淮北一中 2023-2024 学年（上）高二第三次月考
数学试题
一、单选题
1.已知 ， ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1内，则直线 ax＋by＝1与圆 O的位置关系是( )
A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定
3.已知数列 an 满足2an 1 2 an a ，n 1 且 a1 3，则 a2023 ( )
A. 4
1
3 B. -23 C. D. 2
4.已知 (2,0)， ( 2,0)， ( , )，下列命题正确的是( )
A. 若 到 ， 距离之和为 4，则点 的轨迹为椭圆
B.若 到 ， 距离之差为 3，则点 的轨迹为双曲线
C.
2
+
2 3
椭圆 = 1上任意一点 (长轴端点除外)与 ， 连线斜率之积是
4 3 4
D. 渐近线为 =± 3 且过点( 2, 3)的双曲线的焦点是 ，
x2
5.已知 是椭圆 + y2 = 1上的动点，则 点到直线 ： + 2 5 = 0 的距离的最大值为( )
4
A.3 10 B. 3 5 C. 3 10 D. 3 2
2 2 5 5
2 2
6.若双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线被圆 2 2 + 2 = 4所截得的弦长为
2，则 的离心率为 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 2 3
3
7.圆 x2+y2+2x＝0和 x2+y2﹣4y＝0的公共弦的长度为( )
A. 5 B. 4 5 C. 2 5 D. 5
5 5 5
8.教材 44页第 17 题：在空间直角坐标系中，已知向量u a,b, c abc 0 ，点 P0 x0 , y0 , z0 ，
点P x, y, z ．（1）若直线 l经过点P0，且以u为方向向量，P是直线 l上的任意一点，求证：
x x0 y y0 z z 0 ；（2）若平面 经过点 P0，且以u为法向量，P是平面 内的任意一点，a b c
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求证： a x x0 b y y0 c z z0 0．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平
面 的方程为 x y z 7 0，直线 l是平面 x 2y 3 0与 x z 1 0的交线，则直线 l与平
面 所成角的正弦值为( )
A. 14 B. 7 C. 7 D. 3
55 5 15 9
二、多选题
9.若直线 2x y 3 0与4x 2y a 0之间的距离为 5，则 a的值为( )
A. 4 B. 5 6 C. 16 D.8
10.给出下列命题，其中是假命题的是( )
A.若直线 的方向向量 = 1, 1,2 ，直线 的方向向量 = 2,1, 1 ，则 与 平行
2
B. 若直线 的方向向量 = 0,1, 1 ，平面 的法向量 = 1, 1, 1 ，则 ⊥
C. 若平面 ， 的法向量分别为 1 = 0,1,3 ， 2 = 1,0,2 ，则 ⊥
D.若平面 经过三点 1,0, 1 ， 0,1,0 ， 1,2,0 ，向量 = 1, , 是平面 的法向量，
则 + = 1
11.已知曲线 C：mx2 ny2 1，则下列命题正确的是( )
A.若n m 0，则 C是椭圆，其焦点在 y轴上
B.若m n 0，则 C 1是圆，其半径为 n
C. m若mn 0，则 C是双曲线，其渐近线方程为 y x
n
D.若 n 0，m 0，则 C是两条直线
12.如图，棱长为 1的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为 1， 1的中点，则( )
A.直线 1与底面 所成的角为 30°
B. 平面 21 与底面 夹角的余弦值为3
C. 30直线 1与直线 的距离为 5
D. 1直线 1与平面 1 的距离为3
三、填空题
1 1
13.已知数列 an 满足 a1 1， （1 n 2,n N ）a a ，则数列 an 的通项公式为 .n n 1
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14.经过直线 3x＋2y＋6＝0和 2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程
为______________________．
15.已知椭圆E的左焦点为F，E上关于原点对称的两点A、B满足 AF BF，若 tan FAB
1
的值为 ，则 E的离心率为 .
2
16.已知抛物线 : 2 = 8 ，直线 : = + 2与抛物线交于 A，D两点，与圆： : 2 + 2
4 + 3 = 0交于 B，C两点(A, B在第一象限)，则|AC| + 4|BD|的最小值为 .
四、解答题（17 题 10 分，18-22 题每题 12 分.）
n
17.已知数列 an 的前 n项和为 Sn， Sn 2 3．
(1)求数列 an 的通项公式 an ；
2
(2)若数列 b nn 满足：bn ，求数列 ba n 的最大项．n
2
18.在直角坐标系 xOy中，抛物线C : y 2px p 0 的焦点为 F ，直线 l : y x 1与C交于
A,B两点，且 AF BF 5 OF ．
(1)求C的方程；
(2)求以线段 AB为直径的圆M 的方程，并判断其与 x轴的位置关系．
1
19.在四棱锥P ABCD中， PA 平面 ABCD，四边形 ABCD是矩形， AB AP AD,E,F分
2
别是 AP，BC的中点．
(1)求证： EF / /平面PCD；
(2)求二面角C EF D的余弦值．
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20.如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1 平面 ABC， AB AC， AB AC AA1 1，M 为线段
A1C1上一点.
(1)求证： BM AB1；
(2)若直线 AB1与平面BCM所成角为 ，求点 A1到平面BCM的距离.4
x2 y2
21.椭圆C : 2 2 1(a b 0)
3
的两个焦点分别为F1， F2，离心率为 ， R为椭圆C上a b 2
任意一点， R不在 x轴上，△RF1F2的面积的最大值为 3 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 P(1, 1)的直线 l与椭圆C相交于 M，N两点，设点 B(0,1)，求证：直线 BM ，BN 的
斜率之和 kBM kBN 为定值，并求出定值.
22.已知双曲线 C的中心为坐标原点，左焦点为 2 5,0 ，离心率为 5．
(1)求 C的方程；
(2)记 C的左、右顶点分别为 A1， A2，过点 4,0 的直线与 C的左支交于 M，N两点，M
在第二象限，直线MA1与NA2交于点 P ．证明:点 P 在定直线上.
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数学试题
一、单选题
C B D C A A B D
二、多选题
AC ABC CD BCD
三、填空题
13. 14.a 1n
3 x 4 y 0 或 x y 1 0
n
15. 5 16. 23
3
四、解答题（17 题 10 分，18-22 题每题 12 分.）
17.已知数列 an n的前 n项和为 Sn， Sn 2 3．
(1)求数列 an 的通项公式 an ；
n2
(2)若数列 bn 满足：bn ，求数列 bn 的最大项．an
答案：（1） S nn 2 3中，令 n 1得 a1 2 3 5，
5,n 1
当n 2时， an Sn Sn 1 2n 3 2n 1 3 2n 1，其中 21 1 0 5，故 an 2n 1 , n 2
12 1
（2）当 n 1时，b1 a 5，1
2 2
n 2 n bn 1 n 1 b 0 2
n 1 n2 2n 1 1 2
1
当 时， n 2n 1
，则
b 2n n2 2n2 2
1 ，
n n
b 9
当n 2 3时， 1b2 8
，
2 b
当n 3
1 1 4 1 1 1 16 n 1时， ， 1 1，故 1，n 3 2 n 2 9 bn
故n 2
9
时， bn 的最大项为b3 ，4
又b
9
3 b1，故数列 bn 的最大项为b3 .4
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18.在直角坐标系 xOy 2中，抛物线C : y 2px p 0 的焦点为 F ，直线 l : y x 1与C交于
A,B两点，且 AF BF 5 OF ．
(1)求C的方程；
(2)求以线段 AB为直径的圆M 的方程，并判断其与 x轴的位置关系．
答案：（1）设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，
y x 1 2
由 y2 2px得：
x 2 2 p x 1 0，
x1 x2 2p 2， x1x2 1， 2 2 p 2 4 0
F p由抛物线方程知： ,0
，则 OF
p
2
，
2
根据抛物线定义知： AF BF x1 x 2 p 3p 2，
3p 2 5p ，解得： p 4，满足 0， 抛物线C的方程为： y2 8x .
2
（2）由（1）知： x1 x2 6， x1x2 1，
x x
AB中点M 的横坐标 x 1 2M 3， M 点纵坐标 yM xM 1 42 ，
∴M 3,4 2 1， AB 1 1 x1 x2
2 4x1x2 8， 圆M 的半径 r AB 4，2
圆M 的方程为： x 3 2 y 4 2 16，
yM r 4， 圆M 与 x轴相切.
1
19.在四棱锥P ABCD中， PA 平面 ABCD，四边形 ABCD是矩形， AB AP AD,E,F分
2
别是 AP，BC的中点．
(1)求证： EF / /平面PCD；
(2)求二面角C EF D的余弦值．
答案：（1）证明：取DP的中点G，连接EG，CG，
又 E是 AP的中点，所以EG
1
∥AD，且EG = AD ．
2
1
因为四边形 ABCD是矩形，所以 BC AD且 BC / /AD，所以 EG BC，且 EG / /BC．
2
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1
因为 F是BC的中点，所以CF BC，所以 EG CF且 EG / /CF ，
2
所以四边形EFCG是平行四边形，故 EF / /CG．
因为EF 平面PCD，CG 平面PCD，所以EF / /平面PCD．
(2)因为 PA 平面 ABCD，四边形 ABCD是矩形，
所以 AB， AD， AP两两垂直，
以点A为坐标原点，直线 AB， AD， AP分别为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系（如图
所示）．
AB AP 1设 AD 22 ，所以
AB AP 2， AD BC 4．
因为 E， F分别为 AP，BC的中点，
所以C 2,4,0 ，D 0, 4, 0 ，E 0,0,1 ， F 2, 2, 0
所以 EF 2, 2, 1 ，DF 2, 2,0 ，CF 0, 2,0 ．
r
设平面CEF的一个法向量为m x1, y1,z1 ，
m E F 0,
2x1 2y1 z1 0,
由 即 令 x 1，则 z
m CF 0, 2y 0. 1 1
2， y1 0，所以m 1,0,2 ．
1
r 2x 2y z 0,
设平面DEF 的一个法向量为 n x2 , y2 ,z
n
2 ，由
E F 0, 2 2 2即
n DF 0, 2x2 2y2 0.
令 x2 1，则 y2 1， z2 4，所以 n 1,1, 4 ．
所以cos m,n
m n 9 3 10
m n 10 ．由图知二面角
C EF D为锐角，
5 18
3 10
所以二面角C EF D的余弦值为 ．
10
20.如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1 平面 ABC， AB AC， AB AC AA1 1，M 为线段
A1C1上一点.
(1)求证： BM AB1；
AB (2)若直线 1与平面BCM所成角为 ，求点 A4 1到平面
BCM的距离.
答案：（1）因为 AA1 平面 ABC， AB, AC 平面 ABC，
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所以 AA1 AB, AA1 AC，而 AB AC，因此建立如图所示的空间直角坐标系：
A(0,0,0), A1(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),B1(1,0,1),M (0,a ,1)a( [0,1]) ，
BM ( 1,a,1), AB1 (1,0,1)，因为BM AB1 1 1 a 0 1 1 0，所以BM AB1，即BM AB1，
（2）设平面BCM的法向量为 n (x, y, z)， BM ( 1,a,1),BC ( 1,1,0)，
n BM 0 x ay z 0
所以有 n
(1,1,1 a)，
n BC 0 x y 0
AB 因为直线 1与平面BCM所成角为 ，4
cos AB , n sin A B 1 n 2
1 1 a 2
所以 1 4 ，AB1 n 2 12 12 (1 a)2 2 2
1 1
解得 a ，即 n (1,1, )，因为 A1B (1,0, 1)，2 2
所以点 A1到平面BCM的距离为：
1
A1B n
1
cos A B,n A B A B 2 11 1 A B n 1 2 3 .1 12 12 1
2
2
C : x y
2
F F 321.椭圆 2 2 1(a b 0)的两个焦点分别为 1， 2，离心率为 ， R为椭圆C上a b 2
任意一点， R不在 x轴上，△RF1F2的面积的最大值为 3 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 P(1, 1)的直线 l与椭圆C相交于 M，N两点，设点 B(0,1)，求证：直线 BM，BN 的
斜率之和 kBM kBN 为定值，并求出定值.
3 c 3
答案：（1）因为椭圆的离心率为 ，所以 ，
2 a 2
设 R到 F1F2的距离为d ，因为 | F1F2 | 2c，
所以 S
1
RF F | F1F2 | d cd，易得当 d b时△RF1F2面积取得最大值，1 2 2
所以bc 3，因为b2 a2 c2，
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2
所以a2 4，b2
x
1，所以椭圆C的方程为 y2 1；
4
（2）证明：如图，易知点 P在椭圆外，
设直线 l的方程为 x my m 1，M (x1, y1)， N (x2 , y2 )，
x2
y2 1
由 4 得 (m2 4)y2 (2m2 2m)y m2 2m 3 0，
x my m 1
2 2
所以 0 y y 2m 2m m 2m 3， 1 2 2 ， y y ，m 4 1 2 m2 4
y1 1 y2 1
因为 B(0,1)，所以 kBM x ，
kBN
1 x2
k k y1 1 y2 1 x2 (y1 1) x1(y2 1)所以 BM BN x1 x x
，所以
2 1x2
my2 m 1 y1 1 my1 m 1 y 1k k 2 2my1y2 y1 y2 2m 2BM BN my1 m 1 my2 m 1 m2 y1y2 m2 m y1 y2 m2 2m 1，
2m(m 3)(m 1) 2m 2 2m
m2
4 m2
2m 2
k k 4
2 8m 4
所以 BM BN 2
m2 (m 3)(m 1) 2m(m 1) m 2 m 8m 4 .
2 2 m
2 2m 1
m 4 m 4
22.已知双曲线 C的中心为坐标原点，左焦点为 2 5,0 ，离心率为 5．
(1)求 C的方程；
(2)记 C的左、右顶点分别为 A1， A2，过点 4,0 的直线与 C的左支交于 M，N两点，M
在第二象限，直线MA1与NA2交于点 P ．证明:点 P 在定直线上.
x2 y2
答案：（1）设双曲线方程为
a2
2 1 a 0,b 0 ，由焦点坐标可知 c 2 5，b
c 2 2
则由 e 5可得a 2，b c2 a2
x y
4，所以双曲线方程为 1 .a 4 16
（2）由(1)可得 A1 2,0 , A2 2,0 ，设M x1, y1 ,N x2 , y2 ，
1 1
显然直线的斜率不为 0，所以设直线MN的方程为 x my 4，且 m ，
2 2
x2 y2
1 4m2 1 y2与 联立可得 32my 48 0 ，且 64(4m2 3) 0 ，
4 16
则 y1 y
32m
2 2 , y1y
48
2 ，4m 1 4m2 1
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y1 y2
直线MA1的方程为 y x 2 NA y x 2 x ，直线 2的方程为 ，1 2 x2 2
联立直线MA1与直线NA2的方程可得：
x 2 y2 x1 2 y2 my1 2 my1y2 2 y1 y2 2y 1
x 2 y1 x2 2 y1 my2 6 my1y2 6y1
m 48 2 32m 2y 16m 2 2 1 2y
4m 1 4m 1 4m
2 1 1 1
m 48 6y 48m
，
2 1 2 6y
3
4m 1 4m 1 1
x 2 1
由 可得 x= 1，即 xP 1，x 2 3
据此可得点 P在定直线 x= 1上运动.
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