2015版高中物理人教版选修3-4讲义：11.6　《机械振动》整合与评价

课时11.6　《机械振动》整合与评价
　　1.通过观察和分析,理解简谐运动的特征。能用公式和图象描述简谐运动的特征。
2.通过实验,探究单摆的周期与摆长的关系。知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。会用单摆测定重力加速度。
3.通过实验,认识受迫振动的特点。了解产生共振的条件,以及共振在技术上的应用。
重点难点:简谐运动的公式、振动图象和单摆周期公式。
教学建议:机械振动是质点运动的一种形式, ( http: / / www.21cnjy.com )通过本章的学习,要对质点运动的认识更加全面和深入。要掌握简谐运动的概念,理解简谐运动过程中各量的变化规律,并能用图象表达。掌握单摆的周期公式,并能应用其处理实际问题。
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主题1:简谐运动的图象
问题:简谐运动的图象遵从正弦或余弦函数的规律,并包含着简谐运动的规律。综合本章所学知识,跟同学交流讨论从图象可以获取哪些信息。
解答:(1)从一个振动的图象形式上便可快速判断它是不是简谐运动。
(2)从图象上可直接读出振幅A和周期T;可看出任一时刻的速度方向、加速度方向、回复力方向、位移大小和方向。
(3)可以判定任一时刻速度的变化趋势,加速度和回复力大小的变化趋势,位移大小的变化趋势,等等。
(4)可以比较不同时刻位移的大小和方向、加速度和回复力的大小和方向、速度的大小和方向。
知识链接:简谐运动的图象通常称为振动图象,反映了某个质点振动位移随时间的变化规律,好像对某个质点进行“录像”一样。
　　主题2:简谐运动的表达式
问题:简谐运动的对称性体现在哪些方面 请跟同学们交流合作,总结出答案。
解答:(1)速率的对称性:系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率。
(2)时间的对称性:系统在通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等。在振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过这两点的时间相等。
(3)加速度的对称性:系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度。
知识链接:对称性是简谐运动的重要规律,要注意理解和运用,掌握对称性可提高大家的思维能力,包括思维的多向性和严密性。
拓展一:简谐运动的图象
简谐运动的图象是周期性的正弦或余弦曲线。简 ( http: / / www.21cnjy.com )谐运动的特点具有简单的周期性、重复性、对称性。对简谐运动图象进行分析,可求振幅A,周期T,任一时刻振动质点的位移、加速度的方向、速度的方向和某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等物理量的变化情况。
1.
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水平放着的劲度系数为20 N/cm的弹簧振子,它的振动图象如图所示,则在图中A点对应的时刻(　　)。
A.振子所受的弹力大小为0.5 N,方向指向x轴的负方向
B.振子的速度方向指向x轴的正方向
C.0~4 s内振子做了1.75次全振动
D.0~4 s内振子通过的路程为0.35 cm,位移为0
问1:A点对应的形变量是多少 弹力多大
答1:形变量为0.25 cm,弹力大小为5 N。
问2:A点对应的时刻振子的速度方向怎样
答2:A点对应的时刻振子的速度指向x轴正方向。
问3:0~4 s内振子完成几次全振动 路程是多少
答3:2次,4 cm。
【解析】由图可知A在t轴上方,位移x=0. ( http: / / www.21cnjy.com )25 cm,所以弹力F=-kx=-5 N,即弹力大小为5 N,方向指向x轴负方向,选项A不正确;由图可知过A点作图线的切线,该切线与x轴正方向的夹角小于90°,切线斜率为正值,即振子的速度方向指向x轴正方向,选项B正确;由图可看出,t=0、t=4 s时刻振子的位移都是最大,且都在t轴的上方,0~4 s内完成两次全振动,选项C错误;由于t=0时刻和t=4 s时刻振子都在正向最大位移处,所以0~4 s内振子的位移为零,又由于振幅为0.5 cm,在0~4 s内振子完成了2次全振动,所以在这段时间内振子通过的路程为2×4×0.5 cm=4 cm,故选项D错误。
【答案】B
【点拨】图象法是物理学上常 ( http: / / www.21cnjy.com )用的一种思维方法,它能够形象直观地反映物理规律,帮助我们认识物理现象,解决物理问题。用图象来描述物体的振动时,应注意物体振动的周期、振幅、相位等。
　　2.一质点做简谐运动的振动图象如图所示。
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(1)该质点振动的振幅是　　　cm;周期是　　　　s;初相位是　　　　。
(2)写出该质点简谐运动的表达式,并求出当t=1 s时质点的位移。
【解析】(1)由图象可得出振幅、周期、初相位,即A=8 cm,T=0.2 s,φ=。
(2)根据x=Asin(ωt+φ),ω=,知A和φ为振幅和初相位,且=10π rad/s,故质点简谐运动的表达式为x=8sin(10πt+) cm。将t=1 s代入即可求出位移x=8 cm。
【答案】(1)8　0.2　　(2)x=8sin(10πt+) cm　8 cm
　　拓展二:简谐运动的周期性和对称性
简谐运动具有周期性,即做简谐运动的质点 ( http: / / www.21cnjy.com )每经过一个周期,它的位移、速度、加速度等物理量都恢复原值,其运动周期T的大小由振动系统本身的性质决定。
简谐运动的对称性是指振子经过关于平 ( http: / / www.21cnjy.com )衡位置对称的两位置时,振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度等均是等大的(位移、回复力、加速度的方向相反,速度的方向不确定)。
甲
3.如图甲所示,一个做简谐运动的质 ( http: / / www.21cnjy.com )点先后以同样的速度通过相距为10 cm 的A、B两点,历时0.5 s。过B点后再经过t=0.5 s质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点,则质点振动的周期是(　　)。
A.0.5 s　 　B.1.0 s 　　C.2.0 s　 　D.4.0 s
问1:质点做简谐运动的平衡位置在哪
答1:在AB的中点。
问2:质点从平衡位置运动到B点需多长时间
答2:需0.25 s。
问3:质点从B点运动到最大位移处需多长时间
答3:需0.25 s。
【解析】
乙
根据题意,由振动的对称性可知:AB的中点(设为O)为平衡位置,A、B两点对称分布于O点两侧,如图乙所示。质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB=×0.5 s=0.25 s。质点从B向右运动到达右方最大位移处(设为D)的时间tBD=×0.5 s=0.25 s,所以,质点从O到D的时间tOD=T=0.25 s+0.25 s=0.5 s,所以T=2 s。
【答案】C
【点拨】①周期性——简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后,能恢复到原来的状态。
②对称性——简谐运动的物体具有相对平衡位置的对称性。
物体做简谐运动时,再次经过同一位置时,振子的位移相同,回复力、加速度、动能和势能也相同,速度的大小相等,但方向可相同,也可相反。在关于平衡位置对称的两个位置,动能、势能对应相等,回复力、加速度大小相等,方向相反;速度的大小相等,方向可相同,也可相反;一个做简谐运动的质点,经过时间t=nT(n为正整数),质点必回到出发点,而经过时间t=(2n+1)(n为正整数),质点所处位置必与原来位置关于平衡位置对称。
　　4.如图所示,两木块的质量分别为m、M, ( http: / / www.21cnjy.com )中间弹簧的劲度系数为k,弹簧下端与M连接,m与弹簧不连接,现将m下压一段距离释放,它将上下做简谐运动,振动过程中,m始终没有离开弹簧,试求:
(1)m振动时振幅可能的最大值。
(2)m以最大振幅振动时,M对地面的最大压力。
【解析】(1)在平衡位置时,设弹簧的压缩量为x0,则kx0=mg。
要使m振动过程中不离开弹簧,m振动的最高点不能高于弹簧原长处
所以m振动的振幅的最大值A=x0=。
(2)m以最大振幅A振动时,振动到最低点,弹簧的压缩量最大,为2A=2x0=
对M受力分析可得:FN=Mg+k·=Mg+2mg
由牛顿第三定律得,M对地面的最大压力为Mg+2mg。
【答案】(1)　(2)Mg+2mg
拓展三:单摆周期公式的应用
等效单摆的周期公式T=2π中,g'是等效重力加速度。等效重力加速度g'由单摆所在的空间位置决定,一般情况下等效重力加速度g'等于摆球静止时摆线的张力(视重)与摆球质量的比值。
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5.如图所示,在水平地面上 ( http: / / www.21cnjy.com )有一段光滑圆弧形槽,弧的半径是R,所对圆心角小于10°。现在在圆弧的右侧边缘M处放一个小球A,使其由静止下滑,则:
(1)球由M至O的过程中所需时间t为多少 在此过程中能量如何转化(定性说明)
(2)若在MN圆弧上存在两点P、Q,且P、Q关于O对称,已测得球A由P直达Q所需时间为Δt,则球由Q至N的最短时间为多少
问1:圆弧所对圆心角小于10°说明什么问题
答1:说明小球在光滑圆弧槽上的运动可看成简谐运动,可视为等效摆。
问2:单摆的周期公式是什么
答2:单摆的周期公式是T=2π。
问3:P、Q关于O点对称说明什么问题
答3:P、Q关于O点对称说明由P到O和由O到Q的时间相等。
【解析】(1)由单摆周期公式T=2π知,球A的运动周期T=2π,所以tMO=T=。在由M→O的过程中球A的重力势能转化为动能。
(2)由对称性可知tOQ=Δt,tOQ+tQN=T,联立得Q至N的最短时间tQN=-Δt。
【答案】(1)　重力势能转化为动能
(2)-Δt
【点拨】要抓住圆弧光滑且 ( http: / / www.21cnjy.com )圆心角小于10°这两个条件,此隐含条件意味着小球的运动可等效为单摆,即球在圆弧上做简谐运动。从而利用简谐运动的周期性和对称性以及机械能守恒定律解决问题。本题易出现的错误是不会利用简谐运动的对称性。
　　6.已知单摆摆长为l,悬点正下方处有一个钉子,如图所示。若让摆球做小角度摆动,其周期将是多大
【解析】该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动,周期分别为T1=2π和T2=π,因此该摆的周期:T=+=。
【答案】
一、物理百科
钟摆的发现
1583年的一天,伽利略早早来到教堂做 ( http: / / www.21cnjy.com )礼拜。此时,教堂的大门刚刚打开,当伽利略随着三三两两的人群走入大厅时,第一束晨光才从天窗中射入教堂,因此,整个空间还是浑黑一片,礼拜还没有开始,于是他摸黑坐了下来,默默地开始了虔诚的祈祷。
忽然,伽利略觉得眼前渐渐明亮起来,地上 ( http: / / www.21cnjy.com )桌椅的影子随着本身清晰度的增加在不断地晃动。他下意识地抬起头,原来,一个勤杂工在点燃教堂里的豪华的大吊灯之后,没有把它放稳,因此,大吊灯开始不停地摇摆。
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原来如此。伽利略正准备继续他的祈祷 ( http: / / www.21cnjy.com ),这时,他猛然意识到,大吊灯摆动的周期似乎总是恒定的,于是他马上停止了祈祷,开始进一步观察。当时由于没有一种精确的计时器,人们想测得一段精确的时间,就只能通过数着自己的脉搏来计时,当然,这种方法是很不准确的,因为不仅不同人的心率不同,即使是同一个人,在不同的条件下心率也是不同的。尽管如此,这在当时也还是人们普遍应用的计时方法。经过一段时间的按脉计时,伽利略发现,吊灯摆动的幅度虽然在逐渐减小,但周期始终是相等的。他为这一伟大的发现而兴奋,立即跑回家中。
回到家里,他先是爬上了屋顶拴了一根长长的 ( http: / / www.21cnjy.com )绳子吊在地上,然后,他把一切能找到的东西,诸如茶缸、书籍、枕头、椅子都依次拴在绳子上摆动计时。经过几天的观察发现,不管绳子吊着的物体多重,也不管振动的幅度多大,只要摆长一定,周期始终是相等的,这就是单摆的“等时性”。此时伽利略年仅18岁。
二、备用试题
1.登山运动员登雪山时,不许高声叫喊,主要原因是(　　)。
A.避免产生回声
B.减小对雪山的冲击
C.避免使雪山共振
D.使登山运动员耗散能量减少
【解析】登山运动员登雪山时,山上常年积雪,雪山内部温度高,有部分雪熔化成水,对雪山积雪有润滑作用,高声叫喊,容易引起雪山共振发生雪崩。
【答案】C
2.一弹簧振子的周期为2 s,当振子从平衡位置向右运动开始计时,经12.6 s时振子的运动情况是(　　)。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.向右减速 B.向右加速
C.向左减速 D.向左加速
　　【解析】由简谐运动的周期性可知,经12.6 s,振子振动了6个周期,整数个周期中振子重复以前的运动形式,故分析经个周期后的运动情况即可。【答案】D
3.下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系,若该振动系统的固有频率为f固,则(　　)。
驱动力频率/Hz 30 40 50 60 70 80
受迫振动的振幅/ cm 10.2 16.8 27.12 28.1 16.5 8.3
　　A.f固=60 Hz B.60 HzC.50 Hz【解析】由表中数据可知,当驱动力的频 ( http: / / www.21cnjy.com )率由50 Hz增大到70 Hz的过程中,受迫振动的振幅先增大后减小,说明振动系统的固有频率f固应为50 Hz【答案】C
( http: / / www.21cnjy.com )
4.在光滑水平面上的O点系一长为l的绝 ( http: / / www.21cnjy.com )缘细线,线的另一端系一质量为m、带电荷量为q的小球,当沿细线方向上加上电场强度为E的匀强电场后,小球处于平衡状态。现给小球一垂直于细线的初速度v0,使小球在水平面上开始运动,如图所示,若v0很小,则小球第一次回到平衡位置所需时间为多大
【解析】小球的运动类似于一单摆运动,其回复力由电场力Eq沿运动圆弧切线方向的分力提供,周期公式T=2π中,g=
小球从开始运动到第一次回到平衡位置所用时间t==π。
【答案】π