5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（2）两角和（差）的正弦、余弦、正切公式 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
第5章 三角函数
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和（差）的正弦、正切公式； 1.数学推理素养.
2.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行的三角恒等变换（求值、化简、证明）. 2.逻辑推理素养、数学运算素养.
温故知新
一、两角差的余弦公式是如何推导的？
根据三角函数的定义及圆的旋转对称性，借助两点间距离的坐标公式推导的.
二、两角差的余弦公式
三、两角差的余弦公式的结构特征
左边两角差的余弦，右边是同名三角函数积的和.公式要诀：“余余正正符号反”.
新知探究
由公式出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
对于公式，比较与
,你发现了什么？
可以得到，
于是得到两角和的余弦公式，简记作C(α+β)
请同学们指出该公式的特点！
（C(α+β)）
两边的符号相反，右边的积中函数同名， 且余弦在前正弦在后.
新知探究
前面得到了和与差的余弦公式.我们知道，用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的转化.你能根据、及诱导公式五（或六），推导出用任意角
的正弦、余弦 的公式吗？
比较与,你发现了什么？
于是得到两角差的正弦公式，简记为S(α-β)
（S(α-β)）
新知探究
再用前面的方法，可以得到
于是得到两角和的正弦公式，简记为S(α+β)
（S(α+β)）
两边的符号相同，右边的积中的函数异名， 且正弦在前余弦在后.
观察，,可以发现
你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从出发，推导出用任意角的正切表示的公式吗？
新知探究
于是得到两角和的正切公式，简记为T(α+β)
（T(α-β)）
分子分母同除以
同理或由T(α+β)可得到两角和的正切公式，简记为T(α-β)
（T(α+β)）
右边的是一个分式，分子的运算符号与左边相同，分母的运算符号与左边不同.
新知探究
（T(α-β)）
（T(α+β)）
应注意：
⑴必须再定义域范围内使用公式.即只要有一个不存在，就不能使用该公式，就只能用诱导公式来解.例如：已知求不能用.
⑵注意公式结构，尤其是符号.
新知探究
（S(α+β)）
（S(α-β)）
（C(α+β)）
（C(α-β)）
（T(α+β)）
（T(α-β)）
把三个公式 叫做和角公式；把三个公式叫做差角公式.
和（差）角公式中，都是任意角.如果令某些特殊角，就能得到许多有用得公式.你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？
新知形成
解：
【例1】已知是第四象限角，求的值.
∵,是第四象限角，
∴
想一想：对于，还有没有其它求法？
.
.
∴
.
新知形成
解：
【例1】已知是第四象限角，求的值.
∵
想一想：①还有其它求法吗？哪一种更方便？
②可以作为一个结论，逆用可以方便求解一些式子的值.
.
∴
初试身手
解：
1.利用和（差）角公式，求下列各式值：
⑴; ⑵; ⑶; ⑷.
P220练习
学生先给出解答.
⑴
.
⑵
.
⑶
.
⑷
.
试一试：本题各小题还有其它解法，你能找到吗？
初试身手
解：
2.⑴已知，求得值;
⑵已知是第三象限角，求的值;
⑶已知，求的值.
P220练习
学生先给出解答.
⑴∵，∴
则.
⑵∵是第三象限角，∴.
则.
⑶∵,∴
.
新知形成
解：
【例2】利用和（差）角公式计算下列各式的值：
⑴; ⑵;
⑶ ; ⑷.
⑴由公式，得
.
⑵由公式，得
新知形成
解：
【例2】利用和（差）角公式计算下列各式的值：
⑴; ⑵;
⑶ ; ⑷.
则.
⑷由公式，得
∴
⑶由公式及,得
.
新知形成
利用和（差）角公式化简求值的常用技巧
1.逆用和（差）角公式：因为和（差）角公式的原形是由简到繁的形式，逆用这些公式便可起到化简的效果.
2.变角：把已知非特殊角化为两个特殊角的和（差），然后利用和（差）角公式求解.
3.注意1的代换：将常数1换成tan 45°或将常数1换成sin 2α+cos 2α等.
初试身手
3.求下列各式值：
⑴； ⑵；
解：
⑴由公式，得
⑵由公式，得
P220练习
学生先给出解答.
初试身手
3.求下列各式值：
⑶； ⑷；
解：
⑶由公式，得
⑷由公式，得
P220练习
学生先给出解答.
初试身手
3.求下列各式值：
⑸； ⑹.
解：
⑸由公式，得
.
⑹由公式，得
P220练习
学生先给出解答.
新知探求
【例3】⑴ ;
解：
方法1：
.
.
.
.
.
方法2：
方法3：
.
注意：方法1正用和（差）角公式，方法2、方法3逆用和（差）角公式，变形方法不同.
新知探求
【例3】⑵已知函数,求的周期、值域、单调递增区间;
解：
.
∴,值域为[-2,2].
.
则的单调递增区间为.
.
.
由,得
新知探求
【例3】⑶已知函数在上的最大值是2,则= ,= .
解：
∵
则当，即时，有最大值,
∴时，,
.
∴.
归纳：本例中的3道题都是形式问题.一般进行如下变形：
,令,（其中角所在象限由确定，值由确定）.此公式叫辅助角公式.
新知探求
辅助角公式的作用
1.辅助角公式(或)是逆用了和（差）角的公式，这一变换的重要作用是化为一个三角函数，更有利于研究函数性质.
2.对于形如等三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，利用和（差）角的正、余弦公式化简为含一个三角函数的形式.在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值、化简、证明的变换过程中，一定要本着先整体后局部的原则.
初试身手
4.化简：
⑴ ; ⑵;
解：
⑴
.
.
⑵
.
P220练习
初试身手
4.化简：
⑶ ; ⑷;
解：
⑶
.
⑷
.
P220练习
.
.
课堂小结
1.三组公式
2.公式变换路径
口诀：正余余正符号同
口诀：余余正正符号反
口诀：切切相加减除以1与两切之积相减加
课堂小结
3.和（差）角公式应用
4.辅助角公式
⑴变角：
等.
⑵变公式：公式可正逆运用，也可变形运用.特别要注意变形运用.
辅助角公式(或)，其中角所在象限由确定，值由确定.
作业布置
作业：P228 习题5.5 第4,5,6⑵⑶⑸⑹题.
补充：
1.已知求的值.
2.若,则= .
3.已知函数,求的周期、最小值及取最小值时的x的值.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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