第13章 轴对称 单元复习题 2023-2024学年上学期人教版数学八年级上册（含解析）

第13章 轴对称
一、单选题
1．（2023上·山西大同·八年级统考期末）下面四个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A．诚 B．信 C．友 D．善
2．（2023上·山西吕梁·八年级统考期末）用数学的眼光观察下面的图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·山西临汾·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，则，这是根据（ ）

A．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 B．中垂线定义
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．等腰三角形三线合一
4．（2023上·山西朔州·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，且的周长是20，则线段的长为（ ）
A．40 B．20 C．15 D．10
5．（2023上·山西运城·八年级统考期末）若点与点关于x轴对称，则为（ ）
A．-5 B．5 C．-1 D．1
6．（2023上·山西阳泉·八年级统考期末）如图，在中，，以点B圆心，任意长为半径画弧，分别交， 点M，N，分别以点M，N圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O．作射线交于点D．过点D作，交点E，若，则的周长等于（ ）

A．6 B．8 C．14 D．18
7．（2023上·山西临汾·八年级统考期末）如图，在中，，，的平分线交于点，过点作的平行线，交于点．则图中的等腰三角形有（ ）．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．（2023上·山西大同·八年级统考期末）如图，在中，，的平分线交于点，如果垂直平分，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·山西阳泉·八年级统考期末）如图，已知中，，按以下步骤作图：
①分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点M、N；
②作直线交于点，连接．若，，则的面积等于（ ）

A．4 B． C．3 D．2
10．（2023上·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在中，已知，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022上·山西大同·八年级大同一中校考期末）如图，已知点P是内任意一点，点M、P关于对称，点N、P关于对称．连接，分别交于C，D．连接．若，则的周长为 ．
12．（2023上·山西阳泉·八年级统考期末）已知点和点关于轴对称，则的坐标是 ．
13．（2023上·山西临汾·八年级统考期末）在中，，是边上的高，，则 ．
14．（2023上·山西晋城·八年级统考期末）如图，在中，，，AD为中线，点E在中线AD上运动，但不与点A，D重合，点在AB上运动，但不与点A，B重合，连接BE和EF．则的最小值是 ．

15．（2023下·山西运城·八年级统考期末）在中，，，则的面积为 ．
16．（2023下·山西临汾·八年级统考期末）如图，平分是上一点，过点分别作于点交于点．若，则的长为 ．

17．（2023上·山西吕梁·八年级统考期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）
三、综合题
18．（2023上·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，的平分线交于点F，两线交点为点P．
(1)依题意补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，若，的周长是，_____________；
(3)连接，设，则__________；（用含的式子表示）．
19．（2023上·山西阳泉·八年级统考期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，．

(1)作关于y轴的轴对称图形得，画出图形，并直接写出点的坐标 ；
(2)已知点P是x轴上一点，则的最小值是 ．
20．（2022上·山西朔州·八年级校联考期末）如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，若点，则点的坐标______；
(2)将向左平移5个单位，向上平移2个单位，则点的坐标变为______；（无需画图）
(3)图中格点的面积是______；
(4)在轴上找一点，使得最小，请画出点的位置．
21．（2023上·山西临汾·八年级统考期末）如图，长方形中，沿对角线折叠，点B落在点E处，的对应边交于点F，连接．求证：．
22．（2023上·山西晋城·八年级统考期末）综合与实践
如图，的顶点A在直线上，，点D在直线上，．点E在直线上运动，探究当满足什么条件时，成立．

(1)如图2，当，请说明；
(2)根据（1）的证明，直接写出当满足什么条件时，；
(3)如图3，当，平分．在上截取，连接和，判断的形状，并证明你的结论．
23．（2023上·山西大同·八年级统考期末）综合与探究
问题呈现
(1)如图1，在和中，，，，连接，，试探究和的数量关系，请直接写出结论．
特例探究
(2)如图2，若和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，求的度数．
(3)如图3，若和均为等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，与交于点，当恰好平分时，发现，请写出证明过程．
24．（2023上·山西朔州·八年级统考期末）综合与探究
（1）如图①，C为线段上一点，现有，，，，则可以通过“同角的余角相等”推出______，进而推出，故当，时，长为______．
（2）如图②，在等腰直角三角形中，，P为边上一点，作分别交，于点M，N，且，求证：．
（3）如图3，在中，，D，A，E三点共线，且，以为边作等边三角形，连接，试探究的形状，并说明理由．
25．（2023上·山西阳泉·八年级统考期末）综合与实践
【问题提出】用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？
【问题探究】不妨假设能搭成种不同的等腰三角形，为探究与之间的关系，我们可以先从特殊人手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．
【探究一】
（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
此时，显然能搭成一种等腰三角形．
所以，当时，．
（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．
所以，当时，．
（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
所以，当时，．
（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
所以，当时，．
综上所述，可得：
表①
3 4 5 6
1 0 1 1
【探究二】
（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？
（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）
（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
（只需把结果填在表②中）
表②
7 8 9 10
你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，
【问题解决】（3）用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设分别等于，，，，其中是正整数，把结果填在表③中）
表③
【问题应用】（4）用2023根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？写出解答过程．
26．（2023上·山西大同·八年级大同一中校考期末）综合与实践
某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线，上．

【活动一】：
如图甲所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：______．（选填“能”或“不能”）
（2）设，求：的度数．
【活动二】：
如图乙所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，且．
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，求：用含的式子表示出的度数．
27．（2023上·山西朔州·八年级统考期末）综合与探究．
数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：
如图1，中，，．点D是边上一点，连接，以为直角边作，其中，．

[知识初探]
兴趣小组提出的问题是：“线段和有怎样的数量关系和位置关系”，请你直接写出答案_________．
[类比再探]
睿智小组在兴趣小组的基础上，继续探究：如图2，若点D是BC延长线上一点，交于点F，其它条件不变，线段和有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由．
[特例探究]
启航小组根据平时的学习经验，“当图形的位置特殊时会产生特殊的数量关系”，在图2的基础上让图形特殊化，如图3，若平分，其它条件不变，结果他们发现线段与也存在着特殊的数量关系和位置关系．请你直接写出启航小组所发现的正确结果是__________．

[归纳总结]
此综合与实践从“知识初探”“类比再探”到“特例探究”的过程中，主要体现的数学思想是________．（填正确选项代码）
A．数形结合 B．从一般到特殊 C．归纳
28．（2023下·山西临汾·八年级统考期末）综合与实践
特例感知：
如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，分别过点作，过点作，交于点，连接与交于点．

(1)试判断和的数量关系，并说明理由．
(2)猜想论证：将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
(3)拓展延伸：将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转角度，当时，请直接写出的值．
参考答案：
1．D
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、诚不可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、信不可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、友不可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意．
D、善可以看作是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．A
【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、可以抽象成轴对称图形，符合题意，选项正确；
B、不可以抽象成轴对称图形，不符合题意，选项错误；
C、不可以抽象成轴对称图形，不符合题意，选项错误；
D、不可以抽象成轴对称图形，不符合题意，选项错误，
故选A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题关键是熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．C
【分析】根据垂直平分线的性质即可求解．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
故选：C．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，理解垂直平分线的性质是解决问题的关键．
4．B
【分析】由线段的垂直平分线的性质得到，，结合三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，，
∵的周长是20
∴
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，相等线段的转化，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．A
【分析】根据关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可．
【详解】解：点与点关于x轴对称，
则，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了关于x轴对称点的坐标特征，解题关键是明确关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数．
6．C
【分析】由作图过程可得平分，所以，根据，可得，等量代换可得，所以，进而可以解决问题．
【详解】解：由作图过程可知：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴的周长等于．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，同时考查了等腰三角形的判定．
7．C
【分析】根据，，得是等腰三角形，，根据的平分线交于点，；再根据平行线的性质，等腰三角形的判定，即可．
【详解】∵中，，，
∴是等腰三角形，，
∵的平分线交于点，
∴，
∴是等腰三角形；
∵，，
∴，
∴是等腰三角形；
∵，
∴，，
∴是等腰三角形；
∵在中，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中的等腰三角形有个．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和．
8．C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理等知识，解题关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
9．A
【分析】连接，根据作图得到垂直平分，得到，结合等边对等角和外角的性质求出，可得，再利用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：连接，
由作图可知：垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴的面积为，
故选A．

【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，含30度的直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．B
【分析】利用线段垂直平分线的性质得，利用等腰三角形的性质得且，再利用外角的性质得，从而可得的值．
【详解】解：∵边的垂直平分线交于E，交于D，
∴，
∴且，
∴，
∴
故选B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含角的直角三角形的性质等知识；得到是正确解答本题的关键．
11．
【分析】根据轴对称的性质得到，再根据三角形周长公式可得的周长．
【详解】解：由轴对称的性质可得，
∴的周长，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质，熟知关于某条直线对称的两点到该直线上任意一点的距离相等是解题的关键．
12．
【分析】根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：∵和点关于轴对称，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13． 或 /或
【分析】根据三角形的内角和定理，求出的度数然后再求出的度数；
【详解】如图，当 在 内时

如图当 在 外时

故答案为 或
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理及推论此题难度不大，属于中等题；
14．
【分析】根据等腰三角形三线合一性质可得，得到点B、点C关于直线对称，过C作交于F，则此时的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：，点D是的中点，
，
∴点B、点C关于直线对称，
过C作交于E，则此时的值最小，

，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，垂线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用垂线段最短来解答本题．
15．9
【分析】据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出的度数，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：过C作交的延长线于D，

∵，
∴，
∴，
∵，是边上的高，
∴，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了30度角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
16．3
【分析】作交于，由角平分线的性质可得，由平行线的性质可得，由三角形外角的定义可得，由含有角的直角三角形的性质可得，进行计算即可得到答案．
【详解】解：作交于，
，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、三角形外角的定义、含有角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质、平行线的性质、三角形外角的定义、含有角的直角三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
17．
【分析】作B点关于直线b的对称点，连接交直线b于点P，则，则，此时P点到A与B的距离和最小，过作，延长与交于点M，则，得到，再得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，即可得到答案．
【详解】解：作B点关于直线b的对称点，连接交直线b于点P，
∴，
∴，此时P点到A与B的距离和最小，
过作，延长与交于点M，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点P与C点的距离是，
故答案为：
【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，还考查了等腰直角三角形的判定和性质，按照要求正确作图是解题的关键．
18．(1)图形见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据要求作出垂直平分线和角平分线即可；
（2）连接，根据垂直平分线的性质，得到，再利用三角形周长即可求出得长；
（3）连接，根据垂直平分线的性质，得到，从而得到，再根据角平分线的定义得到，最后利用三角形内角和定理即可求出的大小．
【详解】（1）解：如图所示即为所求；
（2）解：如图，连接，
垂直平分，
，
的周长，
，的周长是，
，
故答案为：；
（3）解：如图，连接，
垂直平分，
，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了复杂作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，灵活运用所学知识解决问题是解题关键，属于中考常考题型．
19．(1)画图见解析，
(2)10
【分析】（1）分别确定A，B，C关于y轴对称的对称点，，，再顺次连接即可，再根据的位置可得其坐标；
（2）如图，作关于轴的对称点，连接，交轴于，可得，则，此时最短，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
∴．
（2）如图，作关于轴的对称点，连接，交轴于，
∴，
∴，此时最短，

如图，构造直角三角形，
由勾股定理可得：，
∴的最小值是10．
【点睛】本题考查的是画轴对称，坐标与图形，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，熟练的运用轴对称的性质进行画图是解本题的关键．
20．(1)
(2)
(3)5
(4)见解析
【分析】（1）根据第一象限点的坐标特征写出点坐标；
（2）利用点平移的坐标变换规律求解；
（3）用一个长方形的面积分别减去三个三角形的面积去计算的面积；
（4）作点关于轴的对称点，然后计算即可．
【详解】（1）解：如图，点的坐标；
（2）解：将向左平移5个单位，向上平移2个单位，则点的坐标变为；
（3）解：图中格点的面积；
（4）解：如图，点为所作．
【点睛】本题考查了作图平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了最短路径问题．
21．见解析
【分析】方法一：由折叠的性质得到，，由长方形和平行线的性质得到，，则，推出即可证明；方法二：由折叠的性质和长方形的性质得到，，进而利用证明即可证明．
【详解】证明：方法一：由折叠可知：，．
∵长方形中，，，
∴，．
∴
∴，
∴，
∴．
方法二：由折叠可知：，，
∵长方形中，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)（或）
(3)是等边三角形，证明见解析
【分析】（1）根据AAS证明，得出，，等量代换可，即可得到；
（2）根据可证，再根据证明，得出，等量代换可得；
（3）先证得，推出，再根据和均为等边三角形，推出，，进而可得，根据证明，即可得出．
【详解】（1）理由如下：∵，，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴
∴，.
∴.
∴．
（2）解：当时，．
理由如下：
当时
，
，
在和中，
，
，
，
；
综上所述，当时，．
（3）结论：是等边三角形
证明：，，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴
∴.
∵，平分，
∴.
∵，，
∴和是等边三角形.
∴，.
∴.
∴.
在和中，
∴
∴，.
∴.
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，熟练运用“一线三等角”模型．
23．(1)
(2)
(3)见详解
【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明；
（2）根据等边三角形的性质可得，即可推导，由（1）可知，根据全等三角形的性质可得，由即可确定的度数；
（3）根据等腰直角三角形的性质，易得，再结合平分，可得，，进而确定，可推导；然后证明，可得，结合，即可证明．
【详解】（1）解：．
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵为等边三角形，
∴，
∵点，，在同一直线上，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴；
（3）∵和均为等腰直角三角形，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵点，，在同一直线上，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形外角的定义和性质、直角三角形两锐角互余等知识，解题关键是证明，熟练运用全等三角形的性质解决问题．
24．（1），10；
（2）见解析；
（3）为等边三角形，理由见解析．
【分析】（1）由题意可得，，利用互余可得，进而可证，利用全等三角形的性质可得；
（2）作交于，由等腰直角三角形的性质，可知，，可得，可得，由，根据（1）的思路可证得，利用全等三角形的性质可证得；
（3）根据（1）的思路可证得，可得，由等边三角形的性质及，，可知为等边三角形，利用等边三角形的性质可证，可得，，由，可得，即得证为等边三角形．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴（），
∴，，
∴，
故答案为：，10；
（2）证明：作交于，则
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
在和中，，
∴（），
∴，，
∴．
（3）为等边三角形，理由如下：
∵，
∴，，
∴，
在和中，，
∴（(），
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
则：，即，
在和中，，
∴（），
∴，，
∵，则，
∴，
∴为等边三角形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握在“一线三垂直”模式中角度转化是解决问题的关键．
25．（1）2种；（2）见解析；（3），，，；（4）506种
【分析】（1）根据等腰三角形的定义分别例举即可得结论；
（2）仿照探究一中的方法，将木棒分成相等的两部分和另一部分，利用三角形成立的条件进行判断即可；
（3）从两个表格中总结出规律填表即可
（4）用2023和4的倍数关系，结合问题解决中的规律即可解答．
【详解】解：（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，
即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形，
分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
此时，能搭成2种等腰三角形，
当时，．
（2）
7 8 9 10
2 1 2 2
（3）由规律可知，
（4），
用2023根相同的木棒搭一个三角形，能搭成506种不同的等腰三角形．
【点睛】本题考查的是基本作图及等腰三角形，解题的关键是掌握等腰三角形的性质及三角形成立的条件．
26．（1）能；（2）；（3）
【分析】（1）先根据已知条件小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去．
（2）利用等腰直角三角形的性质求解即可．
（3）本题需先根据，然后结合等腰直角三角形的性质分析计算；
【详解】解：（1）∵根据已知条件小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去．
故答案为：能；
（2）∵，，
∴
∴
∵，
∴；
（3）∵，
∴
∴
同理可得：，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．
27．[知识初探]，；[类比再探]，，理由见解析；[特例探究]，；[归纳总结]B
【分析】[知识初探]： ，得出，，证明，得出即可得出答案；
[类比再探]：证明，得出，，证明，得出即可；
[特例探究]：根据[类比再探]得出，，从而得出，证明，得出，证明，得出，从而得出，即可证明；
[归纳总结]：此综合与实践从“知识初探”“类比再探”到“特例探究”的过程中，主要体现的数学思想是从一般到特殊，
【详解】解：[知识初探]：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
[类比再探]：，；理由如下：

理由如下：∵
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴
∴在中，，
∴；
[特例探究]：根据[类比再探]可知，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

故答案为：，．
[归纳总结]：此综合与实践从“知识初探”“类比再探”到“特例探究”的过程中，主要体现的数学思想是从一般到特殊，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线定义理解，三角形外角的性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．
28．(1)，理由见解析
(2)（1）中和的数量关系仍然成立，理由见解析
(3)的值为
【分析】（1）根据等边三角形的性质和证明，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）延长，交于点，根据等边三角形的性质和证明，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（3）利用（2）中的结论解答即可．
【详解】（1）解：，
理由：和都是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
；
（2）解：仍然成立，
理由：如图，延长，交于点，
，
和都是等边三角形，
，
，
，
，，
，
同（1）可知，，
，
；
（3）解：当时，如图，
，
由（2）可知，，
，
，
，
的值为．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．