山东省新泰一中东校2023-2024学年高二上学期12第二次质量检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东省新泰一中东校2023-2024学年高二上学期12第二次质量检测数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 698.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-23 21:54:06 | ||
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文档简介
新泰一中东校2022级高二上学期第二次质量检测
数学试题
时间：120分钟；满分150分
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．4
2．若直线与直线平行，则的值是（ ）
A．1或 B． C．或 D．
空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则
( )
A． B．C． D．
4．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（ ）
A． B． C． D．
5．在数列中，，且，则数列的前15项和为（ ）
A．120 B．102 C．84 D．138
6．已知F是双曲线的下焦点，是双曲线外一点，P是双曲线上支上的动点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．已知等差数列的前项和有最小值，且，则使成立的正整数的最小值为（ ）
A．2022 B．4044 C．4043 D．2023
8．已知圆，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．已知圆和圆，下列说法正确的是（ ）
A．两圆的公共弦所在的直线方程为 B．圆上有2个点到直线的距离为
C．两圆有两条公切线 D．点在圆上，点在圆上，的最大值为
10.如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）
A． B． C． D．不存在正整数，使得为质数
11．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）
与所成角的大小为 B.，，，四点共面
C．在线段上存在点，使得平面
D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
12．法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）
椭圆的蒙日圆方程为
B．若为正方形，则的边长为
C．若是直线：上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于，两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或
D．若是椭圆蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，则面积的最大值为18
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，为坐标原点，若的面积为2，则 到直线的距离为 .
14．已知数列满足，则__________．
15．在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为 .
16．已知椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：①点变为；②直线斜率k变为，对应直线的斜率比不变；③图形面积S变为，对应图形面积比不变；④点、线、面位置不变（平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）．过椭圆内一点作一直线与椭圆相交于C两点，则的面积的最大值为 ．
四、解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分）
17．已知数列的前n项和公式为：
(1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；
(2)求的最小值，并求取得最小值时n的值.
18．已知的三个顶点是．
(1)求AB边的高所在直线的方程；
(2)若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程．
19．已知圆O：及点，动点P在圆O上运动，线段MP的中点为Q．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)过点作直线l与Q的轨迹交于A，B两点，满足，求直线l的方程．
20．已知平面内一动点到点的距离比到轴的距离大.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线与相交于，两点，在轴上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21．如图，已知四棱锥的底面是菱形，，为边的中点，，，.
(1)证明：；
(2)试判断线段上是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在，请说明理由.
22．如图，已知圆，动圆P过点且与圆内切于点N，记动圆圆心P的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)过点的直线l（不与x轴重合）与E交于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，直线AC与x轴交于点Q，已知点，试问是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
新泰一中东校2022级高二上学期第二次质量检测
参考答案
1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．D 7．B 8．C 9．BCD 10．ACD 11．BD 12．ABC
13． 14． 15． 16．1
17．【详解】（1）当时，有.
当时，有.
又因为，所以时也成立，
因此数列的通项公式为：.
因为，所以是等差数列.
（2）（方法一）因为，
又因为n是正整数，所以当或8时，最小，最小值是.
（方法二）由可知数列是递增的等差数列，
而且首项.令，可得，
解得，而且0.
由此可知，或8时，最小，最小值是.
18．【详解】（1）直线的斜率为，所以边的高所在直线的斜率为，
所以边的高所在直线的方程为.
（2）直线的斜率为，若直线与直线平行，则直线的方程为.线段的中点坐标为，
若直线过，则直线的方程为.
19．【详解】（1）解法1：设，，由中点坐标公式可得：
解得：由于点P在圆O：上，所以：，
代入可得：
化简可得点Q的轨迹方程为：．
解法2：设线段OM的中点为N，连接NQ，∵Q为的中点，∴，
∴点Q的轨迹为以N为圆心，1为半径的圆，则点Q的轨迹方程为：．
（2）当k不存在时，直线l的方程为．此时圆心Q到直线l的距离为
所以：满足条件．
当k存在时，直线l的方程为，设圆心Q到直线l的距离为d，
则，所以：
而Q到直线l的距离为，解得：
此时直线l方程为：．
综上：满足条件的直线l的方程为：或，
20．【详解】（1）动点到定点的距离比到轴的距离大，
又，到的距离等于到直线的距离，动点的轨迹为以为焦点的抛物线，轨迹的方程；
（2）设，，，直线过点，
设直线方程：，代入， 可得，显然，
则，，
得
又，
得，即
故在轴上存在点使得
21．【详解】（1）连接，因为，所以，
因为底面是菱形，，所以，因为为边的中点，
所以，∴，
因为，
所以，
因此，即，
又因为，所以，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，所以，即.
（2）由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，
，，为，，轴建立如图示空间直角坐标系，
则，，，，，
于是，，，令，
则，
取平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，
因为，所以，
又二面角为锐二面角且设为，所以，即，（负值舍去），
故存在点使得二面角的余弦值为，此时点满足.
22．【详解】（1）设动圆圆心的坐标为，动圆P的半径为，
则由已知，，
消去得，
故动圆圆心P的轨迹是以为焦点的椭圆，设为，
则，，
则E的方程为；
（2）设直线l的方程为，，，
联立，消去得，
，
又直线AC的方程为
令，
得
，
即，
是定值，且为.
数学试题
时间：120分钟；满分150分
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．4
2．若直线与直线平行，则的值是（ ）
A．1或 B． C．或 D．
空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则
( )
A． B．C． D．
4．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（ ）
A． B． C． D．
5．在数列中，，且，则数列的前15项和为（ ）
A．120 B．102 C．84 D．138
6．已知F是双曲线的下焦点，是双曲线外一点，P是双曲线上支上的动点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．已知等差数列的前项和有最小值，且，则使成立的正整数的最小值为（ ）
A．2022 B．4044 C．4043 D．2023
8．已知圆，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．已知圆和圆，下列说法正确的是（ ）
A．两圆的公共弦所在的直线方程为 B．圆上有2个点到直线的距离为
C．两圆有两条公切线 D．点在圆上，点在圆上，的最大值为
10.如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）
A． B． C． D．不存在正整数，使得为质数
11．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）
与所成角的大小为 B.，，，四点共面
C．在线段上存在点，使得平面
D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
12．法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）
椭圆的蒙日圆方程为
B．若为正方形，则的边长为
C．若是直线：上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于，两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或
D．若是椭圆蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，则面积的最大值为18
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，为坐标原点，若的面积为2，则 到直线的距离为 .
14．已知数列满足，则__________．
15．在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为 .
16．已知椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：①点变为；②直线斜率k变为，对应直线的斜率比不变；③图形面积S变为，对应图形面积比不变；④点、线、面位置不变（平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）．过椭圆内一点作一直线与椭圆相交于C两点，则的面积的最大值为 ．
四、解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分）
17．已知数列的前n项和公式为：
(1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；
(2)求的最小值，并求取得最小值时n的值.
18．已知的三个顶点是．
(1)求AB边的高所在直线的方程；
(2)若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程．
19．已知圆O：及点，动点P在圆O上运动，线段MP的中点为Q．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)过点作直线l与Q的轨迹交于A，B两点，满足，求直线l的方程．
20．已知平面内一动点到点的距离比到轴的距离大.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线与相交于，两点，在轴上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21．如图，已知四棱锥的底面是菱形，，为边的中点，，，.
(1)证明：；
(2)试判断线段上是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在，请说明理由.
22．如图，已知圆，动圆P过点且与圆内切于点N，记动圆圆心P的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)过点的直线l（不与x轴重合）与E交于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，直线AC与x轴交于点Q，已知点，试问是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
新泰一中东校2022级高二上学期第二次质量检测
参考答案
1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．D 7．B 8．C 9．BCD 10．ACD 11．BD 12．ABC
13． 14． 15． 16．1
17．【详解】（1）当时，有.
当时，有.
又因为，所以时也成立，
因此数列的通项公式为：.
因为，所以是等差数列.
（2）（方法一）因为，
又因为n是正整数，所以当或8时，最小，最小值是.
（方法二）由可知数列是递增的等差数列，
而且首项.令，可得，
解得，而且0.
由此可知，或8时，最小，最小值是.
18．【详解】（1）直线的斜率为，所以边的高所在直线的斜率为，
所以边的高所在直线的方程为.
（2）直线的斜率为，若直线与直线平行，则直线的方程为.线段的中点坐标为，
若直线过，则直线的方程为.
19．【详解】（1）解法1：设，，由中点坐标公式可得：
解得：由于点P在圆O：上，所以：，
代入可得：
化简可得点Q的轨迹方程为：．
解法2：设线段OM的中点为N，连接NQ，∵Q为的中点，∴，
∴点Q的轨迹为以N为圆心，1为半径的圆，则点Q的轨迹方程为：．
（2）当k不存在时，直线l的方程为．此时圆心Q到直线l的距离为
所以：满足条件．
当k存在时，直线l的方程为，设圆心Q到直线l的距离为d，
则，所以：
而Q到直线l的距离为，解得：
此时直线l方程为：．
综上：满足条件的直线l的方程为：或，
20．【详解】（1）动点到定点的距离比到轴的距离大，
又，到的距离等于到直线的距离，动点的轨迹为以为焦点的抛物线，轨迹的方程；
（2）设，，，直线过点，
设直线方程：，代入， 可得，显然，
则，，
得
又，
得，即
故在轴上存在点使得
21．【详解】（1）连接，因为，所以，
因为底面是菱形，，所以，因为为边的中点，
所以，∴，
因为，
所以，
因此，即，
又因为，所以，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，所以，即.
（2）由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，
，，为，，轴建立如图示空间直角坐标系，
则，，，，，
于是，，，令，
则，
取平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，
因为，所以，
又二面角为锐二面角且设为，所以，即，（负值舍去），
故存在点使得二面角的余弦值为，此时点满足.
22．【详解】（1）设动圆圆心的坐标为，动圆P的半径为，
则由已知，，
消去得，
故动圆圆心P的轨迹是以为焦点的椭圆，设为，
则，，
则E的方程为；
（2）设直线l的方程为，，，
联立，消去得，
，
又直线AC的方程为
令，
得
，
即，
是定值，且为.
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