2024成都中考数学复习逆袭卷诊断小卷七
本卷涉及考点：平行线的性质与判定、三角形中的重要线段、等腰三角形的性质与判定(含等边三角形)、直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、相似三角形的实际应用、解直角三角形的实际应用．
一、选择题(每小题3分，共计18分)
1. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，sin A＝，则tan C的值为( )
A. B. C. D.
2. 创新考法·跨学科 如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB ＝ 36°，OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线 DC恰好与 OB平行，则∠CDE 的度数是( )
第2题图
A. 90° B. 108° C. 126° D. 140°
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D是BC边上一点，CD＝CA，连接AD，则∠BAD的度数为( )
第3题图
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
4. 如图，在△ABC中，中线AD，CE相交于点O，连接DE，则的值为( )
第4题图
A. B. C. D.
5. 如图，△ABC是边长为5的等边三角形，点D，E分别是AB，BC边上的点，且∠ACD＝∠BAE.若CE＝2，则AD的长为( )
A. 2 B. C. 3 D. 4
第5题图
6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝7，点E是AB的中点，点F是BC上一点，且BF＝3，过点F作EF的垂线交AD于点G，则DG的长为( )
第6题图
A. 1 B. C. D. 2
二、填空题(每小题3分，共计9分)
7. 创新考法·数学文化 一个底与腰的长度比为黄金分割比(黄金分割比为)的等腰三角形称为黄金三角形．若一个黄金三角形的底边长度为2，则其腰的长度为________．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，E，F分别为AB，AC上的点，且BE＝AF＝，连接DE，DF，EF，EF交AD于点G，则DG的长为________．
第8题图
9. 某活动小组计划利用所学知识测量实验楼前大树的高度AB.如图，小天在大树前的点C处蹲下看向大树的顶端B，此时小华拿着一个标杆在大树与小天之间来回走动，当小华走到点F时，小天的眼睛D，标杆的顶端E，大树的顶端B恰好在一条直线上．已知AB⊥AC，CD⊥AC，EF⊥AC，A，C，F三点共线，CD＝0.5米，EF＝1.5米，AF＝6米，CF＝1.5米，则这棵大树的高度AB为________米．
第9题图
三、解答题(本大题共2小题，共计16分)
10. (本小题8分)某学校图书馆的台灯如图①所示，图②是其抽象示意图，AB为底座，支架CD与AB的夹角∠DCB为60°，DE与CD的夹角为90°，DE与EF的夹角为105°，若CD＝20 cm，DE＝30 cm，EF＝10 cm，求点F到底座的距离．(结果保留一位小数，≈1.73，≈1.41)
第10题图
11. (本小题8分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线，点E是BC上一点，∠EDB＝90°.
(1)求证：AB2＋CE2＝BE2；
(2)若AB＝4，CE＝3，求BD的长．
第11题图
参考答案与解析
快速对答案
一、选择题 1～6 ABDBCB
二、填空题 7. ＋1 8. 9. 5.5
三、解答题请看“逐题详析”P11．
逐题详析
1. A
2. B 【解析】∵CD∥OB，∴∠ADC＝∠AOB＝36°，∵光线DC为光线ED经平面镜OA反射得到的，易得∠ADC＝∠ODE＝36°，∴∠CDE＝180°－∠ADC－∠ODE＝180°－36°－36°＝108°.
3. D 【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝(180°－∠BAC)＝30°，∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠ADC＝(180°－∠C)＝75°，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B＋∠BAD，∴∠BAD＝∠ADC－∠B＝75°－30°＝45°.
4. B 【解析】∵D，E分别为边BC，AB的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，∴∠DEO＝∠ACO，又∵∠DOE＝∠AOC(对顶角)，∴△DOE∽△AOC，∴＝＝，∵△DOE和△DOC在EO，CO上的高相等，∴S△DOE∶S△DOC＝1∶2，∵D为BC的中点，△BED和△CED在BD，DC上的高相等，∴S△BDE＝S△CDE，设S△DOE＝a，则S△DOC＝2a，S△BDE＝S△CDE＝S△DOE＋S△DOC＝3a，∴S△DOE∶S△BDE＝＝.
5. C 【解析】∵△ABC是边长为5的等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝5，∠BAC＝∠B，又∵∠ACD＝∠BAE，∴△ACD≌△BAE(ASA)，∴AD＝BE，∵BE＋CE＝BC，∴AD＝BE＝BC－CE＝5－2＝3.
6. B 【解析】∵AB＝4，点E是AB的中点，∴BE＝AB＝2，如解图，过点G作GH⊥BC于点H，根据题意易得∠B＝90°，AG＝BH＝BF＋FH，GH＝AB＝4，∵EF⊥FG，∴∠BFE＋∠BEF＝∠HFG＋∠BFE＝90°，∴∠BEF＝∠HFG，又∵∠B＝∠FHG＝90°，∴△BEF∽△HFG，∴＝，即＝，∴HF＝，∴DG＝AD－BF－HF＝.
第6题解图
7. ＋1 【解析】设黄金三角形的腰长为x，则根据题意可得＝，解得x＝＋1，∴该黄金三角形腰的长度为＋1.
8. 【解析】∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，AD＝BD，∴∠DAF＝∠B＝45°，又∵BE＝AF，∴△BED≌△AFD(SAS)，∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，∴∠BDE＋∠EDA＝∠ADF＋∠EDA，即∠EDF＝90°，∴△EDF为等腰直角三角形，在Rt△ABC中，∵BC＝6，AB2＋AC2＝BC2，∴AB＝3，∴AE＝AB－BE＝2，在Rt△AEF中，EF2＝AE2＋AF2，∴EF＝，在Rt△EDF中，DE2＋DF2＝EF2，∴DF＝，∵∠DAF＝∠DFG＝45°，∠ADF＝∠FDG，∴△DGF∽△DFA，∴＝，即＝，∴DG＝.
9. 5.5 【解析】如解图，过点D作DH⊥AB于点H，交EF于点G，则DG⊥EF，根据题意易知，HG＝AF＝6，DG＝CF＝1.5，AH＝GF＝CD＝0.5，∴EG＝1，HD＝7.5，∵∠EDG＝∠BDH，∠DGE＝∠DHB＝90°，∴△DEG∽△DBH，∴＝，即＝，∴BH＝5，∴AB＝BH＋AH＝5.5(米).
第9题解图
10. 解：如解图，过点D作DG⊥AB于点G，分别过点E，F作EH⊥AB，FI⊥AB交BA的延长线于点H，I，分别过点D，F作DJ⊥EH，FK⊥EH交EH于点J，K，
则四边形DGHJ是矩形，DG＝JH，四边形FIHK是矩形，KH＝FI，∠CDJ＝∠DCG＝60°，
在Rt△CDG中，DG＝CD·sin 60°＝CD＝10，(2分)
在Rt△DJE中，∠EDJ＝90°－60°＝30°，∠DEJ＝60°，(4分)
∴EJ＝ED·sin 30°＝ED＝15，
在Rt△FKE中，∠FEK＝105°－60°＝45°，
∴EK＝EF·cos 45°＝EF＝5，(6分)
∴FI＝KH＝EH－EK＝EJ＋JH－EK＝EJ＋DG－EK＝15＋10－5≈25.3 cm.
答：点F到底座的距离约为25.3 cm.(8分)
第10题解图
11. (1)证明：如解图，延长ED至点F，使FD＝ED，连接AF，BF，
第11题解图
∵D为AC的中点，
∴CD＝AD，(1分)
又∵∠EDC＝∠FDA，
∴△CED≌△AFD(SAS)，
∴CE＝AF，∠C＝∠FAD，
∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝∠FAD＋∠BAC＝90°，
∴AB2＋AF2＝BF2，(3分)
∵ED＝FD，∠EDB＝90°，
∴BD为EF的垂直平分线，∴BE＝BF，
又∵AB2＋AF2＝BF2，CE＝AF，
∴AB2＋CE2＝BE2；(4分)
(2)解：∵AB＝4，CE＝3，AB2＋CE2＝BE2，
∴BE＝5，(5分)
在Rt△ABC中，AC＝＝4，
∵BD是斜边AC上的中线，
∴BD＝AC＝2.(8分)2024成都中考数学复习逆袭卷诊断小卷九
本卷涉及考点：平行四边形的性质与判定、矩形的性质与判定、菱形的性质与判定、正方形的性质与判定、多边形及其性质．
一、选择题(每小题3分，共计15分)
1. 若一个n边形的内角和是其外角和的2倍，则n的值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2. 如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，BC的中点，过点E作EF∥AB，交AC于点F，连接AE，则下列条件不能使四边形ADEF为菱形的是( )
第2题图
A. AB＝AC B. AE平分∠BAC C. DE＝BE D. AE⊥BC
3. 如图，在 ABCD中，AD＝4，连接BD，分别以B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BD于点O，交CD于点E，连接BE，若△BCE的周长为10，则AB的长为( )
第3题图
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E在BC上，DF⊥AE交CB的延长线于点F，若DF＝3，则CE的长为( )
第4题图
A. 5 B. 2 C. 3 D. 4
5. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，点E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝BF，连接DE，EF，DF，则△DEF周长的最小值为( )
第5题图
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
二、填空题(每小题3分，共计9分)
6. 如图，在正六边形ABCDEF中，点G，H分别是边BC，CD上的点，且BG＝CH，AG交BH于点O，则∠AOH的度数为__________．
第6题图
7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是AC上一点，CE＝CD，连接DE并延长交AB于点F，若AB＝10，AC＝16，则△ADF的面积为__________．
第7题图
8. 如图，点E是正方形ABCD的对角线BD上的一点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CB的延长线于点F，过点F作FG⊥BD交DB的延长线于点G，则下列结论：①EA＝EF；②BF＋BE＝BC；③BD＝2EG；④若BC＝3BF，则tan ∠BEF＝.其中正确的结论有__________．(填写所有正确结论的序号)
第8题图
三、解答题(本大题共2小题，共计18分)
9. (本小题8分) 创新考法·开放性 如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连接AE，CF，过点E作EH⊥CF于点H，过点F作FG⊥AE于点G.
(1)请你添加一个条件：____________，使四边形EGFH为矩形，并给出证明；
(2)在(1)的条件下，若AE＝5，tan ∠DAE＝2，EG＝2GF，求AG的长．
第9题图
10. (本小题10分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别为边CD，AD上的点，AF＝DE，连接AE，BF交于点G，过点C作CH⊥AE交AE的延长线于点H，且CH∥BF，连接CG.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)若GE＝7，EH＝2，＝，求CG的长．
第10题图
参考答案与解析
快速对答案
一、选择题 1～5 CCBAC
二、填空题 6. 120° 7. 8. ①②③
三、解答题请看“逐题详析”P15．
逐题详析
1. C 【解析】根据题意得(n－2)×180°＝360°×2，解得n＝6.
2. C 【解析】∵点E为BC的中点，EF∥AB，∴点F为AC的中点，∵D，E为AB，BC的中点，∴DE∥AC，∵EF∥AB，∴四边形ADEF为平行四边形(两组对边分别平行的四边形为平行四边形)，要使四边形ADEF为菱形，则只需证得一组邻边相等或对角线互相垂直即可，逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A ∵AB＝AC，D，F为AB，AC的中点，∴AD＝AF，∴四边形ADEF为菱形(一组邻边相等的平行四边形为菱形) √
B ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵EF∥AB，∴∠BAE＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAE，∴AF＝EF，∴四边形ADEF为菱形 √
C 只有DE＝BE时，不能推出四边形ADEF的邻边相等或对角线垂直，故不能得到四边形ADEF为菱形 ×
D ∵AE⊥BC，点E为BC的中点，∴AE为BC的垂直平分线，∴AB＝AC，根据选项A可得，四边形ADEF为菱形 √
3. B 【解析】根据作图可知MN为BD的垂直平分线，∴BE＝DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝4，AB＝CD，∵△BCE的周长为10，∴BC＋CE＋BE＝10，∴4＋CE＋DE＝10，∴CE＋DE＝6，即CD＝6，∴AB＝CD＝6.
4. A 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，∠DCF＝∠ABC＝90°(矩形的对边相等，四个角都是直角)，∴在Rt△CDF中，CF＝＝＝9，∵AE⊥DF，∠ABC＝90°，∴∠CFD＋∠AEB＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°，∠CFD＝∠BAE(同角的余角相等)，∵∠DCF＝∠ABE＝90°，∴△CDF∽△BEA(两角分别相等的两个三角形相似)，∴＝，即＝ ，解得BE＝1，∴CE＝AD－BE＝5.
5. C 【解析】如解图，连接DB，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA(菱形的四条边相等)，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠A＝60°，∴△ADB是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，∴AD＝BD，∠A＝∠ADB＝60°，∴∠A＝∠DBC，∴在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF(SAS)，∴∠ADE＝∠BDF，DE＝DF，∴∠ADE＋∠EDB＝∠BDF＋∠EDB，∴∠ADB＝∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，∴要使△DEF的周长最小，只需要DE最小即可，过点D作DH⊥AB于点H，∵△ADB是等边三角形，AB＝2，∴AH＝AB＝(等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合)，∴DH＝AH·tan 60°＝×＝3，∴△DEF周长的最小值为3×3＝9.
第5题解图
6. 120° 【解析】正多边形的每条边都相等，每个内角都相等，看到相等线段，可考虑全等三角形．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝∠BCD＝120°，AB＝BC，∵BG＝CH，∴△ABG≌△BCH(SAS)，∴∠BAG＝∠CBH，∴∠AOH＝∠BAG＋∠ABO＝∠CBH＋∠ABO＝∠ABC＝120°.
7. 【解析】如解图，过点D作DH⊥AB交AB于点H，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝10，AC⊥DB，OA＝OC＝AC＝8，OD＝OB(菱形的四条边相等，对角线互相垂直且平分)，∴根据勾股定理得，OB＝＝＝6，∴DB＝12，∵AB∥CD(菱形的对边平行)，∴△DEC∽△FEA，∴＝，∵CE＝CD，∴AE＝AF，∴AF＝AE＝AC－CE＝AC－DC＝16－10＝6，∵S菱形ABCD＝AB·DH＝AC·BD(菱形的面积等于对角线乘积的一半)，即10DH＝×16×12，∴DH＝，∴S△ADF＝AF·DH＝×6×＝.
第7题解图
8. ①②③ 【解析】如解图①，过点E作EM⊥EB，交AB于点M，则∠BEM＝∠BEF＋∠MEF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠EBM＝∠ABC＝45°，∠BME＝90°－∠EBM＝45°，∴△BEM为等腰直角三角形，∴ME＝BE，∠AME＝180°－∠BME＝135°，∠FBE＝180°－∠CBD＝135°，∵EF⊥EA，∴∠AEF＝∠MEA＋∠MEF＝90°，∴∠MEA＝∠BEF，在△AME和△FBE中，，∴△AME≌△FBE(ASA)，∴EA＝EF，①正确；如解图①，在Rt△BME中，∵BM2＝BE2＋ME2＝2BE2，∴BM＝BE，∵△AME≌△FBE，∴BF＝MA，∵AB＝AM＋BM，∴AB＝BF＋BE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∴BF＋BE＝BC，②正确；如解图②，过点A作AO⊥BD于点O，则∠AOE＝90°，∵FG⊥BG，∴∠G＝90°，∴∠AOE＝∠G，∵∠AEF＝90°，∴∠GEF＋∠AEO＝90°，∵∠AEO＋∠OAE＝90°，∴∠OAE＝∠GEF，又∵AE＝EF，∴△AOE≌△EGF(AAS)，∴AO＝EG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵AO⊥BD，∴BO＝DO(三线合一)，在△ABD中，∵∠BAD＝90°，BO＝DO，∴BD＝2AO(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴BD＝2EG，③正确；如解图③，连接AF，设AB与EF交于点P，∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∴∠PBF＝90°，∵AE⊥EF，∴∠PEA＝90°，∵∠APE＝∠FPB，∠PEA＝∠PBF＝90°，∴△AEP∽△FBP，∴＝，∵∠APF＝∠EPB，∴△APF∽△EPB(两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似)，∴∠FAP＝∠BEP，即∠FAB＝∠BEF，∵AB＝BC，BC＝3BF，∴AB＝3BF，∴tan ∠BEF＝tan ∠FAB＝＝，④错误；综上所述，正确的结论为①②③.
第8题解图
9. 解：(1)添加的条件为：AF＝CE(答案不唯一)；
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.
∵AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形(有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，(2分)
∴AE∥CF，∴∠AEH＋∠FHE＝180°.
∵EH⊥CF，FG⊥AE，
∴∠FGE＝∠FHE＝∠GEH＝90°，
∴四边形EGFH为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)；(4分)
(2)设AG＝x，∵FG⊥AE，∴∠AGF＝ 90°，
∴在Rt△AGF中，tan ∠DAE＝＝2，
∴GF＝2AG＝2x.(6分)
∵EG＝2GF，∴EG＝4x，
∵AE＝AG＋EG，∴5＝x＋4x.解得x＝1，
∴AG的长为1. (8分)
10. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF＝∠ADE＝90°，
∵CH∥BF，CH⊥AE，∴∠AGB＝∠H＝90°，
∴∠BAG＋∠ABF＝90°.(2分)
又∵∠DAE＋∠BAG＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，
∵AF＝DE，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴AB＝AD，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)；(5分)
(2)解：∵∠H＝90°，∠ADE＝90°，∴∠H＝∠ADE，
又∵∠CEH＝∠AED，∴△CEH∽△AED，
∴＝，∴＝，即＝，
∴CH＝6.(8分)
∵GH＝GE＋EH＝7＋2＝9，
∴在Rt△GCH中，CG＝＝3.(10分)2024成都中考数学复习逆袭卷诊断小卷八
本卷涉及考点：平行线的性质与判定、三角形的基本性质、三角形中的重要线段、等腰三角形的性质与判定(含等边三角形)、直角三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形的实际应用．
一、选择题(每小题3分，共计18分)
1. 如图，已知直线l1∥l2，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点分别放在l1，l2上．若∠1＝110°，则∠2的度数为 ( )
第1题图
A. 50° B. 40° C. 30° D. 20°
2. 如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC边上的中点，CF⊥AB.若△DEF的周长为7.5，则△ABC的周长为( )
第2题图
A. 13 B. 15 C. 17 D. 20
3. 如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，BC上的点，过点D，E分别作DF∥BC，EF∥AB，则图中的相似三角形的对数为( )
第3题图
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
4. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，任取一点O，使点O和点A在直线BC的两侧，以点A为圆心，AO长为半径作弧，交BC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧相交于点P，作直线AP交BC于点D.若AD的长为2，则BC的长为( )
第4题图
A. 2＋ B. 3 C. 2＋ D. 2＋
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AO，BO分别是∠CAB，∠CBA的平分线，过点O作OM ⊥BC于点M.若AC＝，AB ＝3，则tan ∠BOM的值为( )
第5题图
A. B. 2 C. D.
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE是△ABD的高，DF是△ACD的中线．若DE＝2，DF＝，则△ABC的面积为( )
第6题图
A. 5 B. 10 C. 12 D. 15
二、填空题(每小题3分，共计9分)
7. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，D是BC延长线上一点．若∠ACD＝3∠B，则∠B的度数为________．
第7题图
8. 创新考法·跨学科 如图①，桔槔是我国古代劳动人民发明的一种利用杠杆原理取水的机械，图②是其示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，且AB＝3.6米，OA∶OB＝2∶1.当点A位于最低点时，∠AOM＝53°.若将点A从水平位置A1逆时针旋转到最低点时，此时水桶B上升的高度为________米．(结果保留一位小数，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
第8题图
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，将△ACB绕点C顺时针旋转90°得到△DCE，P为AB上一点，P的对应点为P′，则PP′的最小值为________．
第9题图
三、解答题(本大题共2小题，共计16分)
10. (本小题8分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E.
求证：AD－BE＝DE.
第10题图
11. (本小题8分)如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，点E是CD的中点，连接BE，过点D作BC的平行线交AC于点F，交BE的延长线于点G.
(1)求证：＝；
(2)若2AD＝BD，△ADF的面积为1，求△BDG的面积．
第11题图
参考答案与解析
快速对答案
一、选择题 1～6 BBCDAB
二、填空题 7. 30° 8. 0.7 9.
三、解答题请看“逐题详析”P12～P13．
逐题详析
1. B
2. B 【解析】∵D，E分别为AC，BC边上的中点，∴AB＝2DE(三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半)，∵CF⊥AB，AC＝2DF，BC＝2EF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∵△DEF的周长为7.5，∴DE＋DF＋EF＝7.5，∴AB＋AC＋BC＝2DE＋2DF＋2EF＝2(DE＋DF＋EF)＝2×7.5＝15，∴△ABC的周长为15.
3. C 【解析】∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∵EF∥AB，∴△FEC∽△ABC，∴△ADF∽△FEC.故图中共有3对相似三角形．
4. D 【解析】根据题意可知，AD⊥BC，在Rt△ABD中，∵AD＝2，∠B＝45°，∴BD＝＝2，在Rt△ACD中，CD＝＝＝，∴BC＝BD＋CD＝2＋.
5. A 【解析】∵在Rt△ABC中，AC＝，AB＝3，∴BC＝＝2.如解图，过点O分别作OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，连接OC，∵AO平分∠CAB，BO平分∠ABC，OM⊥BC，∴OE＝OF＝OM，∵S△ABC＝S△ACO＋S△OCB＋S△OAB，∴AC·BC＝AC·OE＋BC·OM＋AB·OF，即2＝(＋2＋3)·OM，解得OM＝，∵OE⊥AC，OM⊥BC，∠ACB＝90°，OE＝OM，∴四边形OECM是正方形，∴CM＝OM，∴BM＝BC－CM＝BC－OM＝，∴tan ∠BOM＝＝.
第5题解图
6. B 【解析】∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，∴S△ABD＝S△ABC，∵在Rt△ACD中，DF是AC边上的中线，∴DF＝AC＝，∴AC＝5，∴AB＝AC＝5，∵DE是△ABD的高，DE＝2，∴S△ABD＝AB·DE＝×5×2＝5，∴S△ABC＝2S△ABD＝2×5＝10.
7. 30° 【解析】∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B，∵∠ACD＝3∠B，∴∠A＝2∠B，∵∠A＝60°，∴∠B＝30°.
8. 0.7 【解析】∵AB＝3.6米，OA∶OB＝2∶1，∴OB＝1.2米，∵∠AOM＝53°，由题意知∠A1OM＝90°，∴∠AOA1＝∠BOB1＝37°，如解图，过点B作BC⊥A1B1于点C，则此时水桶B上升的高度BC＝OB·sin ∠BOB1＝OB·sin 37°≈1.2×0.60≈0.7(米).
第8题解图
9. 【解析】如解图，连接CP，CP′，∵△DCE是由△ACB绕点C顺时针旋转90°得到的，∴CP′＝CP，∠PCP′＝90°，∴△PCP′为等腰直角三角形，∴PP′＝CP.当CP⊥AB时，CP的长最小，即PP′的长最小．在Rt△ABC中，∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝10.当PP′取最小值时，S△ABC＝BC·AC＝AB·PC，∴PC＝，∴PP′的最小值为.
第9题解图
10. 证明：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
即BC＝CA，(2分)
∵AD⊥CE，
∴∠ADC＝90°，∠DAC＋∠DCA＝90°，
∵∠ECB＋∠DCA＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB.
∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°，(4分)
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，(6分)
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴AD－BE＝CE－CD＝DE.(8分)
11. (1)证明：∵DF∥BC，
∴∠GDE＝∠BCE，
∵E是CD的中点，∴DE＝CE，
在△GDE和△BCE中，
，
∴△GDE≌△BCE(ASA)，
∴DG＝CB，(2分)
∵DF∥CB，∴△ADF∽△ABC，
∴＝，
又∵DG＝BC，
∴＝；(4分)
(2)解：如解图，连接BF，
∵＝，∴S△ADF∶S△BDF＝(高相等，面积之比为底边之比)，
∵S△ADF＝1，
第11题解图
∴S△BDF＝2，(6分)
∵＝＝，
∴S△BDF∶S△BDG＝(高相等，面积之比为底边之比)，
∵S△BDF＝2，∴S△BDG＝6. (8分)
