“泉港区第一中学、厦门外国语学校石狮分校”两校联考
2023-2024 学年上学期第二次月考试卷解析
高一数学
试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、单选题: 本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1 2 x．已知集合M x x 4 ，N x 2 4 ，则M N （ ）
A． x x 2 B． x 2 x 2 C． x 2 x 2 D． x 0 x 2
【答案】C
【解析】由题得M x 2 x 2 ,N {x | x 2}，所以M N x 2 x 2 .
故选：C
2.已知点 P tan , cos 在第三象限，则角 的终边位置在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【详解】因为点 P tan , cos 在第三象限，
所以 tan 0,cos 0，
由tan 0，可得角 的终边在第二、四象限，
由 cos 0，可得角 的终边在第二、三象限或 x轴非正半轴上，
所以角 终边位置在第二象限，故选：B.
3．下列函数中，既是偶函数，又在 (0, )上单调递增的为（ ）
1
A. f (x) | x | 1 B. f (x) x3 C. f (x) 2 D. f (x) 2
|x|
x
【答案】D
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{#{QQABIYCEggCgABAAARgCAQXYCkKQkBEACAoOxFAEIAABQQNABAA=}#}
【详解】对于 A：f x x 1的定义域为R ，且 f x x 1 x 1 f x ，
所以 f (x) | x | 1为偶函数，当 x 0, 时 f x x 1，由一次函数的性质可知，
f x x 1在 0, 上单调递减，
即 f x x 1在 0, 上单调递减，故 A错误；
对于 B： f (x) 3 x3 的定义域为R ，且 f x x x3 f x ，所以 f (x) x3 为
奇函数，故 B错误；
对于 C： f (x)
1
的定义域为 ,0 U 0, ，且 f x
1 1
f x
x2 x 2 x2 ，
所以 f (x) 1 1 2 为偶函数，由幂函数的性质可知， f (x) 2 在 0, 上单调递减，故x x
C错误；
x x
对于 D： f (x) 2|x|的定义域为R ，且 f x 2 2 f x ，
所以 f (x) 2|x|为偶函数，当 x 0, 时， f (x) 2x，
由指数函数的性质可知， f (x) 2x在 0, 上单调递增，故 D正确；
4．已知 log2 a log2 b 0（ a 0且a
1
1，b 0且b 1），则函数 f x ( )x与 g x log x
a b
的图像可能是（ ）
A． B． C． D.
【答案】B
【解析】 log2 a log2 b 0，即为 log2 ab 0，即有 ab＝1；
当 a＞1时，0＜b＜1，
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{#{QQABIYCEggCgABAAARgCAQXYCkKQkBEACAoOxFAEIAABQQNABAA=}#}
1 x
函数 f x ( ) 与 g x logb x均为减函数，四个图像均不满足，a
当 0＜a＜1时，b＞1，
函数数 f x (1 )x与 g x logb x均为增函数，排除 ACD，a
在同一坐标系中的图像只能是 B，故选：B．
5． 已知 tan 2 ,则 sin
2 3sin cos 等于 ( )
2
A. 2 B.2 C.0 D. 5
【答案】D
【详解】 tan 2，
sin2 3sin cos tan2 3tan 4 6 2
所以 2 sin cos2 tan2 1 4 1 5
6．某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮
用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中 50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来
的 4%，则至少需要提炼的次数为（ ）（参考数据：取 lg 2 0.3）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【详解】设经过n次提炼后，水中的杂质不超过原来的 4%，
由题意得 1 50% n 4%，
2 1 lg 2
得 n log
1 2lg5
1 2log 5 4.7 ，
2 25
2 lg 2 lg 2
所以至少需要 5次提炼，故选：A.
7. 若“ x 1,2 ，使 2x2 x 1 0成立”是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. , 2 2 B. 2 2,
9
C. ,3
9
D.
2
,
2
【答案】C
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【详解】若“ x 1,2 ，使 2x2 x 1 0成立”是假命题，则“ x 1,2 ，使
1
2x2 x 1 0成立”是真命题，即 x 1,2 ， 2x ；
x
令 f x 1 2x , x 1,2 ，则 f x 在 x 1,2 上单增， f x min f 1 3，则 3 .x
故选：C.
ax 4
8．已知函数 f x log3 在区间 1,3 上单调递减，则实数 a的取值范围是（ ）x 3
4 4 4 4 4
A. , B. , 4 C. , D. , 4
3 3 3 3 3
【答案】C
f (x) log ax 4 4 3a 【详解】函数 3 = log a x 3 3 x 3
，
4 3a
因为 y log3 x在 0, 上递增，则 y a 在 1,3 上递减，x 3
4
所以得 4 3a 0，解得 a ，
3
3a 4 4
由 x 1,3 ， f (x)有意义得： 0，解得 a ，
6 3
4 4
因此， a ，所以实数 a
4 , 4的取值范围是
.故选：C.
3 3 3 3
二、多选题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选
项符合题目要求,全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列大小关系正确的是（ ）
A. 20.3 20.4 B. 30.2 40.2
C. log23 log48 D. log23 log32
【答案】ABD
【详解】A选项：由指数函数 y 2x 为单调递增函数，可得 20.3 20.4 成立，所以A选项
正确；
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B选项：由幂函数 y x0.2为单调递增函数，可得30.2 40.2成立，所以 B选项正确；
C选项：由对数函数 y log4 x为单调递增函数，则 log23 log49 log48，所以 C选项
不正确；
D选项：由函数 y log2 x与 y log3 x均为单调递增函数，则 log23 log2 2 1，而
log32 log3 3 1，所以 D选项正确.故选：ABD.
10.下列说法中正确的有（ ）
A. x 1函数 f x a 2 a 0,a 1 的图象过定点 1,3
2
B. 函数 f x x 与函数 g x x2 表示同一个函数
1 1
C. 若 a a 1 3，则 a 2 a 2 5
D.“m 0”是“关于 x的方程 x2 2x m 0有一正一负根”的充要条件
【答案】ACD
【详解】对 A 令 x 1 0，即 x 1时， f 1 a0 2 3，故图象过定点 1,3 故 A 正
确；
2
对于 B， f x x 的定义域为 0, ， g x x2 的定义域为 R，
两函数定义域不同，故不是同一函数
对 C，因为 a a 1 3，所以a 0，
1 1 2 1 2 1 2
由 a 2 a 2 a 2 a 2 2 a a 1 2 3 2 5，
1 1
所以 a 2 a 2 5故 C正确；
4 4m 0
对于 D，关于 x 的方程 x2 2x m 0有一正一负根 m 0，
m 0
所以“m 0 ”是“关于 x的方程 x2 2x m 0有一正一负根”的充要条件，故 D正确.
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故选：ACD.
11.给出下列四个结论，其中正确的结论是 ( )
A．如果 ， 是第一象限的角，且 ，则 sin sin
2 4
B．若圆心角为 的扇形的弦长为 4 3，则该扇形弧长为
3 3
C．若 k (k Z )，则 tan( ) 1
2 2 tan
D．若 sin cos 1，则 sinn cosn 1
11 ,
【解答】解：令 6 6 ， ， 是第一象限的角，且 ，而 sin sin A错
误；
2 r 2 3 4
对于 B，设圆心角为 的扇形所在圆半径为 r ，依题意， ，扇形弧长3 sin
3
l 2 r 8 ．故 错误；
3 3 B
k
sin( )
若 ， k Z ，则 tan( ) 2 cos 1 ，故C正确；
2 2 cos( ) sin tan
2
将 sin cos 1，两边平方，可得 sin cos 0，所以 sin 0，或 cos 0，
若 sin 0，则 cos 1，此时 sin2 cos2 1；
若 cos 0，则 sin 1，此时 sin2 cos2 1，故 sinn cosn 1，故D正确．
故选：CD．
f x
2x 1, x 0
12. 已知函数 ，则下列选项正确的是（ ）
log2x 1, x 0
A. 函数 f x 的值域为 1,
B. 方程 f x 2有两个不等的实数解
C. 不等式 f f x 0 1 2的解集为 0, 8 , 2 2 8, 4
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{#{QQABIYCEggCgABAAARgCAQXYCkKQkBEACAoOxFAEIAABQQNABAA=}#}
D. 2 2关于 x的方程 f x 2 f x 1 a 的解的个数可能为 2,4,5
【答案】ACD
2x 1, x 0
【详解】画出 f x 的图象，如下图所示：
log2x 1, x 0
令 log2x 1 0 log2x 1
1
，解得 x 或 x 2，
2
所以 f x 1 的图象与 x轴交于 ,0 , 2,0 ，
2
对于 A，由图象可知，函数 f x 的值域为[ 1, ),A对；
对于 B，由图象可知，直线 y 2与函数 f x 图象有三个不同的交点，故方程 f x 2有
三个不等的实数解，B错；
1
对于 C，由图象可知，当 x 或 x 2时， f x 0，所以，由 f f x 0，可得
2
f x 1 或 f x 2 .
2
令 log2x
1 1
1 2，解得 x 或 x 2 2；令 log2x 1 2，解得 x = 或 x 8，2 4 8
由图象可知，不等式 f f x 0解集为 0, 1 2 , 2 2 8, ,C对； 8 4
对于 D，令 t f x ，则 t 2 2t 2 a2 1 0，则Δ 4 2 a ，
当Δ 0时， a2 2,t 1，由图可知 y 1与 y f x 的图象有两个交点，即方程
f 2 x 2 f x 1 a2 解的个数为 2个，
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{#{QQABIYCEggCgABAAARgCAQXYCkKQkBEACAoOxFAEIAABQQNABAA=}#}
当Δ 0时，即 a2 2时， t 1 2 a 2 ，则0 2 a2 2 ，
故1 1 2 a2 1 2 ，1 2 1 2 a2 1，
当 t 1 2 a2 时 f x 1 2 a2 1,1 ，则 x有两解，
当 t 1 2 a2 时，若 t 1, 2 ，则 x有三解，若 t 2,1 2 ，则 x有两解，
2
故方程 f x 2 f x 1 a2 2解的个数为 4或 5个，综上方程 f x 2 f x 1 a2 解
的个数可能为 2,4,5个.故选：ACD.
三、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.函数 f x 是定义在 R上的奇函数，并且当 x 0, 时， f x 2x，那么
f log
1
2 5
．
【答案】 5
f x 1 1 【解析】因为函数 是定义在 R上的奇函数，所以 f log2 f log5 2 =0 ，所以 5
f log 1 f log 5 = 2 log 5 22 5 2 5 .
故答案为: 5
14. x 表示不超过 x的最大整数,例如[3.5] 3, 0.5 1.已知 x0是方程
ln x 3x 15 0的根,则 x0 ____________.
【答案】4
15．已知角θ的终边上有一点P x,3 (x 0) cos 10，且 x，求 sin tan 的值为
10
____________.
x 10 x
【解析】因为 r x2 9， cos ，所以 x ．r 10 x2 9
又 x 0，所以 x 1，所以 r 10．
所以点 P坐标为 (1,3)或 ( 1,3)，即θ是第一或第二象限角．
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θ P(1,3) sin 3 10 tan 3 sin tan 3 10 30当 为第一象限角即点 时， ， ，则 ．
10 10
当θ为第二象限角即点 P( 1,3)时， sin 3 10 ， tan 3 3 10 30，则 sin tan ．
10 10
P (1,3) sin tan 3 10 30综述：当点 坐标为 时， ；
10
P ( 1,3) sin tan 3 10 30当点 坐标为 时， .
10
16.已知函数 f x ln x2 1 x 2 x ，则不等式 f x f 2x 1 2的解集是为e 1
______.
2 ex 1
【详解】 g x f x 1 ln x2 1 x 1 ln x2x 1 x x ，e 1 e 1
由于 x2 1 x x x 0，所以 g x 的定义域为R ，
x
g x ln x2 1 x e 1 e x 1
x2 1 x x2 1 x ln 1 ex 2
x 1
x
x 1 e
ln 1
1 ex ex 1
ln x2 1 x g x ，
x2
1 x 1 e
x ex 1
所以 g x 是奇函数，
2 2
当 x 0时， y ln x 1 x 为增函数， y ex 1为增函数， 1
所以 g x 是增函数，由 g x 是奇函数可知， g x 在R 上单调递增，
由 f x f 2x 1 2得 f x 1 f 2x 1 1 ，
即 g x g 2x 1 g 1 2x ，则 x 1 2x 1，解得 x ，
3
所以不等式 f x f 2x 1 1 2 的解集是 , .
3
四、解答题:本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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17.已知函数 f (x) ax2 ax 1的定义域为 R .
（1）求实数 a的取值集合A；
（2）设 B x 3m x m 2 为非空集合，若 x A是 x B的必要不充分条件，求实
数m的取值范围.
【答案】（1） A a | 0 a 4 ；（2） 0,1 .
【详解】（1）可知， ax2 ax 1 0 在 R上恒成立，
当 a 0时，1 0，成立；.............................................1 分
当 a 0时， a2 4a 0，解得0 a 4；..............................3 分
综上所述， a 0,4 . 所以集合 A a | 0 a 4 ..........................5 分
（2）因为， x A是 x B的必要不充分条件. 所以， B A...........6 分
3m m 2
故 3m 0 ,解得0 m 1.......................................9 分
m 2 4
所以，实数m的取值范围是 0,1 ..................................10 分
f ( ) cos( )sin tan( )18.已知
tan( )sin(2 )
(1)化简 f ( )并求 f (- 31 )的值；
3
0 f ( ) f ( ) 1 2 2(2)若 （ ， ）且 ，求 sin cos 的值．
2 5
[解析](1)因为 cos sin tan ＝－cosα，.....................4 分f ( )
（- tan ）siin
π π 1
所以 31 =f(- )＝－cos ＝－ ...............................6 分f (- ) 3 3 2
3
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{#{QQABIYCEggCgABAAARgCAQXYCkKQkBEACAoOxFAEIAABQQNABAA=}#}
π 1
(2)因为 f(α)＋f( －α)＝－ ，
2 5
π 1 1
所以－cosα－cos( －α)＝－ ，所以 cosα＋sinα＝ ，..................7 分
2 5 5
1 24
两边平方，得 1＋2sinαcosα＝ ，所以 2sinαcosα＝－ ，..................8 分
25 25
49 49 24
1－2sinαcosα＝ ，即(sinα－cosα)2＝ ，因为 2sinαcosα＝－ <0，α∈(0，
25 25 25
π 7
π)，所以α∈( ，π)，所以 sinα－cosα>0，所以 sinα－cosα＝ ，........10 分
2 5
1
结合 cosα＋sinα＝ ， 7 ..................12 分5 sin 2 cos 2
25
2 5k 2k219. 已知幂函数 f x m 2m 2 x k Z 是偶函数，且在 0, 上单调递
增.
（1）求函数 f x 的解析式；
（2）若正实数 a
1 4
，b满足 a b 4m，求 的最小值.
a 1 b 1
【解析】（1）由 f x 为幂函数得：m2 2m 2 1 m 1， ...............2 分
且 f x 在 0, 上单调递增，
所以5k 2k 2 0 0 k 5 ，
2
又 k Z，所以 k 1或 k 2，..........................................4 分
当 k 1时， f x x3 2为奇函数，不满足题意，当 k 2时， f x x 为偶函数，满足
题意，所以 f x x2 ..........................................6 分
（2）因为 a 0,b 0且 a b 4m 4，
b 1a 1 b 1 6 a 1 所以 1，
6 6
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1 4 a 1 b 1
所以
a 1 b 1 6 6
1 1 b 1 4 a 1 2
6 a 1 6 b 1 6 3
5 2 b 1
2 a 1 5 2 3
....................................10 分
6 6 a 1 3 b 1 6 3 2
b 1 2 a 1
当且仅当 2a b 1 0
6 a 1 3 b 1
且 a b 4，即 a 1,b 3时取等号，
1 4 3
所以 的最小值为 ..........................................12 分
a 1 b 1 2
20.学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有 90分钟，现
需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分 y与当天锻炼时间 x（单位：分）
的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间[0,90]上的增函数；（2）每天运动时间
为 0分钟时，当天得分为 0分；（3）每天运动时间为 30分钟时，当
天得分为 3分；（4）每天最多得分不超过 6分.现有三个函数模型①
y kx b k 0 ，
② y k 1.2x b k 0 ，③ y k log x2 2
n k 0 供选择.
15
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；
(2)求每天得分不少于 4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注： 2 1 .414，结果保留整数）
【解析】（1）对于模型一，当 k 0时，匀速增长；
对于模型二，当 k 0时，先慢后快增长；
对于模型三，当 k 0时，先快后慢增长.
x
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选 y k log2 2 n .....2 分
15
k n 0 k n 0
将（0，0），（30，3）代入解析式得到 k log 4 n 3，即 ， 2 2k n 3
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解得 k 3,n
x
3 ，即 y 3log2 2 3 .....................5 分
15
当 x 90时， y 3log2 6 2 3 6，
满足每天得分最高不超过 6分的条件.
x
所以函数的解析式为 y 3log 2 2 3 ....................6 分
15
y 3log x2 2 3 4.5 log
x 5
（ ）由 2 ，得 2 2.5 log 22 ，......8 分
15 2 2 15
x 5
得 2 2 2 4 2 5.656 ，得 x 54.84，...................10 分
15
所以每天得分不少于 4.5分，至少需要运动 55分钟...................12 分
21.已知函数 f (x) ax2 x 1(a 0).
（1）若关于 x的不等式 f (x) 0的解集为 ( 3,b)，求 a，b的值；
（2）已知 g(x) 4 x 1 2 x 2，当 x 1,1 时， f (2x ) g(x)恒成立，求实数 a的取
值范围
【详解】
（1）∵不等式 f (x) 0的解集为 ( 3,b)，
则方程 f (x) ax2 x 1 0 的根为 3,b，且 3 b，
a 0
1
∴ 3 b，...............................................3 分
a
1
3b a
2
a
9 2 3
解得 ，故 a ,b ............5 分
b 3 9 2
2
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1 1 1
（2）令 , 2
t 2x 2
，
若 f (2x
a 1 4 1
) g(x)，即 2 1 2 2，t t t t
则 a 4 t2 2t，
1
∵ y t 2 2t的开口向上，对称轴为 t 1，则 y t 2 2t在 ,1 单调递减，在 1,2 单 2
调递增，且 y |t 1 1，
∴ a 4 1，即 0 a 3，故实数 a 的取值范围为 0,3 ................12 分
22. 如果函数 f (x)存在零点 ，函数 g(x)存在零点 ，且 | | n，则称 f (x)与 g(x)互
为“n度零点函数”．
3
（1）证明：函数 y e1 x 1与 y log2 x 互为“1度零点函数”．2
x2 2x 4a 1, x 1 1
（2）若函数 f (x) ( a ，且 a 1)与函数 y ln(2 x)互为
loga (ax 2a), x 1 4
“2度零点函数”，且函数 g(x) | f (x) | | x 2 |有三个零点，求 a的取值范围．
1 3 13
【答案】（1）证明见解析 （2） ,
4 4
16
【解析】证明：令 y e1 x 1 0，得 x 1．...........2 分
3
令 y log x 3 22 0，得 x 1 2
．........................................4 分
2
3 3
因为0 1
2 1 2 3
1，所以 1 1，所以函数 y e
1 x 1与 y log x 互为“1
2 2
2 2
度零点函数”．........................................5 分
“泉港区第一中学、厦门外国语学校石狮分校”两校联考 2023-2024学年上高一数学第二次月考参考答案
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【小问 2详解】
令 y ln(2 x) 0，得 x 1．
设 f (x)存在零点 x0，则 x0 1 2，即 1 x0 3．
当 x 1时， f (x) (x 1)2 4a 0，当 x 1时，令 f (x) loga (ax 2a) 0，得
x 10 2
1 1
，所以 1 2 3，得 a 1．
a a 5
g(x)有三个零点等价于函数 h(x) | f (x) |与 p(x) | x 2 |的图象有三个交点，
因为 f (x) loga(ax 2a) loga a(x 2) 1 loga(x 2)
1
， a 1，
4
所以 f (x)在 [ 1, )上单调递减．易知 h( 1) 1， h(x) 1的零点为 1 2 2．
a
画出 h(x)与 p(x)在 [ 1, )上的大致图象，如图所示，
易得 h(x)与 p(x)的图象在[ 1, )上有两个交点，所以 h(x)与
p(x)的图象在 ( , 1)上必须有一个交点，
得 x2 2x 4a 1 x 2，化简得 x2 3x 1 4a．
令函数 q(x) x 2 3x 1，即 q(x)的图象与直线 y 4a在 ( , 1)上有一个交点．
因为 q(x)max q
3 13
,q( 1) 3，由 q(x) 4a
13
的图象（图略）可得， 或 4a 3，
2 4 4
a 13 1 a 3即 或 ．
16 4 4
1 3 13
综上，a 的取值范围为 , ．..............................12 分
4 4 16
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2023-2024 学年上学期第二次月考试卷
高一 数学
试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、单选题: 本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1 M x x2 4 N x 2x．已知集合 ， 4 ，则M N （ ）
A． x x 2 B． x 2 x 2 C． x 2 x 2 D． x 0 x 2
2.已知点 P tan , cos 在第三象限，则角 的终边位置在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．下列函数中，既是偶函数，又在 (0, )上单调递增的为（ ）
f (x) 1A. | x | 1 B. f (x) x3 C. f (x) D. f (x) 2|x|
x2
1 x
4．已知 log2 a log2 b 0（a 0且 a 1，b 0且b 1），则函数 f x ( ) 与 g x logb xa
的图像可能是（ ）
A． B． C． D.
2
5． 已知 tan 2 ,则 sin - 3sin cos 等于 ( )
A. 2 2B.2 C.0 D.
5
6．某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮
用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中 50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来
的 4%，则至少需要提炼的次数为（ ）（参考数据：取 lg 2 0.3）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
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7. 若“ x 1,2 ，使 2x2 x 1 0成立”是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
9 9
A. , 2 2 B. 2 2, C. ,3 D. , 2 2
8．已知函数 f x log ax 43 在区间 1,3 上单调递减，则实数 a的取值范围是（ ）x 3
4 4 4 4 4
A. ,
, 4 , , 4
3 B. C. 3
D.
3 3
3
二、多选题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选
项符合题目要求,全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列大小关系正确的是（ ）
A. 20.3 20.4 B. 30.2 40.2 C. log23 log48 D. log23 log32
10.下列说法中正确的有（ ）
A. 函数 f x a x 1 2 a 0,a 1 的图象过定点 1,3
2
B. 函数 f x x 与函数 g x x2 表示同一个函数
1 1
C. 若 a a 1 3，则 a 2 a 2 5
D.“m 0”是“关于 x的方程 x2 2x m 0有一正一负根”的充要条件
11.给出下列四个结论，其中正确的结论是 ( )
A．如果 ， 是第一象限的角，且 ，则 sin sin
2 4
B．若圆心角为 的扇形的弦长为
3 4 3，则该扇形弧长为 3
k C．若 (k Z )，则 tan( ) 1
2 2 tan
D．若 sin cos 1，则 sinn cosn 1
x
2 1, x 012. 已知函数 f x ，则下列选项正确的是（ ）
log2x 1, x 0
A. 函数 f x 的值域为 1, B. 方程 f x 2有两个不等的实数解
C. 不等式 f f x 0 1 2 的解集为 0, , 2 2 8,
8 4
D. 2关于 x的方程 f x 2 f x 1 a2 的解的个数可能为 2,4,5
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三、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
x
13.函数 f x 是定义在 R上的奇函数，并且当 x 0, 时， f x 2 ，那么
f log
1
2 ．
5
14. x 表示不超过 x的最大整数,例如[3.5] 3, 0.5 1.已知 x0是方程
ln x 3x 15 0的根,则 x0 ____________.
10
15．已知角θ的终边上有一点P x,3 (x 0)，且 cos x，求 sin tan 的值为
10
____________.
16. f x ln x2已知函数 1 2 x x ，则不等式 f x f 2x 1 2的解集是为e 1
______.
四、解答题:本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数 f (x) ax2 ax 1的定义域为 R .
（1）求实数 a的取值集合A；（2）设 B x 3m x m 2 为非空集合，若 x A是
x B的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
18.已知 f ( ) cos( )sin tan( )
tan( )sin(2 )
f ( ) f (- 31 (1)化简 并求 )的值；
3
(2)若 （0， ）且 f ( ) f ( ) 1 ，求 sin 2 cos 2 的值．
2 5
2
19. f x m2已知幂函数 2m 2 x5k 2k k Z 是偶函数，且在 0, 上单调递增.
（1）求函数 f x 的解析式；
1 4
（2）若正实数 a，b满足 a b 4m，求 的最小值.
a 1 b 1
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20.学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有 90分钟，现
需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分 y与当天锻炼时间 x（单位：分）
的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间[0,90]上的增函数；（2）每天运动时间为
0分钟时，当天得分为 0分；（3）每天运动时间为 30分钟时，当天得分为 3分；（4）每天
最多得分不超过 6分.现有三个函数模型① y kx b k 0 ，
② y k 1.2x b k 0 ，③ y k log x 2 2 n k 0 供选择.
15
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信
息求出函数的解析式；
(2)求每天得分不少于 4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注： 2 1 .414，结果保留整数）
21.已知函数 f (x) ax2 x 1(a 0).
（1）若关于 x的不等式 f (x) 0的解集为 ( 3,b)，求 a，b的值；
（2）已知 g(x) 4 x 1 2 x 2，当 x 1,1 时， f (2x ) g(x)恒成立，求实数 a的取
值范围
22. 如果函数 f (x)存在零点 ，函数 g(x)存在零点 ，且 | | n，则称 f (x)与 g(x)互
为“n度零点函数”．
（1）证明：函数 y e1 x 1与 y log2 x
3
互为“1度零点函数”．
2
x2 2x 4a 1, x 1
（2）若函数 f (x) ( a
1
，且 a 1)与函数 y ln(2 x)互为
loga (ax 2a), x 1 4
“2度零点函数”，且函数 g(x) | f (x) | | x 2 |有三个零点，求 a的取值范围．
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