2023-2024学年上海市曹杨第二中学高二年级上学期
12月月考数学试卷
2023.12
一、填空题 (本大题共有12小题，满分36分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-12题每个空格填对得3分，否则一律得0分.
1.若，则______.
2.用组合成没有重复数字的三位数，从中随机地取一个，取得的数为偶数的概率是______.
3.记一个正方体的表面积为，正方体的内切球的表面积为，则______.
4.的二项展开式中的常数项为______.
5.6名同学排队站成一排，要求甲乙两人不相邻，共有______种不同的排法
6.有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书连排排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排成一起的排法有______种排法
7.从的展开式各项的系数中任取两个，其和为奇数的概率是______.
8.已知随机变量的分布为，且，则______.
9.6个人站一排，在甲不在排头的条件下， 乙不在排尾的概率为______.
10.圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是______.
11.从这99个自然数中，每次任取5个不同的数，若5个数能组成等差数列，则这样的等差数列共有______个
12.化简：______.
二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为（ ）
A. B. C. D.
14.下列各式中不能判断事件与事件独立的是（ ）
A. B.
C. D.
15.已知各顶点都在一个球面上的正三棱柱的高为2，这个球的体积为，则这个正三棱柱的体积为（ ）
A. B. C.6 D.4
16.已知随机变量的分布为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
三、解答题 (本大题满分48分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
抛掷一颗均匀的骰子，设事件表示“点数为奇数”，事件表示“点数不超过2”
（1）用列举法写出一个等可能得样本空间，并求
（2）再抛掷一次骰子，设事件表示“两次点数的差的绝对值不小于4”，用描述法写出一个等可能的样本空间，并求
18.（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为
（1）求该半球的体积
（2）若从半球中把正四棱锥挖去，求所得几何体的表面积。
19.（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，又知这四条流水线的产品不合格率依次为和
（1）每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自同一流水线的概率；
（2）从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少？
20.（本题满分11分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题4分）
若
（1）求的值
（2）求的值
（3）求的值
21.（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分）
一个不透明的箱子重放着大小质地均相同的10个红球和90个白球
（1）甲从箱子中随机拿走了一部分球，箱子中还剩几个球的可能性最大？
（2）设随机变量表示甲从箱子中拿走的球的个数，求的值；
（3）甲从箱子中随机拿走了20个球，其中有几个红球的可能性最大？2023-2024学年上海市曹杨第二中学高二年级上学期
12月月考数学试卷
2023.12
一、填空题 (本大题共有12小题，满分36分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-12题每个空格填对得3分，否则一律得0分.
1.若，则______.
【答案】10
【解析】由组合的性质即可得
2.用组合成没有重复数字的三位数，从中随机地取一个，取得的数为偶数的概率是______.
【答案】
【解析】
3.记一个正方体的表面积为，正方体的内切球的表面积为，则______.
【答案】
【解析】设正方体的棱长为，则
正方体的内切球的半径为，则
4.的二项展开式中的常数项为______.
【答案】
【解析】设为常数项，则
的二项展开式中的常数项为
5.6名同学排队站成一排，要求甲乙两人不相邻，共有______种不同的排法
【答案】
【解析】插空法，
6.有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书连排排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排成一起的排法有______种排法
【答案】
【解析】捆绑法
7.从的展开式各项的系数中任取两个，其和为奇数的概率是______.
【答案】
【解析】的展开式各项的系数为
奇数有4个，偶数2个
则系数中任取两个，其和为奇数的概率是
8.已知随机变量的分布为，且，则______.
【答案】
【解析】
9.6个人站一排，在甲不在排头的条件下， 乙不在排尾的概率为______.
【答案】
【解析】
10.圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是______.
【答案】4
【解析】设球半径为，则由可得，可得
解得
11.从这99个自然数中，每次任取5个不同的数，若5个数能组成等差数列，则这样的等差数列共有______个
【答案】2352
【解析】当公差为1时，，共95个
当公差为2时，，共91个
当公差为3时，，共87个
以此类推
当公差为24时，，共3个
则总的情况是1176
因为数列还可以从大到小，所以共2352个
12.化简：______.
【答案】
【解析】
二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】一个家庭中有两个小孩只有四种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}
记事件为“其中一个是男孩”，事件为“其中一个是女孩”
则={（男，女），（女，男），（男，男）}
={（男，女），（女，男），（女，女）}
{（男，女），（女，男）}
于是可知，
则
故选C
14.下列各式中不能判断事件与事件独立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
故选C
15.已知各顶点都在一个球面上的正三棱柱的高为2，这个球的体积为，则这个正三棱柱的体积为（ ）
A. B. C.6 D.4
【答案】B
【解析】设球的半径为R，则
又正三棱柱的高为，
由正弦定理得底面等边三角形的边长为
则这个正三棱柱的体积为
故选B
16.已知随机变量的分布为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知
故选D
三、解答题 (本大题满分48分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
抛掷一颗均匀的骰子，设事件表示“点数为奇数”，事件表示“点数不超过2”
（1）用列举法写出一个等可能得样本空间，并求
（2）再抛掷一次骰子，设事件表示“两次点数的差的绝对值不小于4”，用描述法写出一个等可能的样本空间，并求
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由题意掷一颗均匀的骰子，出现的点数有6中结果，
事件A包含的结果有1点，3点，5点，事件B包含的结果有1点，2点
则
（2）两次抛掷的点数记为，则基本事件有种
事件C：两次点数相差4包含的结果有共4中
故
18.（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为
（1）求该半球的体积
（2）若从半球中把正四棱锥挖去，求所得几何体的表面积。
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）连接交点为，设球的半径为
由题意可知，则
四棱锥的体积为，解得
则该半球的体积为
（2）由题意知
所得几何体的表面积为
19.（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，又知这四条流水线的产品不合格率依次为和
（1）每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自同一流水线的概率；
（2）从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少？
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）这两件产品来自同一流水线的概率为
（2）从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是
20.（本题满分11分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题4分）
若
（1）求的值
（2）求的值
（3）求的值
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）令，则①
（2）令，则②
令，则
（3）
即为含项的系数，为
则
21.（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分）
一个不透明的箱子重放着大小质地均相同的10个红球和90个白球
（1）甲从箱子中随机拿走了一部分球，箱子中还剩几个球的可能性最大？
（2）设随机变量表示甲从箱子中拿走的球的个数，求的值；
（3）甲从箱子中随机拿走了20个球，其中有几个红球的可能性最大？
【答案】（1）50；（2）50；（3）2个
【解析】
（1）设拿走个球，则剩余个球的概率最大
则最大，即时，可能性最大
（2）由题意可得分布列为
0 1 2 3 100
令
则
又
由组合的对称性知
则①+②得
（3）设个红球的可能性最大，即
则
则有2个红球的可能性最大.
