怀远禹泽、固镇汉兴学校2023-2024学年度高一第三次月考
数学试题
考试时间：120分钟；分值：150分.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．下列各式中正确的一项是（ ）
A． B．
C． D．
3．某校高中生共有人，其中高一年级人，高二年级人，高三年级人，现采取分层抽样法抽取容量为的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（ ）
A．6，12，9 B．9，9，9
C．3，9，15 D．9，12，6
4．已知函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
6．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．从某校抽取100名学生进行一周课外阅读时间调查，发现他们的一周课外阅读时间都在0~18小时之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.则在被调查的学生中，课外阅读时间落在区间内的人数为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．25
8．当强度为的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数），某挖掘机的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下面的抽样方法不是分层随机抽样的是（ ）
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验
10．已知，且，下列函数中一定经过点的是（ ）
A． B．
C． D．
11．对于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．函数一定有两个零点
B．时，函数一定有两个零点
C．时，函数一定有两个零点
D．函数的零点个数是1或2
12．几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关．当每月投入的研发经费不高于万元时，，研发利润率．他们现在已投入研发经费万元，则下列判断正确的是（ ）
A．投入万元研发经费可以获得最大利润率
B．要再投入万元研发经费才能获得最大月利润
C．要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费万元
D．要想获得最大月利润，还需要再投入研发经费万元
填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．
13．若，则x的值为 ．
14．一个容量为的样本，已知某组的频率为，频数为10，则 ．
15．函数的定义域为 ．
16．已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则图中a所代表的数值是 .
解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
18．(本小题满分12分)解不等式：
(1)；
(2)若，解关于x的不等式.
19．(本小题满分12分)（1）若，求的值；
（2）求.
20．(本小题满分12分)已知对数函数过点.
（1）求函数的解析式，并写出函数的定义域；
（2）若，求的取值范围.
21．(本小题满分12分)某校为了解学生每日行走的步数，在全校3000名学生中随机抽取200名，给他们配发了计步手环，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示，
(1)求的值，并求出这200名学生日行步数的样本众数、中位数、平均数；
(2)学校为了鼓励学生加强运动，决定对步数大于或等于13000步的学生加1分，计入期末三好学生评选的体育考核分，估计全校每天获得加分的人数.
22．(本小题满分12分)已知函数.
(1)判断的奇偶性并求的单调区间；
(2)设函数（），若有唯一零点，求a的取值集合；
(3)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.怀远禹泽、固镇汉兴学校2023-2024学年度高一第三次月考
参考答案：
1．C
【分析】结合特称命题的否定的方法即可.
【详解】命题“，”的否定是，.
故选：C
2．C
【分析】根据幂的运算性质，逐项判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
3．D
【分析】按照分层抽样计算规则计算可得.
【详解】依题意高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.
故选：D
4．C
【分析】根据分段函数的定义区间，结合函数解析式，求函数值.
【详解】函数，则.
故选：C
5．C
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.
【详解】因为函数在上都是增函数，
所以在上单调递增，
因为，所以的零点所在的区间为.
故选：C.
6．A
【分析】利用指数函数、幂函数的性质，即可判断的大小.
【详解】∵，
∴.
故选：A
7．C
【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系进行解答即可.
【详解】由题知 ,课外阅读时间落在区间内的频率为，
则课外阅读时间落在区间内的人数为.
故选：C
8．B
【分析】设该挖掘机的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，则，根据对数运算可得.
【详解】设该挖掘机的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，
由题意知，
所以，
即，
所以，
故选：B.
9．ABD
【分析】根据分层抽样的定义逐个分析判断
【详解】对AB，不是分层随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；
对于C，是分层随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；
对于D，是简单随机抽样．
故选：ABD
10．ACD
【分析】判断函数经过某点，只需要点代入函数成立即可.
【详解】对于A：，代入，则，A对；
对于B：，代入，则，B错；
对于C：，代入，则，C对；
对于D：，代入，则，D对.
故选：ACD.
11．BCD
【分析】根据函数零点的定义求解可得答案.
【详解】当时，函数有唯一零点，故A不正确；
当时，由，，所以函数一定有两个零点，故B、C正确；
所以函数的零点个数是1或2，故D正确.
故选：BCD
12．BC
【分析】根据二次函数性质可判断最大月利润，再根据基本不等式可判断最大利润率.
【详解】由，所以当投入万元时，月利润最大，所以需再投入万元研发经费，B选项正确，D选项错误；
研发利润率，
又，当且仅当，即时，利润率最大，所以需再投入研发经费万元，可获得最大利润率，A选项错误，C选项正确；
故选：BC.
13．2
【分析】利用对数运算法则解对数方程即可得解.
【详解】方法一：由，可知，
故，解得．
方法二：由得，解得或．
经检验，当时，对数无意义，舍去，因而x的值为2．
故答案为：.
14．40
【分析】解方程即得解.
【详解】由题得.
故答案为：40
15．
【分析】根据对数的真数大于0和根号下大于等于0以及分母不等于0得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意得，解得，所以定义域为，
故答案为：.
16．0.015
【分析】根据频率分布直方图结合频率和为1运算求解.
【详解】由频率分布直方图可知每组频率依次为：，
则，解得.
故答案为：0.015.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）由交集的定义求解即可；
（2）因为，所以B是A的子集．讨论和，解出实数m的取值范围，即可得出答案.
【详解】（1）当时，，
所以；
（2）因为，所以B是A的子集．
①，即，解得；
②，则，所以，
综上所述，实数m的取值范围为或
18．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）移项后把分式不等式变为一元二次不等即可，注意分母不为0；
（2）先因式分解，再对参数分类讨论，分别求出不同情况下的不等式的解集即可.
【详解】（1），
所以，解得或，
故不等式的解集为；
（2），
①当时，此时，不等式解集为；
②当时，此时，不等式解集为；
③当时，有，不等式解集为，
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19．（1）2；（2）
【分析】（1）利用指数幂的运算法则计算即可；
（2）利用对数的运算法则计算即可.
【详解】（1）.
（2）
.
20．（1），定义域为；（2）
【分析】（1）设，代入点计算即可；
（2）利用对数函数的单调性及定义域列不等式组求解即可.
【详解】解：（1）设，
，
所以，定义域为；
（2）由已知得，
所以的取值范围是.
【点睛】本题考查待定系数法求对数函数的解析式，考查对数函数单调性的应用，是基础题.
21．(1)的值为0.1，众数为千步，中位数为千步，平均数为9.44千步
(2)360
【分析】（1）结合频率分布直方图，根据概率之和为1求出的值，进而结合图求解样本众数、中位数、平均数；
（2）根据已知条件求出步数大于或等于13000步的学生的频率，从而估计全校每天获得加分的人数即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图可知，各组频率依次为，，，，，，，，
所以，
解得；
因为组频率最高，所以样本众数为千步；
步数小于8的频率为，步数小于10的频率为，所以中位数在之间，记为x，
则，解得，
所以中位数为千步；
平均数为，
所以平均数为9.44千步.
（2）由表可知，大于或等于13000步的学生频率为，
将频率看作概率，
则全校每天获得加分的人数约为（人），
所以估计全校每天获得加分的人数为360.
22．(1)为偶函数，增区间为，减区间为
(2)
(3)
【分析】（1）利用奇偶性定义判断奇偶性，利用单调性定义结合偶函数性质求解单调区间；
（2）有唯一零点，即有唯一的解，可化为，由偶函数可知，化简计算可得结果；
（3）设，不等式等价为恒成立，构造函数，只需，求解即可得出结果.
【详解】（1）由题意可知的定义域为，，则，
，所以，所以为偶函数；
任取，则，
因为
，
当时，，，，
所以，所以，
所以在上单调递增，
根据偶函数的性质知，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（2）函数的零点就是方程的解，
因为有唯一零点，所以方程有唯一的解，
因为函数为偶函数，所以方程变形为，
因为函数在上的单调递增，所以，
平方化简得，
当时，，经检验方程有唯一解，
当时，，解得，
综上可知，a的取值集合为.
（3）设，则，
所以原命题等价于时，不等式恒成立，
令，
函数有两个零点和，且开口向上，
要使时，不等式恒成立，
则，所以，即.
