2024河南中考数学备考重难专题：综合与实践 旋转问题 导学案（含答案）

2024河南中考数学备考重难专题：综合与实践 旋转问题 导学案
考情分析
年份 题号 题型 分值 设问 解题关键点
2023 23 解 答 题 11 (1)三角形的形状为____，线段的比值 (2)①(1)中的两个结论是否成立？成立请证明，不成立请说明理由 ②当四边形为平行四边形时，请直接写出线段比 (1)证明三角形两个内角为45°；连接正方形对角线BD，构造△B'DB∽△EDC(手拉手相似) (2)①证明三角形两个内角为45°;连接正方形对角线BD，构造△B'DB∽△EDC(手拉手相似) ②分类讨论：当点B'在BE上，当点B'在BE的延长线上(类比(1)(2)问B'分别在BE及BE延长线上)
2022 22 10 (1)两线段的比值是____，角的度数是___ (2)写出线段比值及两线段相交所成的较小角度数 (3)直接写出线段比值 (1)证明三角形全等；延长两条线段所交锐角，根据全等三角形对应角相等将角转化到一个三角形中，根据内角和求解 (2)证明三角形相似；根据相似三角形对应角相等将角转化到一个三角形中，根据内角和求解 (3)分类讨论：当点P在在线段EF上，和点P在FE的延长线上(类比(1)(2)问P分别在三角形内部和外部)
2021 22 10 (1)①线段比的值为____ ②角的度数为____ (2)请判断线段比值及角的度数 (3)请直接写出当点C与点M重合时AC的长 (1)①证明三角形全等 ②根据全等三角形对应角相等将角转化到一个三角形中，根据内角和求解 (2)证明三角形相似； 根据相似三角形对应角相等将角转化到一个三角形中，根据内角和求解 (3)当点C与点M垂合时，B、D、C三点共线，通过构造直角三角形求线段长
2020 22 10 (1)两线段的数量关系是____，位置关系是____ (2)判断三角形的形状，并说明理由 (3)直接写出三角形面积最大值 (1)MP=EC=BD=PN；两条线段平行，垂直于其中一条线段的垂线，也垂直于另一条平行线 (2)MP=EC=BD=PN； (3)当CE最大时，MP最大；当点C、E在点A异侧，且在同一条直线上时，CE最大
典例精讲
例 (2023河南真题子母卷)如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD，点F为BD的中点，连接CF，EF.
例题
(1)如图①，当点E在CA的延长线上时，线段CF与EF的数量关系为________，∠CFE的度数为________；
(2)将△ADE绕点A顺时针旋转，连接CE，(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图②的情况加以证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若AB＝13，AE＝5，将△ADE绕点A顺时针旋转过程中，当D，E，F共线时，请直接写出△BCE的面积．
课堂练兵
练习 (2023河南逆袭卷)如图，在四边形ABCD中，点E是直线BC上一点，将射线AE绕点A逆时针旋转α交直线CD于点F.
练习题图
(1)如图①，若四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，α＝60°，则AE与AF之间的数量关系是__________；
(2)如图②，若四边形ABCD为正方形，α＝45°，连接EF，当点E在BC的延长线上时，试猜想线段BE、DF与EF之间的数量关系，并加以证明；
(3)若四边形ABCD为正方形，α＝45°，连接EF，当AB＝4，BE＝BC时，请直接写出EF的长．
课后小练
练习 (2023河南预测卷)如图，△AOB和△COD是等腰直角三角形，OA＝2OC＝4，点O为直角顶点，连接AD、BC，E是BC的中点，连接OE.
练习题图
(1)如图①，当点C、D分别在边OA、OB上时，线段OE与线段AD之间的数量关系为________；
(2)将△COD绕点O逆时针旋转到如图②所示位置，请探究线段OE与线段AD之间的数量关系，并说明理由；
(3)在△COD的旋转过程中，当点C落在直线AD上时，请直接写出OE的长．
答案
典例精讲
例 解：(1)EF＝CF，90°；
【解法提示】如解图①，连接AF，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠DEA＝∠BCA＝90°，AE＝DE，AC＝BC，∴∠DAB＝90°，∵点F为BD的中点，∴AF＝DF＝BF，∴△AEF≌△DEF(SSS)，∴∠AEF＝∠DEF，∵∠AED＝90°，∴∠AEF＝45°，同理可得∠ACF＝45°，∴∠AEF＝∠ACF＝45°，∴EF＝CF，∠CFE＝90°.
解图①
(2)(1)中的两个结论仍成立．
证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ADE＝∠DAE＝45°，AE＝DE，AC＝BC，
如解图②，过点B作BG∥DE交EF的延长线于点G，连接CG，
解图②
∵BG∥DE，
∴∠EDF＝∠GBF，
∵∠DFE＝∠BFG，BF＝DF，
∴△BFG≌△DFE(ASA)，
∴BG＝DE，FG＝EF，∴BG＝AE，
∵∠EDF＝∠GBF，
∴∠CBG＝∠GBF＋∠CBD＝∠EDF＋∠CBD
＝∠ABD＋∠ADB＋∠ABC＋∠ADE
＝180°－∠BAD＋45°＋45°
＝270°－∠BAD＝∠EAC，
在△BGC和△AEC中，
∴△BGC≌△AEC(SAS)，
∴GC＝EC，∠BCG＝∠ACE，
∵∠ACB＝∠BCG＋∠ACG＝90°，
∴∠ACE＋∠ACG＝90°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
又∵FG＝EF，
∴EF＝CF，∠CFE＝90°；
(3)51或21.
【解法提示】①如解图③，在△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝13，AE＝5，由勾股定理得BE＝＝＝12，∴BD＝BE－DE＝12－5＝7，∵点F是BD的中点，∴DF＝，∴CF＝EF＝5＋＝，∴S△BCE＝BE·CF＝×12×＝51；②如解图④，同理可得S△BCE＝BE·CF＝×12×＝21.综上所述，△BCE的面积为51或21.
解图③ 解图④
课堂练兵
练习 解：(1)AE＝AF；
【解法提示】如解图①，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC.∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACD＝∠BAC＝60°.∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF.
解图① 解图②
(2)BE－DF＝EF；
证明：如解图②，在BC上取点F′，使得BF′＝DF，连接AF′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABF′＝∠ADF＝90°，
在△ABF′和△ADF中，，
∴△ABF′≌△ADF(SAS)，
∴AF′＝AF，∠BAF′＝∠DAF.
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠DAE＋∠DAF＝∠DAE＋∠BAF′＝45°，
∴∠EAF′＝∠EAF＝45°.
在△AEF′和△AEF中，，
∴△AEF′≌△AEF(SAS)，∴EF′＝EF，
∴BE－DF＝BE－BF′＝EF′＝EF；
(3)或10.
【解法提示】分两种情况：①如解图③，当点E在线段BC上时，同理(2)易得EF＝BE＋DF，∵AB＝4，∴BE＝BC＝2.设EF＝x，则DF＝x－2，CF＝4－(x－2)＝6－x，在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2＋CF2＝EF2，即22＋(6－x)2＝x2，解得x＝，即EF＝；②如解图④，当点E在CB延长线上时，同理可得DF－BE＝EF.设EF＝x，则DF＝x＋2，CF＝x＋2－4＝x－2，在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2＋CF2＝EF2，即62＋(x－2)2＝x2，解得x＝10，即EF＝10.综上所述，EF的长为或10.
解图
课后小练
练习 解：(1)OE＝AD；
【解法提示】∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，点C、D分别在边OA、OB上，∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOD＝∠BOC＝90°，∴△AOD≌△BOC，∴AD＝BC.∵E为BC的中点，∴OE＝BC，∴OE＝AD.
(2)OE＝AD，
理由如下：如解图①，延长OE至点F，使得EF＝OE，连接BF、CF，
∵BE＝CE，EO＝EF，
∴四边形COBF是平行四边形，∴BF∥CO，BF＝CO＝DO，∴∠FBO＋∠BOC＝180°.
∵∠BOA＝∠COD＝90°，
∴∠BOC＋∠BOD＝∠1＋∠BOD＝90°，∴∠1＝∠BOC.
∵∠1＋∠DOA＝180°，
∴∠FBO＝∠DOA.
∵BO＝AO，
∴△FBO≌△DOA(SAS)，∴AD＝OF，∴OE＝AD；
解图①
(3)＋1或－1.
【解法提示】分点C在AD上和点C在AD的延长线上两种情况讨论：①如解图②，当点C在线段AD上时，设AD、EO交于点M，由(2)可知EO＝AD，易证AD⊥EO，∴∠AMO＝90°，∵OC＝OD＝2，∴MO＝＝2，∴在Rt△AMO中，AM＝＝＝2，又∵MD＝MO＝2，∴AD＝AM＋MD＝2＋2，∴OE＝AD＝＋1；②如解图③，当点C在AD的延长线上时，延长EO交AC于点N，由(2)可知EO＝AD，易证AD⊥EO，∴AC⊥EN，∴∠ANO＝90°，∵OC＝OD＝2，∴NO＝＝2，∴在Rt△ANO中，AN＝＝＝2，又∵DN＝NO＝2，∴AD＝AN－DN＝2－2，∴OE＝AD＝－1.
解图