12月月考数学试卷答案
1-8 B D B CA C D C 9-12 BCD BC ACD BCD
13.50 14. 15．． 16.
17【详解】,，
且所以，数列是等差数列，且首项为1，公差为1，
．
18.（1）=
（2）【详解】对任意的，，则，
当时，则有，可得；
当时，，即，
所以，数列是等差数列，首项为，公差为，
所以，，则，故当时，，
也满足，故对任意的，.故答案为：.
.19．【详解】（1）将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，，
要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足
，解得；
（2）设，
则由（1）知：.由，得：，
所以.又，所以点D的纵坐标为定值.
20．已知圆C：．
(1)设点，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程；
(2)设P是直线上的点，过P点作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，求证：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
【详解】（1）根据题意，圆C的方程为，其圆心C为（2，0），半径，
若直线l的斜率不存在，即，代入圆方程得，，即，成立；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，
若，则圆心C到直线l的距离，则，解得，
即直线l的方程为，化简得
综上所述，直线l的方程为或．
（2）由于P是直线上的点，设，由切线的性质得AC⊥PA，BC⊥PB，
经过A，P，C，的三点的圆，即为以PC为直径的圆，
PC的中点坐标为，且，
所以圆的方程为，
整理得，
令，解得或．
则经过A，P，C三点的圆必过定点，所有定点的坐标为．
21．【详解】（1）焦点，∵，∴
抛物线E的标准方程为
（2）显然．直线斜率存在，设的方程为
由，化简得：，
设，则，∴ ①
直线的方程为，
由化简得：，
设则 ②
由①②得，∴ ③
（ⅰ）若直线没有斜率，则，又，∴，∴，
∴的方程为．
（ⅱ）若直线有斜率，为，
直线的方程为，即，
将③代入得，∴，
故直线有斜率时过点．由（ⅰ）（ⅱ）知，直线过点．
（3）
由（2）得，
，∴，且，
设，
∵，且，∴∴，故的取值范围是．
22．【详解】（1）由题知，椭圆的焦点为，，
故可设椭圆的方程为，将点代入可得，解得，
所以椭圆得方程为.
（2）（i）易知，由椭圆对称性可知，不妨设，；
根据题意可知直线斜率均存在，且，；
所以直线的方程为，的方程为；
联立直线和椭圆方程，消去可得；
由韦达定理可得，解得，则；
联立直线和椭圆方程，消去可得；
由韦达定理可得，解得，则；
则，；
所以；
即可知为钝角，所以点B在以为直径的圆内；
（ii）易知四边形的面积为，
设，则，当且仅当时等号成立；
由对勾函数性质可知在上单调递增，所以，可得，
所以时，四边形的面积最大为6，此时点的坐标为，
由对称性可知，即当点的坐标为或时，四边形的面积最大，最大值为6.2023-2024武汉三中高二年级12月月考数学试卷
单选题
1．已知双曲线过点，且与双曲线：有相同的渐近线，则双曲线的焦距为（ ）
A．7 B．14 C． D．
2.已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（ ）
A．3 B．3或7 C．5 D．7
3. 在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10等于( )
A．10 B．100 C．110 D．120
4.已知等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．60 B．120 C．180 D．240
5．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，满足，则（ ）
A． B． C． D．
6在等比数列中，，，成等差数列，则（ ）
A． B． C．2 D．4
7．已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线的斜率为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为（ ）．
A. C. D.
多选题
9.．方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程表示椭圆B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
C．当时，方程表示圆 D．当或时，方程表示双曲线
10. 已知首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，则下列说法中正确的是( )
A．若S10＝0，则S2＋S8＝0 B．若S4＝S12，则使Sn>0的最大的n的值为15
C．若S15>0，S16<0，则{Sn}中S8最大 D．若S711．如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则此二双曲线互为共轭双曲线.已知双曲线与互为共轭双曲线，设的离心率为，的离心率为，则（ ）
A．若，则 B．的最小值为4
C．的最小值为4 D．的最大值为
12．已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．∠AOB有可能为锐角 B．以为直径的圆与l相切
C．的最小值为32 D．△AEF和△BFD面积之和最小值为32
填空题
13.．若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为
14.设等差数列，的前项和分别为，，都有，则的值为
15．已知椭圆C：上存在关于直线l：对称的点，则实数m的取值范围为
16.．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为
四、解答题
17．在数列中，
（1）求证：数列是等差数列（2）求的通项公式；
设是数列的前项和，，
（1）求的通项公式.
19．已知直线与双曲线的右支交于不同的两点和，与轴交于点，且直线上存在一点满足（不与重合）．
(1)求实数的取值范围；(2)证明：当变化时，点的纵坐标为定值．
20．已知圆C：．
(1)设点，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程；
(2)设P是直线上的点，过P点作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，求证：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
21．已知点F为抛物线E：（）的焦点，点P（ 3，2），，若过点P作直线与抛物线E顺次交于A，B两点，过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C．
(1)求证：直线BC过定点；
(2)若直线BC所过定点为点Q，△QAB，△PBC的面积分别为S1，S2，求的取值范围
23．椭圆与双曲线有相同的焦点，且过.
(1)求椭圆的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，.
（i）证明：点B在以为直径的圆内；
（ii）求四边形面积的最大值.
