广东省东莞市重点实验中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省东莞市重点实验中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 781.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-23 20:39:35 | ||
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文档简介
2023-2024学年第一学期东莞实验中学高二年级第三次月考
数学试题
使用时间：2023.12
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若直线过点，，则此直线的倾斜角是（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.已知曲线：，则其渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
3.已知空间中直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
4.如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35厘米，第5级的宽为43厘米，且各级的宽度从小到大构成等差数列，则第3级的宽度是（ ）
A.39厘米 B.40厘米 C.41厘米 D.42厘米
5.双曲线（）的离心率是，则实数的值是（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
6.已知数列的前项和，满足条件，则的值是（ ）
A.4044 B.4045 C.4046 D.4047
7.已知线段的端点的坐标，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹所围成图形的面积（ ）
A. B. C. D.
8.在两条异面直线，上分别取点，和点，，使，且.已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知直线：，：（），则（ ）
A.直线过定点 B.当时，
C.当时，两直线，之间的距离为1 D.当时，
10.圆：和圆：的公共点为，，则有（ ）
A.公共弦所在直线方程为 B.公共弦的长为
C.线段中垂线方程为 D.
11.已知曲线的方程为，则可能是（ ）
A.半径为的圆
B.焦点在上的椭圆，且长轴长为
C.等轴双曲线
D.焦点在上的双曲线，且焦距为
12.如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A.平面平面 B.多面体的体积为定值
C.恒为锐角三角形 D.直线与所成的角可能为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.使得“对于任意，是递减数列”为真命题的整数值是______.（写出一个符合要求的答案即可）
14.如图，在空间平移到，连接对应顶点.设，，，为中点，则用基底表示向量______
15.数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程是______.
16.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线交两条渐近线于点、，且，若点在轴上的射影为，则______.
四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其他题12分，共70分.
17.记是等差数列的前项和，若.
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的的最小值.
18.如图，在直三棱柱中，，为的中点，.
（1）求异面直线与夹角的余弦值
（2）求点平面的距离.
19.已知抛物线：（）经过点.
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标、准线方程；
（2）过抛物线上一动点作圆：的一条切线，切点为，求切线长的最小值.
20.在三棱柱中，侧面正方形的中心为点，平面，且，，点满足（）.
（1）求直线与平面的夹角正弦值；
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.
21.在我国960万平方千米的大地之下拥有超过35000座，总长接近赤道长度的隧道（约37000千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”；或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门.东莞某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为16米，洞门最高处距路面4米.
（1）建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程.
（2）为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2米，高3.6米，则此货车能否通过该洞门？并说明理由.
22.已知椭圆：（）经过三点，，中的两点.
（1）求的方程；
（2）过的右焦点的直线与交于，两点，在直线上是否存在一点，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.
2023-2024学年第一学期东莞实验中学高二年级第三次月考
数学参考答案
一 单选.1.A 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 7.C 8.B
二 多选.9.CD 10.ABC 11.AD 12.ABD
三 填空13.答案不唯一，写出负整数即可
14. 15. 16.
17.解（1）设等差数列的公差为，从而有：，
解得：，数列的通项公式为：.
（2）由数列的前通项公式可得：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为7.
18.解：（1）以为坐标原点，，，分别为，，轴建系如图，
由，，可得，
则有，，，
向量，，
所以异面直线与夹角的余弦值
（2）设平面的一个法向量为，，，
所以，即，令，则，，
所以，向量，
则点平面的距离
19.解：因为抛物线过点1，，所以，解得，
所以抛物线的方程为：，焦点坐标为，准线方程；
解：设，圆的圆心，半径是1
因为为圆的切线，所以，，
所以，
所以当时，四边形有最小值且最小值为.
20.解：（1）在三棱柱中，面面，
又因为正方形，所以，且平面，
以为原点，，，的方向分别为，，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知，，
则，，，，
（1），
设平面的法向量为，则，
令，可得法向量为，也即是平面的法向量，
又，设直线与平面的夹角为
（2）因为，所以，
则，，
设面的法向量为，
则，
令，可得法向量为，
所以，
因为平面与平面所成角的余弦值为，
所以，可得，所以或.
21.解（1）以点为坐标原点，，所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，在图上用签字笔画出来才能给分
则点、，由圆的对称性可知，圆心在轴上，
设圆心坐标为，设圆的半径为，则圆弧所在圆的方程为，
因为点，在圆上，则，解得，.
所以，圆弧所在圆的方程为，
因此，圆弧的方程为（）.
（2）此火车不能通过该路口，由题意可知，隔墙在轴右侧1米，车宽2米，车高3.6米，
所以货车右侧的最高点的坐标为，
因为，因此，该货车不能通过该路口.
22.解（1）若经过，，则，且，此时无解；
若经过，，则，且，此时，
与椭圆这一条件不符，不合题意；
若经过，，则，，
此时，椭圆的方程为
（通过描点画图或者用语言推理得出来选择，两点，算出正确结果也给4分）
（2）假设在直线上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形.
①当的斜率不存在时，只有当点为，才满足以为底边的等腰三角形，
此时不妨取，，因为，
所以与不垂直，则不是等腰直角三角形，此时，不符合题意.
②当的斜率存在时，设：，
联立方程组消去，得
则
设，，的中点为，
则，
所以
又可得，，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以的斜率为，
又点的横坐标为2，
所以，即，得，无解，
综上：不存在这样的点.
则，
渐近线为，，
，不妨设，，
，则，，，，
，.
数学试题
使用时间：2023.12
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若直线过点，，则此直线的倾斜角是（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.已知曲线：，则其渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
3.已知空间中直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
4.如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35厘米，第5级的宽为43厘米，且各级的宽度从小到大构成等差数列，则第3级的宽度是（ ）
A.39厘米 B.40厘米 C.41厘米 D.42厘米
5.双曲线（）的离心率是，则实数的值是（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
6.已知数列的前项和，满足条件，则的值是（ ）
A.4044 B.4045 C.4046 D.4047
7.已知线段的端点的坐标，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹所围成图形的面积（ ）
A. B. C. D.
8.在两条异面直线，上分别取点，和点，，使，且.已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知直线：，：（），则（ ）
A.直线过定点 B.当时，
C.当时，两直线，之间的距离为1 D.当时，
10.圆：和圆：的公共点为，，则有（ ）
A.公共弦所在直线方程为 B.公共弦的长为
C.线段中垂线方程为 D.
11.已知曲线的方程为，则可能是（ ）
A.半径为的圆
B.焦点在上的椭圆，且长轴长为
C.等轴双曲线
D.焦点在上的双曲线，且焦距为
12.如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A.平面平面 B.多面体的体积为定值
C.恒为锐角三角形 D.直线与所成的角可能为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.使得“对于任意，是递减数列”为真命题的整数值是______.（写出一个符合要求的答案即可）
14.如图，在空间平移到，连接对应顶点.设，，，为中点，则用基底表示向量______
15.数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程是______.
16.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线交两条渐近线于点、，且，若点在轴上的射影为，则______.
四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其他题12分，共70分.
17.记是等差数列的前项和，若.
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的的最小值.
18.如图，在直三棱柱中，，为的中点，.
（1）求异面直线与夹角的余弦值
（2）求点平面的距离.
19.已知抛物线：（）经过点.
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标、准线方程；
（2）过抛物线上一动点作圆：的一条切线，切点为，求切线长的最小值.
20.在三棱柱中，侧面正方形的中心为点，平面，且，，点满足（）.
（1）求直线与平面的夹角正弦值；
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.
21.在我国960万平方千米的大地之下拥有超过35000座，总长接近赤道长度的隧道（约37000千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”；或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门.东莞某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为16米，洞门最高处距路面4米.
（1）建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程.
（2）为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2米，高3.6米，则此货车能否通过该洞门？并说明理由.
22.已知椭圆：（）经过三点，，中的两点.
（1）求的方程；
（2）过的右焦点的直线与交于，两点，在直线上是否存在一点，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.
2023-2024学年第一学期东莞实验中学高二年级第三次月考
数学参考答案
一 单选.1.A 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 7.C 8.B
二 多选.9.CD 10.ABC 11.AD 12.ABD
三 填空13.答案不唯一，写出负整数即可
14. 15. 16.
17.解（1）设等差数列的公差为，从而有：，
解得：，数列的通项公式为：.
（2）由数列的前通项公式可得：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为7.
18.解：（1）以为坐标原点，，，分别为，，轴建系如图，
由，，可得，
则有，，，
向量，，
所以异面直线与夹角的余弦值
（2）设平面的一个法向量为，，，
所以，即，令，则，，
所以，向量，
则点平面的距离
19.解：因为抛物线过点1，，所以，解得，
所以抛物线的方程为：，焦点坐标为，准线方程；
解：设，圆的圆心，半径是1
因为为圆的切线，所以，，
所以，
所以当时，四边形有最小值且最小值为.
20.解：（1）在三棱柱中，面面，
又因为正方形，所以，且平面，
以为原点，，，的方向分别为，，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知，，
则，，，，
（1），
设平面的法向量为，则，
令，可得法向量为，也即是平面的法向量，
又，设直线与平面的夹角为
（2）因为，所以，
则，，
设面的法向量为，
则，
令，可得法向量为，
所以，
因为平面与平面所成角的余弦值为，
所以，可得，所以或.
21.解（1）以点为坐标原点，，所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，在图上用签字笔画出来才能给分
则点、，由圆的对称性可知，圆心在轴上，
设圆心坐标为，设圆的半径为，则圆弧所在圆的方程为，
因为点，在圆上，则，解得，.
所以，圆弧所在圆的方程为，
因此，圆弧的方程为（）.
（2）此火车不能通过该路口，由题意可知，隔墙在轴右侧1米，车宽2米，车高3.6米，
所以货车右侧的最高点的坐标为，
因为，因此，该货车不能通过该路口.
22.解（1）若经过，，则，且，此时无解；
若经过，，则，且，此时，
与椭圆这一条件不符，不合题意；
若经过，，则，，
此时，椭圆的方程为
（通过描点画图或者用语言推理得出来选择，两点，算出正确结果也给4分）
（2）假设在直线上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形.
①当的斜率不存在时，只有当点为，才满足以为底边的等腰三角形，
此时不妨取，，因为，
所以与不垂直，则不是等腰直角三角形，此时，不符合题意.
②当的斜率存在时，设：，
联立方程组消去，得
则
设，，的中点为，
则，
所以
又可得，，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以的斜率为，
又点的横坐标为2，
所以，即，得，无解，
综上：不存在这样的点.
则，
渐近线为，，
，不妨设，，
，则，，，，
，.
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