2024成都中考数学复习逆袭卷诊断小卷十
本卷涉及考点：平行四边形的性质与判定、矩形的性质与判定、菱形的性质与判定、正方形的性质与判定、多边形及其性质．
一、选择题(每小题3分，共计15分)
1. 如图，DE是△ABC的中位线，点F是边BC的中点，连接AF交DE于点O，要使四边形ADFE是矩形，则应添加的一个条件是( )
第1题图
A. AB＝AC B. AF⊥DE C. ∠BAC＝90° D. OD＝OE
2. 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，点F是DE延长线上一点，连接BF，CF，若CF＝BC，∠AEB＝70°，则∠BFE的度数为( )
第2题图
A. 30° B. 45° C. 50° D. 60°
3. 如图，在正六边形ABCDEF中，G，H分别是AE，CE的中点，连接GH，若GH＝2，则正六边形ABCDEF的周长为( )
第3题图
A. 12 B. 12 C. 24 D. 24
4. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，直线EF将菱形ABCD的面积平分，且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝1，AB＝8，则EF的长为( )
第4题图
A. 2 B. C. 4 D. 2
5. 如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点E，BE⊥AE，点M，N分别是AE，BE的中点，连接DM，MN，CN，若MN＝5，DM＝3，则的值为( )
第5题图
A. B. C. D.
二、填空题(每小题3分，共计9分)
6. 如图，点 A，B，C，D 为一个正多边形的顶点，连接 AB，BC，CD，BD，若∠BDC＝36°，则这个多边形从一个顶点可以引的对角线的条数是__________．
第6题图
7. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，且 DE＝2，过点 E 作 EF∥BC，分别交边 AB 和对角线 AC于点 F，G，M，N 分别是 AG，BE 的中点，连接 MN，若 AB＝8，则 MN的值为________．
第7题图
8. 创新考法·填空双空 如图，在矩形 ABCD 中，AC 为矩形 ABCD 的对角线，DG⊥AC 于点 G，延长 DG 交 AB 于点 E，已知 AD＝6，CD＝8.
第8题图
(1)AE 的长为________；
(2)若∠ACD 的平分线 CF 交 AD 于点 F, 则 tan ∠DCF 的值为________．
三、解答题(本大题共2小题，共计18分)
9. (本小题8分)如图，点E是平行四边形ABCD对角线BD上的一点，连接AE，CE，且∠EAD＝∠ECD，∠AEB＝∠CEB，延长AE到点F，使得EF＝AE，过点F作FG⊥BD，垂足为点G.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若tan ∠ABC＝，AB＝2，求FG的长．
第9题图
10. (本小题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，点D为AB边上一点(不与点A，B重合)，以AD为直角边向下方作Rt△ADE，且∠DAE＝30°.
(1)连接CD，BE，则线段CD与BE的数量关系是____________；
(2)若AD＝AC，将△ADE绕点A在平面内自由旋转，当以A，B，C，E为顶点的四边形为平行四边形时，求BD的长．
第10题图
参考答案与解析
快速对答案
一、选择题 1～5 CBDDB
二、填空题 6. 2 7. 5 8. (1)；(2)
三、解答题请看“逐题详析”P17．
逐题详析
1. C 【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴点D，E分别是AB，AC的中点，∵点F是边BC的中点，∴DF，EF都是△ABC的中位线，∴DF∥AC，EF∥AB，∴四边形ADFE是平行四边形．要使平行四边形ADFE是矩形，只需满足一个内角等于90°或对角线相等即可，逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A 当AB＝AC时，无法推出平行四边形ADFE的一个内角等于90°或对角线相等，故本选项不符合题意 ×
B 当AF⊥DE时，无法推出平行四边形ADFE的一个内角等于90°或对角线相等，故本选项不符合题意 ×
C 当∠BAC＝90°时，平行四边形ADFE是矩形，故本选项符合题意 √
D 当OD＝OE时，无法推出平行四边形ADFE的一个内角等于90°或对角线相等，故本选项不符合题意 ×
2. B 【解析】∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠ACD＝45°，BC＝CD，∠BCD＝90°，由对称性可得∠AED＝∠AEB＝70°，∴∠CED＝180°－∠AED＝180°－70°＝110°，在△CDE中，∠CDE＝180°－∠CED－∠ACD＝180°－110°－45°＝25°，∵CF＝BC，BC＝CD，∴CF＝CD，∴∠CDE＝∠CFD＝25°(等边对等角)，在△CDF中，∠DCF＝180°－∠CDE－∠CFD＝180°－25°－25°＝130°，∠BCF＝∠DCF－∠BCD＝130°－90°＝40°，在等腰△BCF中，∠BFC＝(180°－∠BCF)＝×(180°－40°)＝70°，∴∠BFE＝∠BFC－∠CFD＝70°－25°＝45°.
3. D 【解析】如解图，连接AC，∵G，H分别是AE，CE的中点，∴AC＝2GH＝4，过点B作AC的垂线交AC于点M，∵AB＝BC，∴△ABC为等腰三角形，∴BM为∠ABC的平分线，AM＝MC＝AC＝2(等腰三角形“三线合一”)，又∵正六边形的一个内角为＝120°，∴∠ABM＝60°，在Rt△ABM中，AB＝＝＝4，∴正六边形ABCDEF的周长为4×6＝24.
第3题解图
4. D 【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴AB ＝BC＝8 ，AB ∥CD，AD∥BC，∵AD∥BC，∠DAB＝120°，∴∠B＝180°－∠DAB＝60°，∵直线EF将菱形ABCD的面积平分，∴AE＝CF＝1，如解图，过点C，F分别作AB的垂线交AB于点G，H，∵AB ∥CD，∴∠CFH＝∠FHG＝90°，∴四边形CFHG为矩形，∴FH＝CG，HG＝CF＝1，在Rt△CGB中，CG＝BC·sin B＝8×＝4，BG＝BC·cos B＝8×＝4，EH＝AB－AE－HG－BG＝8－1－1－4＝2，在Rt△EFH中，EF＝＝＝2.
第4题解图
5. B 【解析】∵点M，N分别是AE，BE的中点，∴AB＝2MN＝10，MN∥AB(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半)，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC＝10，BC＝AD(平行四边形对边平行且相等)，∴∠DEA＝∠EAB，MN∥CD，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DEA＝∠DAE，∴AD＝DE，∴△ADE为等腰三角形，∵点M是AE的中点，∴DM⊥AE(等腰三角形“三线合一”)，∵BE⊥AE，∴DM∥BE(垂直于同一直线的两直线平行)，∵MN∥CD，∴四边形DMNE为平行四边形(两组对边分别平行的四边形为平行四边形)，∴DE＝MN＝5，EN＝DM＝3，∴CE＝DC－DE＝10－5＝5，∵△ADE为等腰三角形，∴AD＝DE＝5，∴BC＝AD＝5，∵BC＝CE，∴△BCE为等腰三角形，∵点N为BE的中点，∴CN⊥BE，在Rt△CNE中，CN＝＝＝4，∴＝.
6. 2 【解析】∵点 A，B，C，D 为一个正多边形的顶点，∴CD＝BC，∴∠CBD＝∠BDC＝36°，∴∠C＝180°－∠CBD－∠BDC＝108°，∴ 该正多边形的一个外角为72°，∵正多边形的每个外角都相等，且外角和为360°，∴这个正多边形的边数为360°÷72°＝5，∴从一个顶点可以引的对角线的条数为5－3＝2.
7. 5 【解析】如解图，连接FM，FC，∵ 四边形 ABCD 是正方形，EF∥BC，∴ ∠BAC ＝ 45°，四边形BCEF 为矩形，∴ △AFG为等腰直角三角形，BE＝CF. ∵点M是AG的中点，∴ FM⊥AG，即△FMC 是直角三角形. ∵点N是BE的中点，∴点N是CF的中点，∴ MN＝ CF. ∵ DE ＝ 2，BC ＝DC ＝ AB ＝ 8，∴ CE ＝ BF＝ 6，∴ CF＝＝＝10 ，∴ MN＝CF＝5 .
第7题解图
8. (1)；(2) 【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，AB＝CD＝8，AD＝BC＝6，∴∠DAG＋∠BAC＝90°，∵DG⊥AC，∴∠DAG＋∠ADE＝90°，∴∠BAC＝∠ADE，∴tan ∠BAC＝tan ∠ADE，∴＝，即＝，∴AE＝；
第8题解图
(2)如解图，过点F作FH⊥AC于点H，∵CF平分∠ACD，FD⊥CD，FH⊥CA，∴FD＝FH.∵∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝10.∵S△ACF＋S△DCF＝S△ACD，∴AC·FH＋CD·FD＝AD·CD，∴×10FD＋×8FD＝×6×8，∴FD＝，∴tan ∠DCF＝＝.
9. (1)证明：∵∠AEB＋∠AED＝180°，∠CEB＋∠CED＝180°，∠AEB＝∠CEB，
∴∠AED＝∠CED，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE(AAS)，(3分)
∴AD＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形为菱形)；(4分)
(2)解：∵tan ∠ABC＝，
∴∠ABC＝60°，
由(1)可知，四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠ADC＝∠ABC，DB平分∠ADC(菱形的对角线平分一组对角)，
∵AB＝2，∠ABC＝60°，
∴AD＝2，∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝∠ADC＝30°，(5分)
第9题解图
如解图，作AH⊥BD，垂足为点H，则∠AHE＝∠AHD＝90°，
在Rt△ADH中，∠ADE＝30°，∴AH＝AD＝1，(6分)
∵FG⊥BD，∴∠FGE＝90°，
在△AHE和△FGE中，，
∴△AHE≌△FGE(AAS)，(7分)
∴AH＝FG，∵AH＝1，∴FG＝1.(8分)
10. 解：(1)CD＝BE; (3分)
(2)在Rt△ABC中， AC＝AB·cos ∠BAC＝8×＝4，
∵AD＝AC，
∴AD＝2，
分两种情况：①当△ADE绕点A逆时针旋转至如解图①所示的位置时，
过点D作DM⊥AB，交BA的延长线于点M，
∵四边形ABCE为平行四边形，
∴AE∥BC(平行四边形对边平行)，
∴∠EAM＝∠ABC＝60°，
又∵∠DAE＝30°，
∴∠DAM＝30°，
在Rt△ADM中， ∠DAM＝30°，
∴DM＝AD＝(30°所对应的直角边等于斜边的一半)，AM＝DM＝3，
∴BM＝AB＋AM＝11，
在Rt△BDM中，BD＝＝＝2；(7分)
第10题解图①
②当△ADE绕点A顺时针旋转至如解图②所示的位置时，BC∥AE，
∴∠BAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠BAE－∠DAE＝30°，
过点D作DM⊥AB交AB于点M，
∵AD＝2，
∴DM＝AD＝，AM＝DM＝3，
∴BM＝AB－AM＝8－3＝5，
在Rt△BDM中，BD＝＝＝2，
综上所述，BD的长为2或2.(10分)
第10题解图②2024成都中考数学复习逆袭卷诊断小卷十一
本卷涉及考点：圆周角定理及其推论、与垂径定理有关的计算、与切线性质有关的证明与计算、与切线判定有关的证明与计算、与辅助圆有关的问题、弧长、扇形面积的有关计算、阴影部分面积的计算、正多边形与圆．
一、选择题(每小题3分，共计18分)
1. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E是圆上三点，连接AD，CD，CE, EB，若∠CEB＝25°，则∠D的度数为 ( )
第1题图
A. 50° B. 65° C. 75° D. 80°
第2题图
2. 如图，点M，N在⊙O上，且∠MON＝120°，弦MN的长度为8，则半径OM的长度为( )
A. B. C. 2 D.
3. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，过点D作⊙O的切线，交BA延长线于点E，连接AC，BC，CD，AD，若∠E＝∠B＝50°，则∠CAD的大小为( )
第3题图
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
4. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA，OC，已知B是的中点，若∠ABC＝120°，⊙O的半径为5，则弦AB的长为( )
第4题图
A. B. 4 C. 5 D. 5
5. 如图，在等边△ABC中，AB＝，分别以三边为斜边向外作等腰直角三角形，得到Rt△ABD，Rt△BCF，Rt△CAE，点O是△ABC的中心．以点O为圆心，OD长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为( )
第5题图
A. π B. π C. π D. π
6. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，A，B，E，F，O均为格点(网格线的交点)，一段圆弧经过格点A，B，与OE的延长线交于点D，与OF交于点G，点O为圆弧的圆心．若图中阴影部分的面积为，则的长为( )
第6题图
A. B. C. D.
二、填空题(每小题3分，共计9分)
7. 如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，BD为⊙O内接正十二边形的一边，若CD＝2，则⊙O的半径为________．
第7题图
8. 如图，在半径为1的⊙O中，点A，B，C，D是⊙O上的点，∠BAC＝67.5°，CD∥OB，连接OC，则CD的长为______．
第8题图
9. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，AC与BD交于点O，点M，N分别是BD，AC上的动点，且MN＝2，P是MN的中点，连接PE，若AC＝6，BD＝8，则PE的最小值为________．
第9题图
三、解答题(本大题共2小题，共计18分)
10. (本小题8分) 创新考法·阅读理解 日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以测定当时的时辰或刻度．小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以O为圆心的圆，线段DE为日晷的底座，点C为日晷与底座的接触点，DE与⊙O相切于点C，点A，B，F均在⊙O上，且OA，OB，OF为不同时刻晷针的影长，且A，O，B三点共线，OF，OB的延长线分别与DE相交于点E，D，连接AC，BC，且OF∥BC.
(1)求证：OF⊥AC；
(2)若OE＝4，AB＝2，求BC的长．
第10题图
11. (本小题10分)如图，AB是⊙O的直径，C，D是AB异侧⊙O上两点，且∠DAB＝2∠ABC，过点C作CE⊥DA交DA的延长线于点E，连接AC，CD.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，∠B＝30°，求AE的长．
第11题图
参考答案与解析
快速对答案
一、选择题 1～6 BDBCBD
二、填空题 7. 2 8. 9.
三、解答题请看“逐题详析”P19～P20．
逐题详析
1. B 【解析】如解图， 连接OC，∵∠CEB＝25°，∴∠BOC＝2∠CEB＝50°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半). ∵ AB是⊙O的直径，∴∠AOB＝180°，∴∠AOC＝ 180°－50°＝ 130°. ∴∠D＝∠AOC＝ 65°.
第1题解图
2. D 【解析】如解图，过点O作OP⊥MN于点P，则MP＝NP＝MN＝4(垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧)，∠MPO＝90°，∵OM＝ON，∠MON＝120°，∴∠M＝∠N＝30°，在Rt△OMP中，cos M＝，∴OM＝＝＝.
第2题解图
3. B 【解析】如解图，连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，即∠ODE＝90°(圆的切线垂直于经过切点的半径)，∵∠E＝50°，∴∠EOD＝40°，∴∠ACD＝∠EOD＝20°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∵∠B＝50°，∴∠ADC＝∠B＝50°，∴∠CAD＝180°－∠ADC－∠ACD＝180°－50°－20°＝110°.
第3题解图
4. C 【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝120°，∴∠D＝180°－∠ABC＝60°(圆内接四边形的对角互补)，∴∠AOC＝2∠D＝120°.如解图，连接OB，∵B是的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，∵⊙O的半径为5，∴AB＝OB＝5.
第4题解图
5. B 【解析】如解图，连接OA，由题意可得，∵O是等边△ABC的中心，∴∠DOE＝∠DOF＝∠EOF＝∠120°，OA＝OB＝OC，∵△ABD，△BCF，△CAE是等腰直角三角形，∴AD＝BD＝BF＝CF＝CE＝AE，∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC(到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)，将图中的阴影部分可转化为如解图所示的阴影部分，∴S阴影＝S⊙O，∵ 点O是△ABC的中心，∴∠ABO＝30°，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠DBA＝45°，∵AB＝，∴OD＝AB＋×AB＝，∴S阴影＝×π×()2＝×(1＋)π＝π.
第5题解图
6. D 【解析】如解图，连接OA，则OA＝＝2，设∠COD＝n°，∵图中阴影部分的面积为，∴＝(扇形面积公式：)，解得n＝30，连接EF，则OE＝EF＝＝，OF＝＝，∴OE2＋EF2＝OF2，∴∠OEF＝90°，∴△OEF是等腰直角三角形，∴∠EOF＝45°，∴∠COG＝75°，∴的长为＝(弧长公式：).
第6题解图
7. 2 【解析】如解图，连接OB，OC，OD，由题意得，OB＝OC＝OD，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∵BD为⊙O内接正十二边形的一边，∴∠BOD＝360°÷12＝30°，∴∠DOC＝∠BOC－∠BOD＝90°，∴△DOC是等腰直角三角形，∵CD＝2，∴OD＝DC＝2.
第7题解图
8. 【解析】如解图，连接OD，∵∠BAC＝67.5°，∴∠BOC＝2∠BAC＝ 135°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∵CD∥OB，∴∠OCD ＝180°－∠BOC＝45°(两直线平行，同旁内角互补)，∵OC＝ OD，∴∠ODC＝∠OCD＝45°，∴∠COD＝ 90°，∵⊙O的半径为1，∴OC＝OD＝1，∴CD＝＝.
第8题解图
9. 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4(菱形的对角线互相垂直且平分)，∴AB＝5，如解图，连接OP，在Rt△MON中，∵MN＝2，P为MN的中点，∴OP＝1(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴点P在以点O为圆心，OP长为半径的⊙O上运动，连接OE交⊙O于点P′，∴OP′＝OP＝1，∵PE＋OP≥OE，即PE＋OP≥OP′＋P′E，∴PE≥P′E，当点P运动到点P′时，即O，P，E三点共线时，PE取得最小值，最小值为P′E的长，∵点E是AB的中点，∴OE＝AB＝，∴P′E＝OE－OP′＝－1＝，∴PE的最小值为.
第9题解图
10. (1)证明：如解图①，设AC交OF于点P，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°(直径所对的圆周角是直角)，
∵OF∥BC，
∴∠FPC＝∠ACB＝90°，
∴OF⊥AC；(3分)
图① 图②
第10题解图
(2)解：如解图②，连接OC，
∵DE为⊙O的切线，
∴OC⊥DE(圆的切线垂直于经过切点的半径)，
∴∠OCE＝∠BCA＝90°，
∵OF∥BC，即OE∥BC，
∴∠EOC＝∠OCB，(5分)
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠EOC＝∠OBC，
∴△OCE∽△BCA，
∵OC＝AB＝，
∴＝，
即＝，
解得BC＝，
∴BC的长为.(8分)
11. (1)证明：如解图，连接OC，
第11题解图
∵＝，
∴∠AOC＝2∠ABC(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，
∵∠DAB＝2∠ABC，
∴∠DAB＝∠AOC，
∴AD∥OC.
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，即∠OCE＝90°.
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；(4分)
(2)解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°(直径所对的圆周角是直角)，
∵∠B＝30°，∴∠OAC＝60°.
∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，
∵⊙O的半径为5，
∴AC＝OC＝5，(5分)
由(1)知∠OCE＝90°，
∴∠ACE＋∠ACO＝90°.
∵∠ACO＋∠OCB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠OCB.
∵OC＝OB，∠B＝30°，∴∠OCB＝∠B＝30°，
∴∠ACE＝∠OCB＝30°，(8分)
∵CE⊥AD，
∴在Rt△AEC中，AE＝AC＝×5＝.(10分)2024成都中考数学复习逆袭卷诊断小卷十二
本卷涉及考点：圆周角定理及其推论、与垂径定理有关的计算、与切线性质有关的证明与计算、与辅助圆有关的问题、弧长、扇形面积的有关计算、阴影部分面积的计算、正多边形与圆．
一、选择题(每小题3分，共计18分)
1. 若一个扇形的半径为2，面积为，则它的圆心角的度数为( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
2. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，且＝，连接BD，若∠ADC＝ 130°，则∠BDC的度数是( )
第2题图
A. 55° B. 50° C. 45° D. 40°
3. 如图，AB为⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，且＝.若∠E＝80°，则∠ABC的度数为( )
第3题图
A. 40° B. 30° C. 20° D. 10°
4. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线CD，交BA的延长线于点D，过点B作⊙O的切线BE，交DC的延长线于点E.若∠ABC＝30°，△ECB的周长为18，则DO的长为( )
第4题图
A. B. 2 C. 4 D. 6
5. 如图，点A在⊙O内，B，C在⊙O上，若∠BAC＝90°，AB＝AC，OA＝1，⊙O的半径为5，则弦BC的长为 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
第5题图
6. 如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，连接AC，BC，以点C为圆心，CA长为半径画弧，得到扇形ACB，将扇形ACB围成一个圆锥，若AB＝8，则圆锥底面圆的半径为( )
第6题图
A. 2 B. C. 2 D. 4
二、填空题(每小题3分，共计9分)
7. 如图，⊙O为正六边形ABCDEF的内切圆，点G，H，K分别为BC，DE，EF与⊙O的切点，连接GK，KH，则∠GKH的度数为________．
第7题图
8. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径OA＝，点C是的中点，过点C作CD∥OA，交OB于点D，则阴影部分的面积为__________．
第8题图
9. 创新考法·真实问题情境 如图，某游乐场计划在道路BC的一侧修建一个四边形休息区ABCD，并沿BD将该休息区划分为两部分提供管理和服务，设计要求BD⊥DC，AD∥BC，已知AD＝20米，BC＝40米，则设计的休息区ABCD的最大面积是______平方米．
第9题图
三、解答题(本大题共2小题，共计18分)
10. (本小题8分)如图，AB，CD为⊙O的两条相互垂直的弦，AB，CD交于点E，连接AC，过点O作OF⊥AB于点F.
(1)若OF＝1，AB＝4，求⊙O的半径；
(2)连接OC交AB于点G，若点G是OC的中点，求证：CD＝4OF.
第10题图
11. (本小题10分)如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，且BC＝AB，连接OC，过点B作BD⊥OC于点E，交⊙O于点D，连接AD，AC，AC交BD于点F，交⊙O于点G.
(1)求证：∠ABD＝∠ECB；
(2)若BD＝4，求FG的长．
第11题图
参考答案与解析
快速对答案
一、选择题 1～6 BBCCDB
二、填空题 7. 60° 8. 9. 600
三、解答题请看“逐题详析”P21～P22．
逐题详析
1. B 【解析】设扇形的圆心角为n°，∵扇形的半径为2，面积为，∴S扇形＝＝(扇形面积公式：)，解得n＝60，∴它的圆心角的度数为60°.
2. B 【解析】∵＝，∴∠ABC＝∠BDC(等弧所对的圆周角相等).∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＝ 180°－∠ADC＝ 50°(圆内接四边形的对角互补)，∴∠BDC＝ 50°.
3. C 【解析】如解图，连接OD，BD，∵＝，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠E＝80°，∴∠DOB＝2∠E＝160°(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，∴∠AOD＝180°－∠DOB＝20°，∴∠ABD＝∠AOD＝10°，∴∠CBD＝∠ABD＝10°，∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝ 20°.
第3题解图
4. C 【解析】如解图，连接OC，OE，∵CD，BE是⊙O的切线，∴EC＝EB(从圆外一点可引出圆的两条切线，它们的切线长相等), ∠OBE＝90°(圆的切线垂直于经过切点的半径)，∵∠ABC＝30°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)，∵△ECB的周长为18，∴BE＝18÷3＝6，∵△EBC是等边三角形，∴∠CEB＝60°，∴∠OEB＝∠CEB＝30°(从圆外一点可引出圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角)，BD＝BE·tan 60°＝6×＝6，∴OB＝BE·tan 30°＝6×＝2，∴DO＝BD－OB＝6－2＝4.
第4题解图
5. D 【解析】利用垂径定理，建立等式，即可求解．如解图，连接OB，OC，延长AO交BC于点D，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∵OB＝OC，AB＝AC，∴AD是BC的垂直平分线，∴∠ADB＝90°，BD＝BC(垂径定理)，∴AD＝BD，∵⊙O的半径为5，∴OB＝5，设BD＝AD＝x，∵OA＝1，∴OD＝x－1，∴OD2＋BD2＝OB2，∴(x－1)2＋x2＝52，解得x＝4(负值已舍去)，∴BD＝4，∴BC＝2BD＝8.
第5题解图
6. B 【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°(直径所对的圆周角是直角)，∵点C是的中点，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC＝AB·sin 45°＝4，∴扇形ACB围成圆锥的底面圆的周长为＝2π(弧长公式：)，设圆锥底面圆的半径为R，则2π＝2πR，解得R＝.
7. 60° 【解析】∵⊙O为正六边形ABCDEF的内切圆，点G，K分别为BC，EF与⊙O的切点，∴G，K分别是BC，EF的中点，易得GK是⊙O的直径，即G，O，K三点共线，∵正六边形的内角和为(6－2)×180°＝720°(n边形的内角和公式为(n－2)×180°)，∴∠E＝720°÷6＝120°，∵点H，K分别为DE，EF与⊙O的切点，∴EK＝EH(从圆外一点可引出圆的两条切线，它们的切线长相等)，∴∠EKH＝∠EHK＝(180°－∠E)＝(180°－120°)＝30°，又∵GK为直径，∴∠GKE＝90°，∴∠GKH＝∠GKE－∠EKH＝90°－30°＝60°.
(一题多解)
∵⊙O为正六边形ABCDEF的内切圆，点G，K分别为BC，EF与⊙O的切点，∴G，K分别是BC，EF的中点，易得GK是⊙O的直径，即G，O，K三点共线，∵正六边形的内角和为(6－2)×180°＝720°(n边形的内角和公式为(n－2)×180°)，∴∠C＝∠D＝720°÷6＝120°，如解图，连接OH，
第7题解图
∵点G，H分别为BC，DE与⊙O的切点，∴∠OGC＝∠OHD＝90°，∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，∴在五边形OGCDH中，∠GOH＝540°－∠OGC－∠OHD－∠C－∠D＝540°－90°－90°－120°－120°＝120°，∴∠GKH＝∠GOH＝×120°＝60°(同弧所对的圆周角等于圆心角的一半).
8. 【解析】构造S阴影＝S扇形BOC－S△OCD进行求解．如解图，连接OC，作DE⊥OC于点E，∵点C是的中点，∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠BOC＝ 30°，∵ CD∥OA，∴∠AOC＝∠DCO＝30°，∴∠DOC＝∠DCO＝ 30°，∴ OD＝ CD，∵DE⊥OC，OA＝，∴OE＝EC＝OC＝OA＝，∴DC＝DO＝＝1，∴DE＝(30°角所对的直角边等于斜边的一半)，S△OCD＝××＝.∴S阴影＝S扇形BOC－S△OCD＝－＝.
第8题解图
9. 600 【解析】如解图，过点D作DE⊥BC于点E，∵AD∥BC，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AD·DE＋BC·DE＝(AD＋BC)·DE＝(20＋40)·DE＝30DE，要求S四边形ABCD的最大值，即求DE的最大值，∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∴点D在以BC为直径的圆上，取BC的中点O，以OB为半径作⊙O，则点D在⊙O上，连接OD，则DE≤OD，当点E与点O重合时，DE＝DO，此时DE取得最大值，最大值为DO的长．∵BC＝40，∴BO＝CO＝OD＝BC＝20，∴DE的最大值为20，∴S四边形ABCD的最大值为30DE＝30×20＝600，即游乐场设计的休息区ABCD的最大面积是600平方米．
第9题解图
10. (1)解：如解图①，连接OA，
∵OF⊥AB，AB为⊙O的弦，
∴点F为AB的中点，
∵AB＝4，
∴AF＝AB＝2(垂径定理)，
∵在Rt△OFA中，OF＝1，
∴OA＝＝＝，
∴⊙O的半径为；(3分)
图① 图②
第10题解图
(2)证明：如解图②，过点O作OH⊥CD于点H，
∵OF⊥AB，AB⊥CD，OH⊥CD，
∴四边形OHEF是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)，∠OFG＝∠CEG＝90°，
∴OF＝ EH，
∵点G是OC的中点，
∴OG＝CG，(5分)
在△OFG和△CEG中，
，
∴△OFG≌△CEG(AAS)，
∴OF＝CE，∴EH＝CE，
即CH＝2CE＝2OF，
∵OH⊥CD，∴CD＝2CH＝4OF. (8分)
11. (1)证明：∵BC为⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°(圆的切线垂直于经过切点的半径)，
即∠ABD＋∠DBC＝90°，
∵BD⊥OC，∴∠BEC＝90°，
∴∠DBC＋∠ECB＝90°，
∴∠ABD＝∠ECB；(4分)
(2)解：如解图，连接BG，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∠AGB＝90°，
第11题解图
∴∠ADB＝∠CEB，
由(1)知，∠ABD＝∠BCE，
∵AB＝BC，
∴△ABD≌△BCE(AAS)，
∴AD＝BE. (6分)
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE(垂径定理)，
∵AO＝BO，∴OE为△ABD的中位线，
∴OE＝AD(三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半)，
∴BE＝DE＝AD＝BD＝2，∴OE＝1，
在Rt△ABD中，AB＝＝2，
∴AB＝BC＝2，OB＝AB＝，AC＝2，
在Rt△OBC中，OC＝＝5，
∴CE＝4，
∵∠ADF＝∠CEF＝90°，∠DFA＝∠EFC，
∴△ADF∽△CEF，
∴＝＝＝，∴AF＝AC＝.
∵AB＝BC，∠AGB＝∠CGB＝90°，
∴AG＝CG＝AC＝，
∴FG＝AG－AF＝. (10分)
