福建省厦门市两校2023-2024学年高一上学期第二次月考（12月）数学试题（含解析）

“泉港区第一中学 厦门外国语学校石狮分校”两校联考
2023-2024学年上学期第二次月考试卷
高一数学
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知点在第三象限，则角的终边位置在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知且且，则函数与的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知，则等于（ ）
A.-2 B.2 C.0 D.
6.某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中的杂质，要使水中的杂质不超过原来的，则至少需要提炼的次数为（ ）（参考数据：取）
A.5 B.6 C.7 D.8
7.若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.下列大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.下列说法中正确的有（ ）
A.函数的图象过定点
B.函数与函数表示同一个函数
C.若，则
D.“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
11.给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A.如果是第一象限的角，且，则
B.若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形弧长为
C.若，则
D.若，则
12.已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A.函数的值域为
B.方程有两个不等的实数解
C.不等式的解集为
D.关于的方程的解的个数可能为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数是定义在上的奇函数，并且当时，，那么__________.
14.表示不超过的最大整数，例如.已知是方程的根，则__________.
15.已知角的终边上有一点，且，求的值为__________.
16.已知函数，则不等式的解集是为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.已知函数的定义域为.
（1）求实数的取值集合；
（2）设为非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18.已知
（1）化简并求的值；
（2）若且，求的值.
19.已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）若正实数满足，求的最小值.
20.学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①
，②，③供选择.
（1）请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；
（2）求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）
21.已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围
22.如果函数存在零点，函数存在零点，且，则称与互为“度零点函数”.
（1）证明：函数与互为“1度零点函数”.
（2）若函数，且与函数互为“2度零点函数”，且函数有三个零点，求的取值范围.
“泉港区第一中学 厦门外国语学校石狮分校”两校联考2023-2024学年上学期第二次月考试卷解析
高一数学
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】C
【解析】由题得，所以.
故选：C
2.【答案】B
【详解】因为点在第三象限，
所以，
由，可得角的终边在第二 四象限，
由，可得角的终边在第二 三象限或轴非正半轴上，
所以角终边位置在第二象限，故选：B.
3.【答案】D
【详解】对于的定义域为，且，
所以为偶函数，当时，由一次函数的性质可知，
在上单调递减，
即在上单调递减，故错误；
对于的定义域为，且，所以为奇函数，故B错误；
对于C：的定义域为，且，
所以为偶函数，由幂函数的性质可知，在上单调递减，故C错误；
对于D：的定义域为，且，
所以为偶函数，当时，，
由指数函数的性质可知，在上单调递增，故正确；
4.【答案】B
【解析】，即为，即有；
当时，，
函数与均为减函数，四个图像均不满足，
当时，，
函数数与均为增函数，排除，
在同一坐标系中的图像只能是B，故选：B.
5.【答案】D
【详解】，
所以
6.【答案】A
【详解】设经过次提炼后，水中的杂质不超过原来的，
由题意得，
得，
所以至少需要5次提炼，故选：A.
7.【答案】C
【详解】若“，使成立”是假命题，则“，
使成立”是真命题，即；
令，则在上单增，，则.
故选：C.
8.【答案】C
【详解】函数，
因为在上递增，则在上递减，
所以得，解得，
由有意义得：，解得，
因此，，所以实数的取值范围是.故选：C.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】ABD
【详解】A选项：由指数函数为单调递增函数，可得成立，所以选项正确；
选项：由幂函数为单调递增函数，可得成立，所以选项正确；
选项：由对数函数为单调递增函数，则，所以选项不正确；
D选项：由函数与均为单调递增函数，则，而，所以选项正确.故选：ABD.
10.【答案】ACD
【详解】对A令，即时，，故图象过定点故A正确；
对于的定义域为的定义域为，
两函数定义域不同，故不是同一函数
对C，因为，所以，
由，
所以故C正确；
对于，关于的方程有一正一负根，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确.
故选：ACD.
11.【解答】解：令是第一象限的角，且，而错误；
对于，设圆心角为的扇形所在圆半径为，依题意，，扇形弧长.故错误；
若，则，故正确；
将，两边平方，可得，所以，或，
若，则，此时；
若，则，此时，故，故正确.
故选：.
12.【答案】ACD
【详解】画出的图象，如下图所示：
令，解得或，
所以的图象与轴交于，
对于，由图象可知，函数的值域为对；
对于，由图象可知，直线与函数图象有三个不同的交点，故方程有
三个不等的实数解，B错；
对于，由图象可知，当或时，，所以，由，可得或.
令，解得或；令，解得或，
由图象可知，不等式解集为对；
对于，令，则，则，
当时，，由图可知与的图象有两个交点，即方程解的个数为2个，
当时，即时，，则，
故，
当时，则有两解，
当时，若，则有三解，若，则有两解，
故方程解的个数为4或5个，综上方程解
的个数可能为个.故选：ACD.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】-5
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以.
故答案为：-5
14.【答案】4
15.【解析】因为，所以.
又，所以，所以.
所以点坐标为或，即是第一或第二象限角.
当为第一象限角即点时，，则.
当为第二象限角即点时，，则.
综述：当点坐标为时，；
当点坐标为时，.
16.【详解】，
由于，所以的定义域为，
，
所以是奇函数，
当时，为增函数，为增函数，
所以是增函数，由是奇函数可知，在上单调递增，
由得，
即，则，解得，
所以不等式的解集是.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）可知，在上恒成立，
当时，，成立；
当时，，解得；
综上所述，.所以集合..
（2）因为，是的必要不充分条件.所以，
故，解得
所以，实数的取值范围是
18.[解析]（1）因为
所以.
（2）因为，
所以，
所以，
两边平方，得，
所以，
，即，
因为
，所以，所以，所以，
结合
19.【解析】（1）由为幂函数得：，
且在上单调递增，
所以，
又，所以或，
当时，为奇函数，不满足题意，当时，为偶函数，满足题意，所以
（2）因为且，
所以，
所以
当且仅当
且，即时取等号，
所以的最小值为
20.【解析】（1）对于模型一，当时，匀速增长；
对于模型二，当时，先慢后快增长；
对于模型三，当时，先快后慢增长.
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选
将代入解析式得到，
即，
解得，即
当时，，
满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为
（2）由，
得
得，得，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.
21.【详解】
（1）不等式的解集为，
则方程的根为，且，
解得，故.
（2）令，
若，即，
则，
的开口向上，对称轴为，则在单调递减，在单调递增，且，
，即，故实数的取值范围为
22.【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】证明：令，得.
令，得.
因为，所以，所以函数与互为“1
度零点函数”.
【小问2详解】
令，得.
设存在零点，则，即.
当时，，当时，
令，得
，所以，得.
有三个零点等价于函数与的图象有三个交点，
因为，
所以在上单调递减.易知的零点为.
画出与在上的大致图象，如图所示，
易得与的图象在上有两个交点，所以与的图象在上必须有一个交点，
得，化简得.
令函数，即的图象与直线在上有一个交点.
因为，由的图象（图略）可得，或，
即或.
综上，的取值范围为.