山西省部分学校2023-2024学年高一上学期12月联合考试数学试题（含解析）

2023—2024学年山西省高一12月联合考试
数 学
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章5.1.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
3. “”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，，则的最小值为（ ）
A. 15 B. 12 C. 8 D. 6
5. ，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数（且）在上的值域为，则（ ）
A. 3或 B. 或 C. 或 D. 或
8. 已知定义在上的奇函数在上单调递减，定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数的值域为，则的定义域可能为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知一次函数满足，则的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
11. 人们常用里氏震级M表示地震的强度，E（单位：焦耳）表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为（m为常数），已知甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量约为焦耳，则（ ）
A.
B.
C. 乙地发生的里氏3.2级地震释放出的能量为焦耳
D. 甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量是丙地发生的里氏4.3级地震释放出的能量的倍
12. 已知a，b满足，则（ ）
A. 且 B. 的最小值为9
C. 的最大值为－1 D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 某校高一（5）班共有55名学生，在数学课上全班同学一起做两道数学试题，其中一道是关于指数函数的试题，另一道是关于对数函数的试题.已知关于指数函数的试题做对的有36人，关于对数函数的试题做对的有32人，每名同学至少做对了其中一道试题，则这两道题都做对的有______人.
14. 已知函数，若，且，则______.
15. 若为偶函数，则______.
16. 已知函数恰有3个零点，则a的取值范围为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
计算：（1）；
（2）.
18.（12分）
某校欲建造一个扇环形状（ABDC）的花坛，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆构造出的，小圆半径米，大圆半径米，圆心角.
（1）求该花坛的周长；
（2）求该花坛的面积.
19.（12分）
已知函数（且，b为常数）的图象经过点，.
（1）求a，b的值；
（2）设函数，试求在上的值域.
20.（12分）
已知函数.
（1）求的定义域；
（2）若关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围.
21.（12分）
某果园占地约200公顷，拟种植某种果树，在相同种植条件下，该种果树每公顷最多可种植600棵，种植成本y（单位：万元）与果树数量x（单位：百棵）之间的关系如下表所示.
x 0 4 9 16 36
y 3 7 9 11 15
为了描述种植成本y（单位：万元）与果树数量x（单位：百棵）之间的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③.
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式.
（2）已知该果园的年利润z（单位：万元）与x，y的关系式为，则果树数量x（单位：百棵）为多少时年利润最大？并求出年利润的最大值.
22.（12分）
已知函数.
（1）当时，试判断在上的单调性，并用定义证明.
（2）设，若，，求n的取值范围（结果用m表示）.
2023—2024学年山西省高一12月联合考试
数学参考答案
1. B 依题意得，则.
2. D 因为，所以是第四象限角.
3. B 由，得，解得或.
4. B ，当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为12.
5. C 因为，所以.
6. B 的定义域为，排除选项D.因为，所以为奇函数，排除选项C.因为，所以排除选项A.
7. C 当时，在上单调递减，则，解得，则.当时，在上单调递增，则，解得或－3（舍去），则.
8. A 因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上单调递减，且，.因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，所以在上单调递增，且，画出与的大致图象，故不等式的解集是.
9. BCD 令，解得.令，解得.根据二次函数的图象与性质，可得的定义域可能为，或.
10. AD 设，则，则，解得或，故或.
11. AC 由题意可得，即，解得，A正确，B错误.若，则，，C正确.若，则，，，D错误.
12. ABD 若，则，又，所以不成立，所以，，所以，即且，A正确.，当且仅当，即时，等号成立，B正确.因为，所以，即，得，当且仅当，即，时，等号成立，C错误.因为，所以，则，因为，所以，即，D正确.
13. 13 设这两道题都做对的有x人，则，解得.
14. －2 因为图象的对称轴为直线，所以，则.
15. 0 因为，所以函数为奇函数，则函数为奇函数，得.
16. 当时，令，得，因为函数与函数的图象在上有2个公共点，所以在上有2个零点，则在上只有1个零点.当时，在上有唯一零点，符合题意.当时，的图象的对称轴为直线，在y轴右侧，开口向下，且，则在上有唯一零点，符合题意.当时，的图象的对称轴为直线，在y轴左侧，开口向上，，则，解得.故a的取值范围为.
17. 解：（1）原式……2分
.……5分
（2）原式……7分
……8分
.……10分
18. 解：（1）的长度为米，……2分
的长度为米，……4分
米，……5分
故该花坛的周长为（米）.……6分
（2）该花坛的面积平方米.……12分
19. 解：（1）由题意可得，……2分
两式相减得，解得或－2（舍去），……4分
则.……5分
（2）.……6分
因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，
所以在上单调递增，……7分
则，……9分
，……11分
故在上的值域为.……12分
20. 解：（1）令，即，……2分
解得，……3分
即的定义域为.……4分
（2）由，得，即.……5分
方程有两个不相等的实数根，即方程在上有两个不相等的实数根，……6分
则，……10分
解得，即a的取值范围为.……12分
21. 解：（1）因为模型③在处无意义，所以不符合题意.……1分
若选择①作为y与x的函数模型，将，代入，得，……2分
解得，则，……3分
当时，，当时，，当时，，
与表格中的实际值相差较大，所以①不适合作为y与x的函数模型.……4分
若选择②作为y与x的函数模型，将，代入，得，……5分
解得，则，……6分
当时，，当时，，当时，，
与表格中的实际值相同，所以②更适合作为y与x的函数模型，且相应的函数解析式为……7分
（2）由题可知，该果园最多可种120000棵该种果树，所以且.……8分
，……9分
令，则，……10分
当，即时，z取得最大值，……11分
最大值为79万元.……12分
22. 解：（1）在上单调递增.……1分
证明如下：任取，，且，
则
，……3分
因为，所以，，……4分
所以，即，所以在上单调递增.……5分
（2）令，因为，所以.……6分
由，得，因为，所以，
令，得在上有解，则.……7分
当，即时，；……9分
当，即时，.……11分
综上，当时，n的取值范围为；
当时，n的取值范围为.……12分