第15章 分式 单元复习题 2023-2024学年上学期人教版数学八年级上册（含解析）

第15章 分式
一、单选题
1．（2023上·山西阳泉·八年级统考期末）下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·山西太原·八年级统考期末）分式有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·山西忻州·八年级统考期末）分式的值为0，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．1或3 D．1
4．（2023上·山西大同·八年级大同一中校考期末）将分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．保持不变 B．缩小到原来的
C．扩大为原来的2倍 D．无法确定
5．（2023上·山西大同·八年级大同市第六中学校校考期末）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍
C．不变 D．缩小为原来的
6．（2022上·山西朔州·八年级校联考期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·山西朔州·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·山西大同·八年级大同市第六中学校校考期末）计算的结果是（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．（2023上·山西忻州·八年级统考期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·山西阳泉·八年级统考期末）2022年9月30日，华阳集团与中科海钠联合打造全球首批量产钠离子电芯生产线投运仪式在我市举行，用实际行动诠释“率先转型蹚新路”的使命担当．钠离子电池有寿命长、易制造、低成本等优异特性，若将钠离子半径表示成科学记数法，应是（ ）（）
A． B． C． D．
11．（2023上·山西阳泉·八年级统考期末）2020年3月11日，太原解放路的道路改造工程拉开了序幕．工程南起南内环街，北至花园后南街，全长约8公里．某施工队承接了这8公里路的修路任务，为了提前完成任务，施工队实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前10天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
12．（2023上·山西大同·八年级大同市第六中学校校考期末）当 时，分式的值为零．
13．（2023上·山西阳泉·八年级统考期末）已知，则式子的值是 ．
14．（2023上·山西大同·八年级大同市第六中学校校考期末）计算： ．
15．（2022上·山西朔州·八年级校联考期末）计算： ．
16．（2023上·山西阳泉·八年级统考期末）新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒．其体积很小，形态要比细菌小很多，所以特别不容易被防护．这种病毒外面有包膜，直径大概在60～140纳米，平均100纳米，呈颗粒的圆形或者椭圆形．100纳米用科学记数法表示为 米．（1纳米米）
17．（2023上·山西朔州·八年级统考期末）当 时，关于的方程无解．
三、综合题
18．（2023上·山西阳泉·八年级统考期末）化简并求值．
(1)，其中；
(2)，其中．
19．（2023上·山西朔州·八年级统考期末）解答下列各小题：
(1)计算：；
(2)先化简，再求值：，其中满足；
(3)因式分解：．
20．（2023上·山西大同·八年级统考期末）先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)其中．
21．（2023上·山西忻州·八年级统考期末）（1）先化简，再求值：，其中；
（2）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，小明同学的解答过程如下：
①
②
③
④
①请你分析小明的解答从第______步开始出现错误（填序号），错误的原因是______；
②请写出正确解答过程，并求出当时此式的值．
22．（2023上·山西忻州·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
23．（2022上·山西朔州·八年级校联考期末）先化简，再求值：，其中a，2，4为的三边长，且a为整数．
24．（2023上·山西朔州·八年级校考期末）计算
(1)解方程
(2)计算：．
25．（2023上·山西吕梁·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
26．（2023上·山西阳泉·八年级校考期末）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程：．
27．（2023上·山西朔州·八年级统考期末）综合与实践
问题情境：“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套A型号的“文房四宝”的标价比B型号的“文房四宝”的标价高30%，若按标价购买需花费4300元，其中购买B型号“文房四宝”花费3000元．
问题解决：
(1)求每套B型号的“文房四宝”的标价．
(2)若经过与店主协商，考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”九折，B型号“文房四宝”八折的优惠价购入，则购买原定数量的A，B型号“文房四宝”共需花费多少元？
(3)一段时间后，由于传统文化广受关注，另一所学校想要购入A，B两种型号“文房四宝”共100套，店主继续以（2）中的折扣价进行销售，已知A，B两种型号的“文房四宝”每套进价分别为67元和50元，若通过此单生意，该店获利不低于3800元，则该校至少买了多少套A型“文房四宝”？
28．（2023上·山西大同·八年级统考期末）下面某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应学习任务：
解：方程两边同乘，得 第一步
解得 第二步
原分式方程的解为 第三步
(1)上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
(2)请写出正确的解题过程．
29．（2023上·山西吕梁·八年级统考期末）列方程（组）解决下列问题：
榴莲的营养价值极高，具有增强免疫力的功效．某水果直营店销售一种优质榴莲，受疫情影响，本周将该种榴莲比上周降价出售．小唯喜欢吃榴莲，本周与上周一样花了180元在该店买了该种榴莲，但重量却比上周多了，设上周榴莲的单价为x元/．
(1)请用含x的式子表示出下列表格中的各量．
时间 单价（元/） 重量（）
上周 x _________
本周 _________ _________
(2)与上周相比，该种榴莲每千克的价格便宜了多少元？
30．（2023上·山西大同·八年级大同一中校考期末）【阅读材料】
定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）；
①；②；③；④
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
参考答案：
1．B
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：A、当时，分母，此时没有意义，故不合题意；
B、，故分式有意义，故符合题意；
C、当时，分母，此时没有意义，故不合题意；
D、当时，分母为零，此时没有意义，故不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件是分母不为零，本题属于基础题型．
2．C
【分析】根据分式有意义的条件可得，再解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
3．B
【分析】分式的值为0，需满足分母不为0，分子为0，由此进行计算并选择即可．
【详解】解：的值为0，需满足，且，
由，则或，
当时，，舍去；
当时，，符合题意，
则
故选：B．
【点睛】本题考查分式为零的条件，能够熟练掌握分式为零的条件时解决本题的关键．
4．C
【分析】根据题意，把x，y的值同时扩大为原来的2倍，然后约分化简与原式进行比较即可．
【详解】解：由题意得，
分式的值扩大为原来的2倍
故选：C．
【点睛】本题考查分式的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
5．C
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：把分式中的x和y都扩大2倍得：
所以分式的值不变，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
6．A
【分析】根据分式运算法则进行分式化简．
【详解】A. ，不能再化简，为最简分式，符合题意；
B.可化简为，不是最简分式，不符合题意；
C.可化简为，不是最简分式，不符合题意；
D. 可化简为，不是最简分式，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了分式得化简；能够掌握分式的化简是解决问题的关键．
7．C
【分析】根据分式乘法运算法则计算即可获得答案．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
8．A
【分析】根据分式的加减运算即可求出答案．
【详解】解：原式
=1
故选：A
【点睛】此题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题关键．
9．D
【分析】分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式除以单项式运算法则计算出各项的结果，最后再进行判断即可得出结论．
【详解】解：A. ，故选项A计算错误。不符合题意；
B. ，故选项B计算错误。不符合题意；
C. ，故选项C计算错误。不符合题意；
D. ，计算正确，故选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式除以单项式运算，解答本题关键是掌握幂的相关运算法则．
10．D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11．C
【分析】根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际提前10天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原计划每天修路x公里，则实际每天修路公里，
依题意得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
12．1
【分析】先化简再将分子等于0计算即可．
【详解】解：
使分式的值为0，则且
故答案为：1
【点睛】此题考查分式化简求值，掌握分式值为零的条件是题关键．
13．
【分析】由可得，再将整体代入化简即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握整体代入方法．
14．
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂分别化简，再相加.
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则．
15．
【分析】根据根据积的乘方的运算法则，可得到，再根据单项式的除法法则以及负整数指数幂的运算法则可得．
【详解】解：原式
，
故答案为：
【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，单项式的除法法则，负整数指数幂的运算法则等知识点，熟记和灵活应用公式是解决问题的关键．
16．
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：纳米．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．
17．
【分析】由题意可得，再把代入正式方程中进行计算即可．
【详解】解：关于的分式方程无解，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解，明确分式方程无解的条件是解题关键．
18．(1)，
(2)，
【分析】（1）先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：原式
，
当时，原式．
（2）原式
，
把代入，原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式，单项式乘多项式的法则计算后合并同类项，再利用多项式除以单项式的法则计算即可；
（2）先通分计算括号内，再算除法进行化简，把进行变形，整体代入进行运算即可；
（3）先把括号打开，再用完全平方公式进行分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
，
∴，
原式；
（3）解：原式．
【点睛】本题考查的整式的混合运算、分式的化简求值以及利用公式法进行因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．(1)　　9
(2)
【分析】（1）根据整式的乘法，先把式子化为最简，再把代入计算即可；
（2）先把分式化为最简，再把代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
当时，
原式；
（2）
，
当时，
原式．
【点睛】本题考查了整式的乘法和分式的化简求值，解题的关键是注意把先把式子化为最简，再代值计算．
21．（1），4；（2）①：③，同分母相减时，约分时将分母全部约去了；②，
【分析】（1）根据分式乘除的运算法则，结合因式分解对原式进行化简，再将的值代入化简后的式子进行计算即可解答；
（2）①根据异分母分式加减法法则结合分式的基本性质进行解答即可；
②根据异分母分式加减法法则进行计算，然后再将的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】（1），
，
，
，
将时，原式
（2）①：③，同分母相减后的结果，约分时将分母全部丢了；
②
，
，
，
，
，
将时，原式
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，分式的基本性质，熟练掌握因式分解，分式的基本性质是解题的关键．
22．，
【分析】先将分式的分子分母进行因式分解，再将除法变成除法，再进行分式的乘法，最后化简，再将代入整式中即可．
【详解】解：
当时，原式
【点睛】本题考查分式的化简求值，能够熟练掌握分式的化简求值是解决本题的关键．
23．，
【分析】先将原式因式分解，再将除法变为乘法，最后通分，即可得出化简后的分式，结合使分式有意义的条件、三角形三条边的关系求出a的取值范围，，代入化简后的分式即可．
【详解】解：原式
且、、、
即
又因为a，2，4为的三边长，
，
当
所以：
原式
【点睛】本题考查分式的混合运算和求值，三角形三条边的关系以及一元一次不等式组的整数解的问题；正确的化简原分式是解答本题的关键．
24．(1)原方程无实根
(2)
【分析】（1）根据解分式方程的方法，移项，通分，求值，检验根是否符号题意，即可求解；
（2）根据乘方运算，非零数的零次幂，负指数幂的运算法则即可求解．
【详解】（1）解：
∴，
把代入原分式方程，原分式方程无意义，
∴原分式方程无实根．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查分式方程，含有乘方的有理数的运算，掌握分式方程的性质，混合运算法则，含有乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键．
25．(1)2
(2)
【分析】(1)首先根据负整数和零指数幂的运算法则，乘方运算法则，进行运算，再进行有理数的加减运算，即可求得结果；
(2)首先根据完全平方及平方差公式进行运算，再合并同类项即可求得结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．
26．（1）
（2）
（3）分式方程无解
【分析】（1）根据负整数指数幂的运算性质、零指数幂的运算性质、算术平方根的定义、绝对值的定义求解即可．
（2）根据完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式的运算性质求解即可．
（3）按照解分式方程的步骤，去分母得到整式方程，求解并检验即可得到答案．
【详解】（1）
（2）
（3）
方程两边乘，得
．
解得
．
检验：当时，，因此不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
【点睛】本题主要考查负整数指数幂的运算性质、零指数幂的运算性质、算术平方根的定义、绝对值的定义、完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式的运算性质、解分式方程，牢记解分式方程的步骤是解题的关键．
27．(1)100
(2)3570
(3)40
【分析】（1）设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套A型号的“文房四宝”的标价为元，根据购买A，B两种型号“文房四宝”共40套．列出分式方程，即可求解；
（2）算出打折后A型号的“文房四宝”需花费和打折后B型号的“文房四宝”需花费，即可求出总费用；
（3）该校购买了y套A型“文房四宝”，则购买了套B型“文房四宝”，根据该店获利不低于3800元，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套A型号的“文房四宝”的标价为元．
根据题意得：
解得：
经检验：是分式方程的解
答：每套B型号的“文房四宝”的标价为100元．
（2）由（1）得：每套A型号的“文房四宝”的标价为130元，
∴购买A型号的“文房四宝”共（套），
购买B型号的“文房四宝”共（套）
打折后，A型号的“文房四宝”需花费：（元）
打折后，B型号的“文房四宝”需花费：（元）
∴购买原定数量的A，B型号“文房四宝”共需花费（元）
答：购买原定数量的A，B型号“文房四宝”共需花费3570元
（3）由（2）得：打折后每套A型号的“文房四宝”的售价为：（元）
打折后每套B型号的“文房四宝”的售价为：（元）
设该校购买了y套A型“文房四宝”，则购买了套B型“文房四宝”，
由题意得：
解得：
答：该校至少买了40套A型“文房四宝”．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系或者不等关系，列出方程和不等式．
28．(1)一，常数项漏乘最简公分母
(2)，过程见解析
【分析】（1）根据解分式方程的步骤即可得到答案；
（2）按照解分式方程的正确步骤进行解答即可．
【详解】（1）解：上面的解题过程从第一开始出现错误，这一步错误的原因是常数项漏乘最简公分母；
故答案为：一，常数项漏乘最简公分母
（2）
解：方程两边同乘，得，
解得，
当时，，
∴原分式方程的解为．
【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
29．(1)，，
(2)12元
【分析】(1)由本周与上周该农产品单价间的关系可得出本周这种农产品的单价为元//千克，利用数量=总价÷单价，可得出上周和本周购买这种农产品的数量；
(2)由(1)的结论结合本周比上周多买了千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】（1）解：完成表格如下：
时间 单价（元/） 重量（）
上周 x
本周
故答案为：，，；
（2）解：设上周榴莲的单价为x元/，
由题意，得，
解得，，
经检验，是原方程的解，
故该种榴莲每千克的价格便宜了：(元)，
答：该种榴莲每千克的价格便宜了12元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量及找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
30．(1)①③④
(2)
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义对①③④进行变形解答；
（2）由化简解答即可．
【详解】（1）解：①，是“和谐分式”；②不是“和谐分式”；③，是“和谐分式”；④，是“和谐分式”
故答案为：①③④；
（2）．
【点睛】本题考查分式的化简求值及分式的定义，掌握分式的基本性质是解题关键．