，
∴慢马送到所需时间为（x+1）天，快马送到所需时间为（x﹣3）天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
∴＝2×．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则k＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＝0，
解得k＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分F在线段PD上，以及线段DQ上两种情况，表示出y与x的函数解析式，即可做出判断．
【解答】解：当F在PD上运动时，△AEF的面积为y＝AE AD＝2x（0≤x≤2），
当F在AD上运动时，△AEF的面积为y＝AE AF＝x（6﹣x）＝﹣x2+3x（2＜x≤4），
图象为：
故选：A．
【点评】此题考查了动点问题的函数问题，解决本题的关键是读懂图意，得到相应y与x的函数解析式．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B（0，6），点A在第一象限内，AB＝OA，∠OAB＝120°，将△ABO绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（　　）
A．（，﹣3） B．（﹣，3） C．（2，0） D．（﹣，﹣3）
【分析】作出旋转后的图形，再根据三角函数求出旋转后A点的坐标即可．
【解答】解：由题意知，将△ABO绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，
∴每旋转6次则回到原位置，
∵2025÷6＝337……3，
∴第2025次旋转结束时，图形旋转了180°，
如图所示，旋转后的图形为OA'B'，做A'H⊥y轴于H，
∵AB＝OA，∠OAB＝120°，B（0，6），
∴OH＝OB'＝OB＝3，∠A'OH＝∠AOB＝30°，
∴A'H＝OH tan30°＝3×＝，
∴A'（﹣，﹣3），
故选：D．
【点评】本题主要考查旋转的知识，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个大于1且小于2的无理数　　．
【分析】由于所求无理数大于1且小于2，则该数的平方大于1小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．
【解答】解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
12．（3分）不等式组的解集为 　1≤x＜7　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣3＜4，得：x＜7，
解不等式≥1，得：x≥1，
则不等式组的解集为1≤x＜7，
故答案为：1≤x＜7．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（3分）如图所示的电路图中，当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为 　　．
【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：设S1、S2、S3、S4分别用1、2、3、4表示，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果，
∴能够让灯泡发光的概率为：＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．正确的画出树状图是解题的关键．
14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，分别以O，B为圆心，大于OB的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交于点C，过点C作CD⊥AO于点D，则阴影部分的面积为 　﹣　．
【分析】根据作图过程可得MN是OB的垂直平分线，可得CO＝CB，可得△OBC是等边三角形，然后利用扇形面积减去三角形面积即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OC，BC，
根据作图过程可知：MN是OB的垂直平分线，
∴CO＝CB，
∵OC＝OB，
∴OC＝OB＝CB＝OA＝2，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴COD＝30°，
∴CD＝OC＝1，
∴CD＝CD＝，
∴阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△ACD的面积
＝﹣1×
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点M为AB边上一点，AM＝2，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为　2或5﹣　．
【分析】分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，由折叠的性质得：AN＝PN，AM＝PM，证出∠AMN＝∠ANM＝60°，得出AN＝AM＝2；
②当点P在菱形对角线BD上时，设AN＝x，由折叠的性质得：PM＝AM＝2，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，求出BM＝AB﹣AM＝1，证明△PDN∽△MBP，得出＝＝，求出PD＝x，由比例式＝，求出x的值即可．
【解答】解：分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，如图1所示：
由折叠的性质得：AN＝PN，AM＝PM，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠PAM＝∠PAN＝30°，
∴∠AMN＝∠ANM＝90°﹣30°＝60°，
∴AN＝AM＝2；
②当点P在菱形对角线BD上时，如图2所示：
设AN＝x，
由折叠的性质得：PM＝AM＝2，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，
∵AB＝3，
∴BM＝AB﹣AM＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∠PDN＝∠MBP＝∠ADC＝60°，
∵∠BPN＝∠BPM+60°＝∠DNP+60°，
∴∠BPM＝∠DNP，
∴△PDN∽△MBP，
∴＝＝，即＝＝，
∴PD＝x，
∴＝x
解得：x＝5﹣或x＝5+（不合题意舍去），
∴AN＝5﹣，
综上所述，AN的长为2或5﹣；
故答案为：2或5﹣．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及分类讨论等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是关键．
三.解答题。（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）先化简，再算加法即可；
（2）先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
【解答】解：（1）
＝﹣2+1+（﹣1）
＝﹣2；
（2）
＝÷
＝
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17．（9分）距离中考体考时间越来越近，年级想了解初三年级1512名学生周末在家体育锻炼的情况，在初三年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了以下数据（单位：分钟）
男生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，100，58，69，88，99，105
女生：36，48，78，99，56，62，35，109，29，88，88，69，73，55，90，98，69，72
统计数据，并制作了如下统计表：
时间x 0≤x≤30 30＜x≤60 60＜x≤90 90＜x
男生 2 m n 4
女生 1 5 9 3
分析数据：两组数据的极差、平均数、中位数、众数如表所示
极差 平均数 中位数 众数 方差
男生 77 66.7 b 70 617.3
女生 a 69.7 70.5 c 547.2
（1）请将上面的表格补充完整：m＝　5　，n＝　7　，a＝　80　，b＝　68.5　，c＝　88和69　；
（2）已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计初三年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）的同学约有多少人？
（3）体育老师看了表格数据后认为初三年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持体育老师观点的理由．
【分析】（1）根据频数统计方法，可得出各个分组的频数，进而确定m、n的值，通过对女生数据的整理，求出极差，中位数、众数即可；
（2）求出男女生锻炼时间超过90分钟的人数所占的百分比，用1512去乘这个百分比即可；
（3）通过比较男女生的中位数、平均数得出理由．
【解答】解：（1）分别统计男生数据，可得在30＜x≤60组的频数m＝5，在60＜x≤90组的频数n＝7；
女生数据的极差a＝109﹣29＝80，将男生数据从小到大排列后，处在第9、10位的两个数的平均数为＝68.5，因此中位数b＝68.5，女生数据出现次数最多的是69和88，因此众数是69和88，
故答案为：5，7，80，68.5，69和88；
（2）据表格，可得锻炼时间在90分钟以上的男生有4人，女生有3人，（人），
答：初三年级锻炼时间在90分钟以上的同学有294人．
（3）理由一：因为69.7＞66.7，所以女生锻炼时间的平均时间更长，因此女生周末做得更好．
理由二：因为70.5＞68.5，所以锻炼时间排序后在中间位置的女生比男生更好，因此女生周末做得更好．
【点评】本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、极差的意义和计算方法，理解各个统计量的意义，是正确计算的前提，样本估计总体是统计常用的方法．
18．（9分）为加强疫情防控工作，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表：
名称 红外线体温检测仪
安装示意图
技术参数 最大探测角：∠B'CA'＝34°
安装要求 本设备需要安装在垂直于水平地面AB的支架CE上，CD∥AB且∠ECB'＝∠A'CD
问题解决：学校要求测温区域的宽度AB为4m，师生身高设定为A'A＝B'B＝1.7m．当师生从A走到B时，即可测出人体温度．请你帮助学校确定该设备的安装高度EC．（结果精确到0.1m；参考数据tan34°≈0.7，tan28°≈0.5）
【分析】过点A'作A'F⊥CE交CE于点F，解Rt△FCB′和Rt△FCA'，进行求解即可．
【解答】解：如图，过点A'作A'F⊥CE交CE于点F，
设CF＝x m．
∵∠ECB'＝∠A'CD，∠B'CA'＝34°，
∴，
在Rt△FCB′中，FB'＝x tan28°，
在Rt△FCA'中，x＝FA' tan28°，
∴x＝0.5（0.5x+4），
解方程得x≈2.7，
安装高度EC≈2.7+1.7＝4.4（m），
∴该设备的安装高度EC为4.4m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．正确的添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
19．（9分）如图，一次函数y＝k1x+b（k≠0）与反比例函数的图象交于A（1，6），B（3，m）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出k1x+b＞时，x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式即可求得k2的值，然后把x＝3代入即可求得m的值，利用待定系数法可得一次函数的解析式；
（2）根据图象可得结论；
（3）求出点C的坐标，根据S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC即可求解．
【解答】解：（1）∵A（1，6），B（3，m）在的图象上，
∴k2＝6，
∴反比例函数的解析式是y＝，
∴m＝2，
∵A（1，6），B（3，2）在函数y＝k1x+b的图象上，
∴，
解得：，
则一次函数的解析式是y＝﹣2x+8．
∴一次函数的解析式是y＝﹣2x+8，反比例函数的解析式是y＝，
（2）由图象得：当1＜x＜3时，k1x+b＞；
（3）∵直线y＝﹣2x+8与y轴相交于点C，
∴C的坐标是（0，8），
∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC＝×8×（3﹣1）＝8．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据待定系数法求出函数的解析式是解题的关键．
20．（9分）草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季．某水果店以2850元购进两种不同品种的盒装草莓．若按标价出售可获毛利润1500元（毛利润＝售价﹣进价），这两种盒装草莓的进价、标价如表所示：
价格/品种 A品种 B品种
进价（元/盒） 45 60
标价（元/盒） 70 90
（1）求这两个品种的草莓各购进多少盒；
（2）该店计划下周购进这两种品种的草莓共100盒（每种品种至少进1盒），并在两天内将所进草莓全部销售完毕（损耗忽略不计）．因B品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒．如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少？
【分析】（1）根据某水果店以2850元购进两种不同品种的盒装草莓，按标价出售可获毛利润1500元和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以写出毛利润和购买A种草莓数量的函数关系式，然后根据水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒，可以得到相应的不等式，求出A种草莓数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少．
【解答】解：（1）设A品种的草莓购进x盒，B品种的草莓购进y盒，
由题意可得，，
解得，
答：A品种的草莓购进30盒，B品种的草莓购进25盒；
（2）设A品种的草莓购进a盒，则B品种的草莓购进（100﹣a）盒，毛利润为w元，
由题意可得，w＝（70﹣45）a+（90﹣60）×（100﹣a）＝﹣5a+3000，
∵k＝﹣5＜0，
∴w随a的增大而减小，
∵水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒，
∴，
解得20≤a≤33，
∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝﹣5×20+3000＝2900，100﹣a＝80，
答：当A品种的草莓购进20盒，B品种的草莓购进80盒时，才能使毛利润最大，最大毛利润是2900元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程组和不等式组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．
21．（9分）日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日器的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段DE为日器的底座，点C为日晷与底座的接触点，DE与⊙O相切于点C，点A，B，F均在⊙O上，且OA，OB，OF为不同时刻晷针的影长，OF，OB的延长线分别与DE相交于点E，D，连接AC，BC，已知OE∥BC．
（1）求证：OF⊥AC；
（2）若OE＝4，，求BC的长．
【分析】（1）证出BC⊥AC，则可得出结论；
（2）连接OC，证明△OCE∽△BCA，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB为圆O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∵OE∥BC，
∴OE⊥AC．
即OF⊥AC；
（2）解：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵OE∥BC，
∴∠OCB＝∠EOC，
∴∠OBC＝∠EOC，
∵EC是圆O的切线，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE＝90°，
∴∠OCE＝∠ACB，
∴△OCE∽△BCA，
∴，
∴，
∴BC＝．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．（10分）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣2（a＞0）．
（1）二次函数图象的对称轴是 　x＝﹣1　；
（2）当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差为3，求该二次函数的表达式；
（3）对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥2时，均满足y1≤y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）利用二次函数的性质解答即可；
（2）利用二次函数的性质和待定系数法解答即可；
（3）结合二次函数的图象，利用二次函数的性质列出不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：（1）∵x＝﹣＝﹣1，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1；
（2）y＝ax2+2ax﹣2＝a（x+1）2﹣a﹣2，
∵a＞0，
∴当x＝﹣1时，二次函数有最小值为﹣a﹣2，
当﹣2≤x≤1时，x＝1时函数有最大值3a﹣2，
∵当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差为3，
∴3a﹣2﹣（﹣a﹣2）＝3，
∴a＝．
∴该二次函数的表达式为y＝x﹣2；
（3）当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥2时，均满足y1≤y2，t的取值范围是：﹣3≤t≤1．理由：
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＝2与x＝﹣4时的函数值相等，
∵a＞0，
∴抛物线的开口方向向上，
∵当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥2时，均满足y1≤y2，
∴，
解得：﹣3≤t≤1．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的极值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（10分）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．
（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；
（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，∠ABC＝∠DAB＝45°，∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，可得结论；
（2）通过证明△ADB'∽△CDE'，可得∠DAB'＝∠DCE'，由余角的性质可得结论；
（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得AB'＝AD，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，延长CE交AB于H，
∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝∠DAB＝45°，
∵DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，
∴∠BHC＝∠BAD+∠AEH＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致，
理由如下：如图2，延长CE'交AB'于H，
由旋转可得：CD＝DE'，B'D＝AD，
∵∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠CDE'＝∠ADB'，
又∵＝1，
∴△ADB'∽△CDE'，
∴∠DAB'＝∠DCE'，
∵∠DCE'+∠DGC＝90°，
∴∠DAB'+∠AGH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴CE'⊥AB'；
（3）如图3，过点D作DH⊥AB'于点H，
∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴∠BDB'＝30°，B'D＝BD＝AD，
∴∠ADB'＝120°，∠DAB'＝∠AB'D＝30°，
∵DH⊥AB'，
∴AD＝2DH，AH＝DH＝B'H，
∴AB'＝AD，
由（2）可知：△ADB'∽△CDE'，
∴∠DCE'＝∠DAB'＝30°，
∵AD⊥BC，CD＝，
∴DG＝1，CG＝2DG＝2，
∴CG＝FG＝2，
∵∠DAB'＝30°，CE'⊥AB'，
∴AG＝2GF＝4，
∴AD＝AG+DG＝4+1＝5，
∴AB'＝AD＝5．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．