等差等比及前n项和性质（含解析）

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等差等比及前n项和性质
一、填空题
1．等比数列 中，各项都是正数，且 ， ， 成等差数列，则 =　 　．
2．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5 a6=27，则log3a1+log3a2+…+log3a10=　 　．
3．已知等比数列 中，a3是a1，a2的等差中项，则数列 的公比为　 　．
4．在公差不为零的等差数列{an}中，a1=8，且a1、a5、a7成等比数列，则Sn最大时，Sn=　 　．
5．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；…．设第n次“扩展”后所得数列为1，x1，x2，…，xm，2，并记an=log2（1 x1 x2 … xm 2），则数列{an}的通项公式为　 　．
6．在等比数列中，若，则公比　 　；　 　时，的前项积最大.
7．已知等差数列{an}的公差为2，且a1，a2，a4成等比数列，则a1=　 　；数列{an}的前n项和Sn=　 　．
8．数列 的前n项和为 ，若 ，则 =　 　；
9．已知数列{an}为等差数列，a1=1，公差d≠0，a1、a2、a5成等比数列，则a2014的值为　 　
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足数列{2an}是等比数列，若a4+a1009+a2014= ，则S2017的值是　 　．
11．在等比数列{an}中， ，公比q=2，数列{bn}是等差数列，且b7=a5，则b3+b11=　 　．
12．各项均为正数的等比数列{an}中，a2， a3，a1成等差数列，则 的值为　 　．
13．已知-1，a，b，-4成等差数列，-1，m，n，t，-4成等比数列，则 　 　．
14．在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a4+2，a5成等差数列，a1=2，则an=　 　．
15．设 是首项为 ，公差为 的等差数列， 为其前 项和．若 成等比数列，则 的值为　 　．
16．各项均为实数的等比数列 的前 项和为 ,已知 成等差数列,则数列 的公比为　 　.
17．设公比不为1的等比数列 满足 ，且 ， ， 成等差数列，则数列 的前4项和为　 　.
18．在等比数列 中， ， ， 成等差数列，则 　 　.
19．公比为q（q≠1）的等比数列a1，a2，a3，a4，若删去其中的某一项后，剩余的三项（不改变原有顺序）成等差数列，则所有满足条件的q的取值的代数和为　 　．
20．设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7 成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是　 　．
二、解答题
21．设等差数列 中， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若等比数列 满足 ， ，求数列 的前n项和 .
22．已知等差数列 中， ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ．
23．已知等差数列 满足 ，且 是 和 的等比中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
24．已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a 2n+b，且a1=3．
（1）求a、b的值及数列{an}的通项公式；
（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn．
25．设 是等差数列，且 ， +a3=5 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求 + +…+ .
26．设数列{an}为递增的等比数列，且{a1，a2，a3} {﹣8，﹣3，﹣2，0，1，4，9，16，﹣27}，数列{bn}是等差数列，且an=bn+bn+2．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=2an bn，求数列{cn}得前项和数列Sn．
27．已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n， 是等差数列，且
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 .
28．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，
（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求{ }的前n项和．
（Ⅲ）求{anbn}的前n项和．
29．已知等差数列{an}的公差为d，且d＞0，等比数列{bn}为公比q，且q＞1，首项b1＞0，若an﹣a1＞logabn﹣logab1（n∈N，n＞1，a＞0，a≠1），求实数a的取值范围．
30．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，公差 ， ， ， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
31．已知数列 满足 ， .设 .
（1）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；
（2）若 ，求 的前 项和 .
32．设数列{an}的前n项和为Sn，满足（1﹣q）Sn+qan=1，且q（q﹣1）≠0．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．
33．在等差数列{an}中，a2+a7=﹣32，a3+a8=﹣40．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{an+bn}是首项为1，公比为2的等比数列，求{bn}的前n项和Sn．
34．已知等比数列 的公比为 ，与数列 满足 （ ）
（1）证明数列 为等差数列；
（2）若 ，且数列 的前3项和 ，求 的通项，
（3）在(2)的条件下，求 .
35．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．
（1）证明：a2= ；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有 ．
36．已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
37．△ABC的三个内角为A，B，C及其三边a，b，c，且A，B，C成等差数列，
（1）若a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形；
（2）用分析法证明： ．
38．已知数列{an}中，a2=a（a为非零常数），其前n项和Sn满足：Sn=
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a=2，且am2﹣Sn=11，求m、n的值；
（3）是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列{an}中满足an+b≤p的最大项恰为第3p﹣2项？若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由．
39．已知 是等比数列， ，且 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 .
40．在等比数列{an}中，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1=a1=3，b4=a2，b13=a3．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）记cn=（﹣1）n bn+an，求数列{cn}的前n项和Sn．
41．数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn= ，
（1）求{an}的通项公式；
（2）等差数列{bn}的各项均为正数，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn．
42．设数列 是公差大于零的等差数列，已知 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，求数列 的前 项和 ．
43．设数列{an}的前n项和为Sn，满足（1﹣q）Sn+qan=1，且q（q﹣1）≠0．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．
44．等比数列的公比为2，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
45．已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（13分）
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．
答案解析部分
1．【答案】
【解析】【解答】由题意得 ，所以 ， = = ，填
故答案为：
【分析】由条件得到关于公比q 的方程，求出q，再求式子的值.
2．【答案】15
【解析】【解答】解：由等比数列的性质可得：a1 a10=a2 a9=…=a5 a6，
由对数的运算性质可知：log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1 a2 … a10）=log3（27）5=log3（3）15=15，
故答案为：15．
【分析】由等比数列的性质及对数的运算性质可知：log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1 a2 … a10）=log3（3）15=15．
3．【答案】 或1
【解析】【解答】设等比数列 的首项为a1，公比为q，
因为a3是a1，a2的等差中项，所以2a1q2=a1+a1q，解得q= 或1．
故答案为：q= 或1．
【分析】由条件列出关于首项与公比的方程，求公比.
4．【答案】36
【解析】【解答】解：设公差d不为零的等差数列{an}，
由a1=8，且a1、a5、a7成等比数列，
可得a52=a1a7，
即（8+4d）2=8（8+6d），
解得d=﹣1（0舍去），
则Sn=na1+ n（n﹣1）d=8n﹣ n（n﹣1）
=﹣ （n﹣ ）2+ ，
由于n为正整数，可知n=8或9，
则Sn最大，且为36．
故答案为：36．
【分析】设公差d不为零的等差数列{an}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d=﹣1，再由等差数列的求和公式，结合二次函数最值的求法，注意n为正整数，即可得到最大值．
5．【答案】 ，n∈N*
【解析】【解答】解：an=log2（1 x1 x2 … xm 2），
可得an+1=log2[1 （1 x1） x1 （x1x2） x2 … xm（2xm） 2]
= ．
设an+1+t=3（an+t），
即为an+1=3an+2t，可得t=﹣ ，
则{an﹣ }是首项为2﹣ = ，公比为3的等比数列，
可得an﹣ = 3n﹣1，
即为an= ，n∈N*．
故答案为： ，n∈N*．
【分析】由an=log2（1 x1 x2 … xm 2），可得an+1=log2[1 （1 x1） x1 （x1x2） x2 … xm（2xm） 2]，可化为an+1=3an﹣1，设an+1+t=3（an+t），求得t，再由等比数列的通项公式，计算即可得到所求．
6．【答案】；4
【解析】【解答】在等比数列中，由，得 ，
∴ ；
∴
则的前n项积：
当n为奇数时，
∴当n为偶数时 有最大值．
又 ，
且当n为大于等于4的偶数时，，
∴当n=4时，的前n项积最大.
故答案为；4.
【分析】直接由已知及等比数列的通项公式求得公比；写出等比数列的通项公式，得到前n项积，然后根据奇数项积为负值，分析偶数项乘积得答案.
7．【答案】2；n2+n
【解析】【解答】解：∵数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，∴a1，a1+2，a1+6成等比数列，
∴（a1+2）2=a1（a1+6），解得 a1=2，
数列{an}的前n项和Sn=2n+ =n2+n．
故答案为：2；n2+n．
【分析】由题意可得a1，a1+2，a1+6成等比数列，通过解方程求得 a1的值．然后求和．
8．【答案】
【解析】【解答】因为
当 时,
两式相减可得
即 ,变形后可得
因为 ,且
所以当 时,
所以数列 从第二项开始是以 , 为公比的等比数列
所以
而 不满足上式
所以
故答案为:
【分析】根据条件 ,通过递推法,然后作差即可证明数列 为等比数列,并求得公比,再由首项即可得数列 的通项公式.
9．【答案】4027
【解析】【解答】∵a1、a2、a5成等比数列，∴，
∴（1+d）2=1×（1+4d），d≠0．
解得d=2．
∴a2014=a1+2013d=1+2013×2=4027，
故答案为：4027．
【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
10．【答案】
【解析】【解答】解：∵数列{2an}是等比数列，∴设公比为q，
则 =2 =q，
则an﹣an﹣1=2q，为常数，
则数列{an}是等差数列，
则a4+a2014=2a1009，
由a4+a1009+a2014= ，得3a1009= ，
即a1009= ，
则S2017= = = ，
故答案为：
【分析】根据等比数列的定义得到an﹣an﹣1=2q，为常数，即{an}是等差数列，结合等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式进行求解即可．
11．【答案】6
【解析】【解答】解：在等比数列{an}中， ，公比q=2，
可得a33= ，
即有a3= ，a5=a3q2= 4=3，
则b7=a5=3，
即有b3+b11=2b7=6．
故答案为：6．
【分析】运用等比数列的性质，可得a3，由通项公式可得b7=a5=3，再由等差数列中项的性质，即可得到结果．
12．【答案】
【解析】【解答】解；因为 成等差数列，所以a3=a2+a1 a1 q2=a1 q+a1 q= 或q= （舍去）
又因为 =q= ．
故答案为： ．
【分析】先由 成等差数列求出公比，再对 化简后求值即可．
13．【答案】
【解析】【解答】因为-1，a，b，-4成等差数列，设公差为d，所以 ，
因为 成等比数列，所以 ，
即 ，由于 与 同号，所以 ，所以 ，所以 ．
故答案为：
【分析】由等差数列与等比数列的性质分别求出b-a与n再求解.
14．【答案】2n
【解析】【解答】解：设各项均为正数，公比为q的等比数列{an}，
a2，a4+2，a5成等差数列，a1=2，
可得2（a4+2）=a2+a5，
即2（2q3+2）=2q+2q4，
即（q﹣2）（1+q3）=0，
解得q=2（﹣1舍去）．
则an=a1qn﹣1=2 2n﹣1=2n．
故答案为：2n．
【分析】设各项均为正数，公比为q的等比数列{an}，运用等差数列的中项的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式．
15．【答案】
【解析】【解答】解：依题意得 ，∴ ，解得 ．
【分析】由已知S1 ， S2 ， S4成等比数列列式，即可求出等差数列的首项a1.
16．【答案】
【解析】【解答】 成等差数列，
则
故答案为：
【分析】根据 成等差数列得到 ，计算得到答案.
17．【答案】
【解析】【解答】由等比数列的性质可知
，
成等差数列，
， ，
，
解得： （舍）或 ，
，
.
故答案为：
【分析】由已知可知 ，且 ，求首项和公差，再求 .
18．【答案】
【解析】【解答】 ， ， 成等差数列
即： ，解得：
故答案为：
【分析】根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比 满足 ，将所求式子化为 和 的形式，化简可得结果.
19．【答案】0
【解析】【解答】解：由题意知，a2=a1q，a3= ，a4= ．
若删去a1，则 ，即q3﹣q2+q=0，解得q∈ ；
若删去a2，则 ，即q3﹣2q2+1=0，解得q= ；
若删去a3，则 ，即q3﹣2q+1=0，解得q= ；
若删去a4，则 ，即q2﹣2q+1=0，解得q=1（舍）．
∴所有满足条件的q的取值的代数和为 ．
故答案为：0．
【分析】根据等比数列性质将表示出来，分类讨论删除不同的项，剩余项为等差数列，解出满足题意的q，将所有满足条件的q的取值计算代数和
20．【答案】
【解析】【解答】解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7； a2，a4，a6 成公差为1的等差数列，
∴a6=a2+2≥3，
∴a6的最小值为3，
∴a7的最小值也为3，
此时a1=1且a1，a3，a5，a7 成公比为q的等比数列，必有q＞0，
∴a7=a1q3≥3，
∴q3≥3，q≥ ，
方法2：
由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7 成公比为q的等比数列，a2，a4，a6 成公差为1的等差数列，得 ，所以 ，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥ ，
故q的最小值是： ．
故答案为： ．
【分析】利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．
21．【答案】（1）解: 设等差数列的公差为d，则 ，所以 ，
所以 .
（2）解: 由（1）知 ，
所以公比为 ，所以 .
【解析】【分析】（1）根据 ， ，可得公差，然后可求数列 的通项公式；（2）先根据条件求出等比数列的首项和公比，然后利用求和公式求解.
22．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则
解得 ．
所以
（Ⅱ）由（I）可得
所以 ．
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据题意由已知条件结合等差数列的通项公式即可得出关于首项和公差的方程组，求出它们的取值即可得出等差数列的通项公式。
（Ⅱ） 由（Ⅰ）的结论整理数列的通项公式，再由等差数列的前n项和公式以及等比数列前n项和公式即可得出结果，
23．【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 ，因为 ，所以
又 是 和 的等比中项，有
即 ，得 ，所以数列 的通项公式
（2）解：
【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式求解即可；
（2）根据裂项相消求和直接求解即可.
24．【答案】（1）解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn=a 2n+b，且a1=3．
∴a1=2a+b=3，a2=4a+b﹣（2a+b）=2a，a3=（8a+b）﹣（4a+b）=4a，
∴公比q= =2．
∵ ，
∴a=3，b=﹣3．
∴an=3 2n﹣1
（2）bn= = ，
Tn= （1+ + +…+ ）①
Tn= （ + +…+ + ）②
①﹣②得： Tn= （1+ + +…+ ﹣ ）= [ ]
= （2﹣ ﹣ ）= （1﹣ ﹣ ），
∴Tn= （1﹣ ﹣ ）．
【解析】【分析】（1）由等比数列{an}的前n项和为Sn=a 2n+b可分别求出a1，a2，a3。因为它们的公比相同即可求出a和b的值。
（2）由（1）问可知bn代入Tn，用错位相减法即可求出。
25．【答案】解：（Ⅰ），∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴ 。
（Ⅱ） ，
∴ ，
【解析】【分析】（Ⅰ）由等差数列性质，求出 ，（Ⅱ）由等比数列求和公式求和。
26．【答案】解：（Ⅰ）数列{an}为递增的等比数列，则其公比为正数，
又{a1，a2，a3} {﹣8，﹣3，﹣2，0，1，4，9，16，﹣27}，
∴a1=1，a2=4，a3=16，∴ ，
设数列{bn}的公差为d，
由 得 ，∴
所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
又Sn=c1+c2+L+cn，
∴ ， ，
两式相减得
=
=（6﹣3n）4n﹣6.
【解析】【分析】（Ⅰ）利用数列是等差数列，通过元素与集合关系，求出数列项，得到通项公式，即可求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的表达式，利用错位相减法求解数列的和．
27．【答案】解：(Ⅰ)因为数列 的前 项和 ，
所以 ，当 时，
，
又 对 也成立，所以 ．
(Ⅱ)因为 是等差数列，设公差为 ，则 ．
当 时， ；当 时， ，
解得 ，所以数列 的通项公式为 ．
则 ．
【解析】【分析】 （Ⅰ） 根据前n项和，写出Sn-1，两式相减，即可求出数列 的通项公式；
（Ⅱ） 根据等差数列的前n项和公式，即可求出 数列 的前n项和 .
28．【答案】解：（Ⅰ）设{an}是公差为d的等差数列，
{bn}是各项都为正数，公比为q的等比数列，
则a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，即为1+2d+q4=21，
1+4d+q2=13，
解得d=q=2，
可得an=a1+（n﹣1）d=2n﹣1；bn=b1qn﹣1=2n﹣1；
（Ⅱ） = = （ ﹣ ），
则{ }的前n项和为Sn= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
= （1﹣ ）= ；
（Ⅲ）anbn=（2n﹣1） 2n﹣1，
{anbn}的前n项和为Sn=1 1+3 2+5 22+…+（2n﹣1） 2n﹣1，
2Sn=1 2+3 22+5 23+…+（2n﹣1） 2n，
相减可得，﹣Sn=1+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1） 2n
=1+2 ﹣（2n﹣1） 2n
化简可得，Sn=3﹣（3﹣2n） 2n
【解析】【分析】（Ⅰ）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是各项都为正数，公比为q的等比数列，运用等比数列和等差数列的通项公式，解方程可得d和q，进而得到所求通项公式；（Ⅱ） = （ ﹣ ），运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和；（Ⅲ）anbn=（2n﹣1） 2n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法求和，即可得到所求和．
29．【答案】解：由an﹣a1＞logabn﹣logab1，
由等差数及等比列通项公式可知：a1+（n﹣1）d﹣a1＞loga ，
∴（n﹣1）d＞logaqn﹣1，
∴d＞logaq，
当0＜a＜1时， 成立，
当a＞1时， ，
综上可得：
【解析】【分析】由an﹣a1＞logabn﹣logab1，可得a1+（n﹣1）d﹣a1＞loga ，根据对数的运算性质可知d＞logaq，由对数函数的图象可知：0＜a＜1时， ，当a＞1时， ，即可求得实数a的取值范围．
30．【答案】（1）解：∵ ， ， 成等比数列，
∴ ，即 ，
∴ ，又 ，∴ ，
∴ ，
故
（2）解：由（1）得 ，
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）根据 ，公差 ， ， ， 成等比数列，形成方程组，解得答案.（2）根据 ，计算 ，得到 ，用裂项求和法得到答案.
31．【答案】（1）解：由 ，得 ，代入 ，
得 ，所以 ，
当 时， ，此时，数列 不是等比数列，
当 时， ，此时，数列 是以 为公比、 为首项的等比数列。
（2）解：当 时，由（1）知数列 是以 为公比、 为首项的等比数列， ，
从而 ，
所以
。
【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义，结合 ，求出首项和公比，即可说明数列 为等比数列 ；
（2）根据等比数列的通项公式，求出bn和an，结合分组转化求和法，转化为等差数列和等比数列分布求和，即可求出 的前 项和 .
32．【答案】（1）解：当n=1时，由（1﹣q）S1+qa1=1，a1=1．
当n≥2时，由（1﹣q）Sn+qan=1，得（1﹣q）Sn﹣1+qan﹣1=1，两式相减得：（1﹣q）an+qan﹣qan﹣1=0，即an=qan﹣1，
又q（q﹣1）≠0，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列，
故an=qn﹣1．
（2）解：由（1）可知Sn= ，又S3+S6=2S9，得 + = ，
化简得a3+a6=2a9，两边同除以q得a2+a5=2a8．
故a2，a8，a5成等差数列
【解析】【分析】（1）求出a1=1．利用当n≥2时，由Sn﹣Sn﹣1=an，利用q（q﹣1）≠0，说明{an}是以1为首项，q为公比的等比数列，求出通项公式．（2）求出Sn= ，灵活S3+S6=2S9，得到a2+a5=2a8．说明a2，a8，a5成等差数列．
33．【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差是d．
a2+a7=﹣32，a3+a8=﹣40．
相减可得（a3+a8）﹣（a2+a7）=2d=﹣8，
∴d=﹣4．
∴a2+a7=2a1+7d=﹣32，得a1=﹣2，
∴数列{an}的通项公式为an=a1+（n﹣1）d=﹣4n+2．
（2）解：由数列{an+bn}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴
∴ ，
∴前n项和Sn=[2+6+10+…+（4n﹣2）]+（1+2+4+…+2n﹣1）
= ．
【解析】【分析】（1）设等差数列{an}的公差是d，运用等差数列的通项公式解方程即可得到首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得 ，运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．
34．【答案】（1）证明：设 的公比为 ∵ （ ）
∴ （ ）
∴ （与 无关的常数）
∴数列 为等差数列，公差为
（2）解： ∵ 即 ，解得
∴
（3）由 得 ， 可得 ∴ 的前8项均为正，从第9项开始为负①当 时，
②当 时，
综上所述：
【解析】【分析】（1）根据等差数列和等比数列的定义即证。
（2）根据已知条件列出方程组求出a1和d，进而求出an的通项公式。
（3）根据题意，有绝对值，进行分情况讨论，当 n ≤ 8时，即数列各项都大于零，直接求解Tn；当n ≥ 9时，即数列前8项大于零，第9项开始小于零，进而求出Tn，综合得出Tn。
35．【答案】（1）解：当n=1时， ，
∵
（2）解：当n≥2时，满足 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵an＞0，∴an+1=an+2，
∴当n≥2时，{an}是公差d=2的等差数列．
∵a2，a5，a14构成等比数列，∴ ， ，解得a2=3，
由（1）可知， ，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，
∴{an}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．
∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1
（3）解：由（2）可得式 = ．
∴
【解析】【分析】（1）对于 ，令n=1即可证明；（2）利用 ，且 ，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得 = ．利用“裂项求和”即可证明．
36．【答案】（1）解：由题意，，在等差数列中，设公差为，
由，得，则，
又，，成等比数列，7，，成等比数列，
得，即，得，
，，数列的通项公式为：.
（2）解：由题意及（1）得，，在数列中，，
在数列中，，，
，，
两式相减得.
.
【解析】【分析】 (1)设出公差，表达出前5项，通过等差和等比关系求出和公差d，即可得到数列的通项公式；
(2)表达出数列的通项公式，得到数列的前n项和的表达式，利用错位相减法即可得出数列的前n项和.
37．【答案】（1）证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C，①
∵A，B，C为△ABC的三个内角，∴A+B+C=π，②
由①②，得B= ，③
由a，b，c成等比数列，有b2=ac，④
由余弦定理及③，可得
b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，
再由④，得a2+c2﹣ac=ac，即（a﹣c）2=0，∴a=c，
从而A=C，⑤
由②③⑤，得A=B=C= ．
∴△ABC为等边三角形；
（2）证明：欲证： ，
需证 ，
即 ，
即只需证 ，
由已知得A+C=2B，∴B=60°，b2=a2+c2﹣ac，
∴ ，
从而问题得证
【解析】【分析】（1）由三内角成等差数列结合三角形内角和定理可B= ，再由等比数列的性质结合余弦定理求得a=c，则答案得证；（2）利用分析法逐步找到使结论成立的充分条件即可．
38．【答案】解：（1）由已知，得a1=S1==0，∴Sn=，
则有Sn+1=，
∴2（Sn+1﹣Sn）=（n+1）an+1﹣nan，即（n﹣1）an+1=nan n∈N*，
∴nan+2=（n+1）an+1，
两式相加得，2an+1=an+2+an n∈N*，
即an+2﹣an+1=an+1﹣an n∈N*，
故数列{an}是等差数列．
又a1=0，a2=a，∴an=（n﹣1）a．
（2）若a=2，则an=2（n﹣1），∴Sn=n（n﹣1）．
由，得n2﹣n+11=（m﹣1）2，即4（m﹣1）2﹣（2n﹣1）2=43，
∴（2m+2n﹣3）（2m﹣2n﹣1）=43．
∵43是质数，2m+2n﹣3＞2m﹣2n﹣1，2m+2n﹣3＞0，
∴，解得m=12，n=11．
（3）由an+b≤p，得a（n﹣1）+b≤p．
若a＜0，则n≥+1，不合题意，舍去；
若a＞0，则n≤+1．∵不等式an+b≤p成立的最大正整数解为3p﹣2，
∴3p﹣2≤+1＜3p﹣1，
即2a﹣b＜（3a﹣1）p≤3a﹣b，对任意正整数p都成立．
∴3a﹣1=0，解得a=，
此时，﹣b＜0≤1﹣b，解得＜b≤1．
故存在实数a、b满足条件，a与b的取值范围是a=，＜b≤1．
【解析】【分析】（1）利用数列的项与前n项和的关系，将条件转化为数列的项之间的关系，判定数列为特征数列，再求通项公式；
（2）利用（1）的结论，求出m、n满足的关系，分析求解即可；
（3）根据条件an+b≤p求出n满足的条件，再根据满足an+b≤p的最大项始终为3P﹣2，转化为不等式的恒成立问题，分析求解即可
39．【答案】（1）解：等比数列 中， ，设公比为 ，
因为 成等差数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）解：由（1）知， ，
则 ，
，
所以 ，
即 ，
整理得： .
【解析】【分析】（1）由 成等差数列，可得 ，结合 ，可求出公比 的值，即可求出 的通项公式；（2）由（1）知， ，然后利用错位相减法求出数列 的前n项和即可.
40．【答案】（1）解：设等比数列{an}的公比为q（q≠1），等差数列{bn}的公差为d．
由已知得： ，b1=3，b4=3+3d，b13=3+12d，
所以 或 q=1（舍去），
所以，此时 d=2，
所以， ，bn=2n+1；
（2）解：由题意得： ，
Sn=c1+c2+…+cn=（﹣3+5）+（﹣7+9）+…+（﹣1）n﹣1（2n﹣1）+（﹣1）n（2n+1）+3+32+…+3n，
当n为偶数时， ，
当n为奇数时， ，
所以， ．
【解析】【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q（q≠1），等差数列{bn}的公差为d，根据b1=a1，b4=a2，b13=a3及等差、等比数列的通项公式列关于q，d的方程组解出即得q，d，再代入通项公式即可；（2）由（1）知 ，Sn=c1+c2+…+cn=（﹣3+5）+（﹣7+9）+…+（﹣1）n﹣1（2n﹣1）+（﹣1）n（2n+1）+3+32+…+3n，分n为奇数、偶数两种情况讨论即可；
41．【答案】（1）解：因为 ，即an+1=2Sn+1，…①
所以an=2Sn﹣1+1（n≥2），…②
所以①②两式相减得an+1﹣an=2an，即an+1=3an（n≥2），
又因为a2=2S1+1=3，所以a2=3a1，
故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴an=3n﹣1
（2）解：设{bn}的公差为d，由T3=15得，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，
故可设b1=5﹣d，b3=5+d，
又因为a1=1，a2=3，a3=9，并且a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，
所以可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2，
解得d1=2，d2=﹣10
∵等差数列{bn}的各项为正，
∴d＞0，∴d=2，
∴
【解析】【分析】（1）由题意可得an+1=2Sn+1，当n≥2时，将n换为n﹣1，可得an=2Sn﹣1+1，两式相减，化简结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）设{bn}的公差为d，运用等差数列和等比数列的中项的性质，解方程可得公差d，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．
42．【答案】（1）解： ， ，故 ，解得 或 （舍去）.
故 .
（2）解： ，则 ，
故
.
【解析】【分析】（1）直接利用等差数列公式计算得到答案.（2） ，利用分组求和法计算得到答案.
43．【答案】解：（Ⅰ）当n=1时，由（1﹣q）S1+qa1=1，a1=1．
当n≥2时，由（1﹣q）Sn+qan=1，得（1﹣q）Sn﹣1+qan﹣1=1，两式相减得：（1﹣q）an+qan﹣qan﹣1=0，即an=qan﹣1，
又q（q﹣1）≠0，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列，
故an=qn﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知Sn= ，又S3+S6=2S9，得 + = ，
化简得a3+a6=2a9，两边同除以q得a2+a5=2a8．
故a2，a8，a5成等差数列．
【解析】【分析】（Ⅰ）求出a1=1．利用当n≥2时，由Sn﹣Sn﹣1=an，利用q（q﹣1）≠0，说明{an}是以1为首项，q为公比的等比数列，求出通项公式．（Ⅱ）求出Sn= ，灵活S3+S6=2S9，得到a2+a5=2a8．说明a2，a8，a5成等差数列．
44．【答案】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，
， ，解得，
；
（2），
.
；
综上，
【解析】【分析】（1）由成等差数列，结合等比数列的通项公式可得首项，进一步得到；
（2）由的通项公式结合对数的运算得到的通项，再利用分组求和法计算可得答案.
45．【答案】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3=12，得 ，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以， ．
由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．
由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，
由此可得an=3n﹣2．
所以，{an}的通项公式为an=3n﹣2，{bn}的通项公式为 ．
（Ⅱ）解：设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n=6n﹣2，有 ， ，
上述两式相减，得 = ．
得 ．
所以，数列{a2nbn}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．
【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．通过b2+b3=12，求出q，得到 ．然后求出公差d，推出an=3n﹣2．
（Ⅱ）设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，利用错位相减法，转化求解数列{a2nbn}的前n项和即可．
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