第14章 整式的乘法与因式分解 单元复习题 2023-2024学年上学期人教版数学八年级上册（含解析）

第14章 整式的乘法与因式分解
一、单选题
1．（2023上·山西阳泉·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山西临汾·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·山西阳泉·八年级统考期末）下列计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022上·山西大同·八年级大同市第三中学校校考阶段练习）小羽制作了如图所示的卡片A类，B类，C类各50张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的C类卡片的张数（ ）
A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张
C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张
5．（2023上·山西晋城·八年级统考期末）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为9，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·山西阳泉·八年级校考期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（ ）

A． B．
C． D．
7．（2023上·山西朔州·八年级统考期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023上·山西晋城·八年级统考期末）已知是三个相邻的正偶数，以c为长，a为宽的长方形的面积是，以b为边长的正方形的面积是，则与的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·山西大同·八年级统考期末）在等式中，括号里应填的多项式是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·山西吕梁·八年级校考期末）如图所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023上·山西晋城·八年级统考期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023上·山西晋城·八年级统考期末）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2023上·山西朔州·八年级统考期末）已知，，则的值为 ．
14．（2023上·山西阳泉·八年级统考期末）分解因式： ．
三、综合题
15．（2023上·山西吕梁·八年级统考期末）阅读理解题：
形如的数（均为实数，）叫做复数．其中的叫做它的实部，叫做它的虚部，叫做虚数单位，并规定：①的平方等于，即；②实数与它进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立．所以，复数的加，减，乘法运算类似于整式的加，减，乘法运算．例如：
，
．
请类比完成以下任务：
(1)填空：___________，____________；
(2)计算：；
(3)计算：．
16．（2023上·山西朔州·八年级统考期末）阅读下列材料，完成相应任务．
杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年．杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示： …
完成下列任务：
(1)写出的展开式．
(2)计算：．
17．（2023上·山西临汾·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
18．（2023上·山西忻州·八年级统考期末）计算：
(1)
(2)
19．（2023上·山西晋城·八年级统考期末）综合与探究
问题情境：已知，，，，…，根据观察到的一列等式，解决下列问题：
(1)特例探究：直接写出第5个等式；
(2)探究发现：猜想第个等式，并说明你的猜想是正确的；
(3)探究拓展：直接写出下列式子的结果：
①______；
②_______；
③________（用含的代数式表示）．
20．（2023上·山西朔州·八年级统考期末）阅读下列材料，完成相应任务．
阅读材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求的最小值
解：
∵不论取何值，总是非负数，即．
∴
∵当时，有最小值为0
∴当时，有最小值，最小值是1.
根据上述材料，解答下列任务：
任务一：填空：__________（ ）2
任务二：探索：将变形为的形式，并求出的最小值．
任务三：应用：如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为，第二个长方形边长分别是、，面积为，试用含的式子表示的值，并说明与的大小关系．
21．（2023上·山西临汾·八年级统考期末）微专题探究学习：阅读探究学习过程，完成（1）小题中的填空、（2）小题的图形设计和（3）小题的求面积．
《面积与完全平方公式》
如图1，阴影部分是一个边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形和两个宽为的长方形之后所剩余的部分．
(1)①图1中剪去的长方形的长为______，面积为______．
②用两种方式表示阴影部分的面积为______或______，由此可以验证的公式为______．
(2)请设计一个新的图形验证公式：．
(3)如图2，，分别表示边长为，的正方形的面积，且，，三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积．
22．（2023上·山西临汾·八年级统考期末）阅读思考：年月日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂胜利闭幕．某校以学习二十大精神为主题开展了黑板报评比活动．八年级班的数学课代表王华看着教室里的黑板报，出了一道题：已知黑板的周长为米，设黑板的高为米，宽为米，且，求黑板的面积．下面是小慧同学的解法：
解：∵黑板的周长为米，
由已知可得，……第一步
∴，……第二步
∵，，
∴，，
∴，联立方程组：，……第三步
∴解得，……第四步
∴黑板的面积为（平方米）……第五步
(1)请你判断上述小慧同学的解答是否正确．若不正确，请指出错误之处，并改正．
(2)由第一步到第二步等式左边的变形属于_____________；（填：整式乘法或因式分解）
(3)因式分解：．
(4)拓展：已知为的三边长，若，试判断的形状．
23．（2022上·山西吕梁·八年级统考期末）有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．
(1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）．
方法1：__________________________________________________．
方法2：__________________________________________________．
(2)若，求的值．
(3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技图形的面积关系，因式分解：______．
24．（2023上·山西大同·八年级统考期末）阅读与思考
为了使学生更好地理解乘法公式，数学课上赵老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
理解应用
(1)根据图2中图形的面积，可以得到一个乘法公式．
①请你直接写出这个公式______；
②上面分析过程主要运用的数学思想是______．
A．转化思想 B．分类讨论 C．统计思想 D．数形结合
(2)小华模仿赵老师的做法用边长为的正方形，长为，宽为1的长方形，长为宽为2的长方形，拼成如图3的图形，根据图3中图形的面积，写出将一个多项式因式分解的式子______．
(3)若，，求的值．
25．（2023上·山西晋城·八年级统考期末）（1）因式分解：
（2）因式分解：
参考答案：
1．B
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
2．A
【分析】运用合并同类项，幂的运算法则处理．
【详解】A. ，符合合并同类项法则，本选项符合题意；
B. ，原计算错误，本选项不合题意；
C. 不能进一步化简，本选项不合题意；
D. ，原计算错误，本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练相关法则是解题的关键．
3．B
【分析】根据同底数幂的乘除法，合并同类项法则分别计算即可判断．
【详解】解：A、，故不合题意；
B、，故符合题意；
C、不能合并，故不合题意；
D、，故不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，合并同类项，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
4．C
【分析】根据长方形的面积公式求出拼成的大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解．
【详解】大长方形的面积为，
C类卡片的面积是，
∴需要C类卡片的张数是，
∴不够用，还缺4张．
故选：．
【点睛】本题主要考查多项式与多项式的乘法、长方形的面积公式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
5．A
【分析】先计算，根据展开式不含x的一次项，且常数项为9，可求得a和b的值，代入计算即可．
【详解】解：
，
∵乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为9，
∴，
解得：，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查多项式乘多项式．能根据多项式乘多项式法则展开是解此题的关键．
6．A
【分析】根据剩余部分面积等于长方形的面积即可求．
【详解】解：根据题意得剩余部分面积为：
则长方形的面积为．
故选：A．
【点睛】本题考查了图形剪拼问题中的列代数式，整式乘法的混合运算，完全平方公式，关键明确剩余部分面积等于长方形面积．
7．D
【分析】根据合并同类项法则可以判断A，根据完全平方公式可以判断B，根据同底数幂的乘法法则可以判断C，根据积的乘方运算法则可以判断D．
【详解】解：A.，故此选项计算错误，不符合题意；
B.，故此选项计算错误，不符合题意；
C.，故此选项计算错误，不符合题意；
D.，故此选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．A
【分析】由题意可得，，又由，或，，可得．
【详解】解：由题意可得，
是三个相邻的正偶数，
，或，
或
，
故选：A．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，结合面积公式和连续正整数之间的关系运算是解题的关键．
9．C
【分析】根据平方差公式的逆运用分析求解即可．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的知识，熟记平方差公式的结构是解题关键．
10．B
【分析】根据剩余部分面积等于长方形的面积即可求．
【详解】解：根据题意得剩余部分面积为：
则长方形的面积为
故选：B．
【点睛】本题考查了图形剪拼问题中的列代数式，关键明确剩余部分面积等于长方形面积．
11．D
【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式分解为几个因式的积的形式叫做因式分解，即可一一判定．
【详解】解：A.，不是因式分解，故该选项不符合题意；
B.，不是因式分解，故该选项不符合题意；
C.，不是因式分解，故该选项不符合题意；
D.，是因式分解，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的判定，熟练掌握和运用因式分解的定义是解决本题的关键．
12．B
【分析】利用完全平方公式：，进而判断得出答案．
【详解】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；
B、，能用完全平方公式进行因式分解，符合题意；
C、，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；
D、，不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
13．32
【分析】逆用同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．
14．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．(1)，
(2)
(3)
【分析】(1)的平方等于即可求得和；
(2)根据复数的加，减，乘法运算类似于整式的加，减，乘法运算即可求得；
(3)根据的平方等于，即总结规律即可求解．
【详解】（1）解：∵的平方等于，即，
∴，，
（2）解：
，
∵，
∴，
（3）解：∵……
∴的结果依次按，…四次一循环的规律出现，
∵
∴
∴
．
【点睛】本题考查了利用新定义解决数字运算规律的能力，根据新定义进行计算归纳是解题的关键．
16．(1)
(2)1
【分析】（1）根据前面4个等式的提示，归纳出系数与指数的规律，从而可得的展开式；
（2）利用（1）中展开式，设，，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵
∴；
（2）∵，令，，
∴
．
【点睛】本题考查的是与多项式乘法相关的规律题，理解题意，总结归纳出规律，再利用规律解决问题是解本题的关键．
17．；2
【分析】先计算整式的乘法与除法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把，代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：
；
当,时
原式．
【点睛】本题考查的是整式的混合运算的化简求值，掌握完全平方公式与多项式除以单项式是解本题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）先利用单项式乘多项式法则计算，再合并同类项；
（2）利用多项式乘多项式法则计算．
【详解】（1），
，
；
（2）
，
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
19．(1)
(2)，证明见解析
(3)①5616；②2025；③
【分析】（1）根据题干中的等式找到规律求解即可；
（2）根据题干中的等式找到规律求解即可；
（3）根据（2）中的规律求解即可；
【详解】（1）∵①，
②，
③，
④，
∴第5个等式为；
（2）第个等式是
理由如下：
左边
右边．
∴成立．
（3）①；
②；
③．
【点睛】本题考查了数字类规律探索，整式的混合运算，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
20．任务一：，；任务二：，－27；任务三：，
【分析】任务一：根据完全平方式即可确定；
任务二：先配方成，进一步求出最小值；
任务三：分别表示出和，再计算，即可比较大小．
【详解】解：任务一：.
故答案为：，；
任务二：，
当时，的最小值为－27；
任务三：，
，
∵
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，多形式乘以多项式，熟练掌握是解题的关键．
21．(1)①；；②；；
(2)图形见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形和长方形的面积公式计算；
（2）通过面积构造几何图形；
（3）利用所得乘法公式计算．
【详解】（1）解：①由长方形的性质可知，图1中剪去的长方形的长为，
∵长方形宽为，
∴长方形的面积为．
故答案为：；．
②由题意可得，图1中阴影部分是一个正方形，面积为：，还可以表示为：，
∴可以验证的公式为：．
故答案为：；；．
（2）1个边长为的正方形，1个边长为的正方形和2个长为，宽为的长方形可拼成一个边长为的正方形，如下图所示，
∴．
（3）∵，分别表示边长为，的正方形的面积，且，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景．注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．
22．(1)不正确，错误之处：第四、五步，改正见解析
(2)因式分解
(3)
(4)是等腰直角三角形，证明见解析
【分析】（1）根据整式的混合运算，因式分解的方法，乘法公式即可求解；
（2）根据因式分解的方法即可求解；
（3）运用提公因式，乘法公式进行因式分解即可求解；
（4）根据整式的混合运算，因式分解，几何图形边长的特点即可求解．
【详解】（1）解：不正确，错误之处：第四、五步，改正过程如下，
∵黑板的周长为米，由已知可得，……第一步
∴，……第二步
∵，，
∴，，
∴，联立方程组：，……第三步
∴解得，……第四步
∴黑板的面积为（平方米）……第五步．
（2）解：由已知可得，……第一步
∴，……第二步
运用的是提公因式法因式分解，
故答案为：因式分解．
（3）解：
．
（4）解：∵
∴
∵，
∴，则，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】本题主要考查整式运算与几何图形的综合，掌握整式的混合运算的法则，因式分解，几何图形面积，周长等知识的综合运用是解题的关键．
23．(1)，
(2)20
(3)
【分析】（1）从“整体”和“部分”两个方面分别表示阴影部分的面积即可；
（2）根据非负数的定义可得，再根据进行计算即可；
（3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积即可．
【详解】（1）①方法1：图2中阴影部分是边长为，因此面积为，
方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为的正方形减去4个长为，宽为的长方形面积，因此有；
故答案为：，
（2）∵，，，
∵，，即，，
∴．
（3）1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为，
而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为，宽为的长方形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是关键．
24．(1)①，②D
(2)
(3)20
【分析】（1）①由同一个图形面积的不同表示方法即可得乘法公式；②根据题意即可得用到的数学思想；
（2）边长为的正方形，长为，宽为1的长方形，长为宽为2的长方形的面积为，还可表示为，即可得到答案；
（3）由（1）知，即可得到，代入数值即可求得答案．
【详解】（1）解：①由图形面积可表示为或，即可得到，
故答案为：
②上面分析过程主要运用的数学思想是数形结合，
故选：D
（2）解：由图形可知，，
故答案为：
（3）解：由（1）知，则，
即的值为20．
【点睛】此题考查了乘法公式和因式分解，数形结合是解题的关键．
25．（1）；（2）
【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式继续进行分解；
（2）首先分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式即可得出答案．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查分组分解法分解因式，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．解题的关键正确分组、熟练掌握完全平方公式和平方差公式．