3.2.1函数单调性 课件（共44张PPT）

(共44张PPT)
3.2.1 第一课时函数的单调性
1.前面学习了函数的定义和表示法，知道函数y=f(x)
(x∈A)描述了客观世界中变量之间的一种对应关系。
2.我们可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律。因此，研究函数的性质，是认识客观规律的重要方法。
思考
？
0.2
观察下列图像，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质吗？
在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性。
画出y=x2的图像
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 16 9 4 1 0 1 4 9 16
y随x的增大而增大
图象在区间 逐渐上升
在区间 内任意 x1 ， x2
当x1x1
x2
f(x1)
f(x2)
画出y=x2的图像
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 16 9 4 1 0 1 4 9 16
y随x的增大而减小
图象在区间 逐渐下降
在区间 内任意 x1 ， x2
当x1f(x2)=x22
x1
x2
f(x1)
f(x2)
抽象思维，形成概念
那么就说在f(x)这个区间上是单调
减函数，D称为f(x)的单调 减 区间.
O
x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x
O
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
设函数y=f(x)的定义域为A,区间D A.
对于某个区间D上的任意x1,x2，
对于某个区间D上的任意x1,x2，
那么就说在f(x)这个区间上是增函数，
D称为f(x)的单调 区间.
增
当x1<
当x1>
单调区间
问题4：能否类比增函数的定义，给出减函数的定义？
若f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D，且x1≠x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增（或减）。
变形：
画图讨论：一次函数、二次函数、反比例函数的单调性
解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5].
逗号
隔开
例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减函数？
其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；
说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可.
在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.
-4
3
2
1
5
4
3
1
2
-1
-2
-1
-5
-3
-2
x
y
O
运用概念，巩固新知
　　证明函数f(x)＝　　 在区间(2，＋∞)上单调递减.
例2
x1，x2∈(2，＋∞)，且x1因为2所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
方法小结
证明函数单调性的方法：
①在定义域内任取x1，x2，且x1②做差f(x1)-f(x2)，并通过因式分解、配方等方法，进行变形
③判断f(x1)-f(x2)的符号，当符号不确定使，进行分类讨论
④根据定义得出结论
取值
做差
变形
定号
结论
　　　 求证：函数f(x)＝－ －1在区间(－∞，0)上单调递增.
跟踪训练2
x1，x2∈(－∞，0)，且x1由题设可得，x1－x2<0，x1x2>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)　　已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.根据图象写出它的单调区间.
例3
如图.
由图象可知，函数的单调递增区间为[－2,0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0,2).
3.2.1 函数单调性
第2课时
学习目标：
探究一：用定义证明函数的单调性
例1：判定函数 上的单调性.
　　已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.根据图象写出它的单调区间.
例2
如图.
由图象可知，函数的单调递增区间为[－2,0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0,2).
探究二：图象法对单调性的判断
反思感悟
求函数单调区间时，一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，
函数不熟悉可作出其图象，根据图象写出其单调区间.
一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开.
1
2
3
4
5
6
7
8
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16
练习.函数y＝|x2－2x－3|的单调递增区间是___________________.
y＝|x2－2x－3|
＝|(x－1)2－4|，
作出该函数的图象，如图.
由图象可知，
其单调递增区间为[－1,1]和[3，＋∞).
[－1,1]和[3，＋∞)
(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是___________.
例3
f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3
＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，
由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1，
解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4].
(－∞，－4]
探究三：函数单调性求参数
延伸探究
在本例(1)中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为______.
－4
f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3
＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，
由题意得－a－1＝3，a＝－4.
反思感悟
由函数单调性求参数范围的处理方法
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件.
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.
若为函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件.
例4.（1）已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)由x2－2<－x，即x2＋x－2<0，解得－2(－2,1)
探究四：函数单调性解不等式
（2）已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)(2).已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)探究四：函数单调性解不等式
(3).函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)>－1的实数x的取值范围是
A.(3，＋∞) B.(－∞，3)
C.[2,3) D.[0,3)
√
探究四：函数单调性解不等式
反思感悟
解不等式：
当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，
可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，
此时注意函数的定义域.
例5.已知函数f(x)＝ 在(－∞，＋∞)上是增函数，则实
数a的取值范围是
A.(－∞，－2] B.[－2,0)
C.[－3,0) D.[－3，－2]
√
探究五：分段函数单调性
总结：
3.2.1 单调性与最大（小）值
第3课时
例1.画出函数 图象，
解：
并根据图象说出f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，f(x)是增函数还是减函数.
由f(x)的图象知该函数单调区间有：
[-2 , 1] , [1 , 2].
其中f(x)在区间[-2 , 1]上是增函数，
问：f(x)在[-2 , 2]上有最值吗？
当x=1时，
答：
f(x)有最大值
4；
当x=-2时，
f(x)有最小值
-5.
在区间[1 , 2]上是减函数.
最大值的概念
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M .
那么称M是函数y=f(x)的最大值.
类比探究最小值的概念
最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M .
那么称M是函数y=f(x)的最小值.
记作：
记作：
最大值
2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．
注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
学习新知
例2.（教材P81例5） 求函数 在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解:
由2≤x1所以，函数 是区间[2,6]上的减函数.
且 x1则
得 x2- x1>0,
于是
(x1-1)(x2-1)>0,
即
故当x=2时，
当x=6时，
设 x1 , x2∈ [2,6]，
方法归纳：单调性法求最值
(1)求证f(x)在[1，＋∞)上单调递增；
跟踪训练2
设1≤x1∵1≤x11，
∴x1x2－1>0，
即f(x1)∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增.
(2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值.
由(1)可知f(x)在[1,4]上单调递增，
∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2，
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值
2. 利用图象求函数的最大(小)值
3. 函数单调性法求最值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ；
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
求函数的最大(小)值的方法总结：
方法小结
【注意】函数的最大值和最小值可以有多个，如图：
　　　 已知函数f(x)＝ 求函数f(x)的最大值、最小值.
例2
作出f(x)的图象如图.
由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；
分段函数的最值
典型例题
方法归纳：换元法、配方法求最值
法4.基本不等式法求最值
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值
2. 利用图象求函数的最大(小)值
3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ；
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
求函数的最大(小)值的方法总结：
方法小结