15.3.1 分式方程的解法 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 15.3.1 分式方程的解法 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-24 18:10:24 | ||
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文档简介
15.3 分式方程
15.3.1 分式方程的解法
【知识重点】
知识点1 分式方程的概念
1. 分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2. 判断一个方程是分式方程的条件
(1)是方程；
(2)含有分母；
(3)分母中含有未知数.
以上三者缺一不可.
特别解读
识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的性质变形.
知识点2 分式方程的解法
1. 解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程.
2. 解分式方程的一般步骤
3. 检验分式方程解的方法
(1)将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
(2)也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确.
4. 增根 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0, 则这个解叫做原分式方程的增根.
特别解读
① 解分式方程的关键是去分母. 去分母时不要漏乘不含分母的项，当分子是多项式时要用括号括起来.
② 解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去.
3. 对增根的理解：
(1) 增根一定是分式方程化为的整式方程的解；
(2) 若分式方程有增根，则必是使最简公分母为0 时未知数的值.
【经典例题】
【例1】判断下列方程是不是分式方程，并说明理由.
(1)＝8； (2)＝；(3)＝1；
(4)＝；(5)－2＝x(a为非零常数).
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有未知数进行识别.
【例2】解下列方程：
(1)＝；(2)＝－2；
(3)－＝1；(4)＋＝.
解题秘方：将分式方程转化为整式方程，通过求整式方程的解并检验，从而得到分式方程的解.
【同步练习】
一、选择题
1．下列方程是分式方程的是( )
A．6x2＋4x＋1＝0 B．＝ C.＋4＝ D．＝0
2．下列方程中，不是分式方程的是( )
A.x＋5＝0 B．＝1 C．x2＋＝1 D．－＝0
3．下列分式方程中有解的是( )
A．＝0 B．＝0 C．＝0 D．＝0
4．若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，则m的值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
5．将分式方程1－＝去分母，得到正确的整式方程是( )
A．1－2x＝3 B．x－1－2x＝3 C．1＋2x＝3 D．x－1＋2x＝3
6．把分式方程＝转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )
A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4)
7．将方程＝2－去分母化简后，可得到的方程是( )
A．x2－2x－3＝0 B．x2－2x－5＝0 C．x2－3＝0 D．x2－5＝0
8．若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，则m的值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
9．对于非零的两个实数a、b，规定a b＝－，若2 (2x－1)＝1，则x的值为( )
A. B． C． D．－
10．若分式方程＋＝有增根，则实数a的取值是( )
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
11．关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是( )
A．a＞－1 B．a＞－1且a≠0 C．a＜－1 D．a＜－1且a≠－2
12．关于x的分式方程＝有解，则字母a的取值范围是( )
A．a＝5或a＝0 B．a≠0 C．a≠5 D．a≠5且a≠0
二、填空题
13．下列说法中：①＋3＝的解为x＝2；②－＝的解为x＝2；③－3＝的解为x＝1；④＋1＝的解为x＝0；⑤＝的解为x＝4，其中不正确的有
(填序号)．
14．当m＝ 时，解分式方程＝会出现增根．
15．若关于x的方程＝＋1无解，则a的值是 ．
16．对于非零实数a，b，规定a?b＝－，若(2x－1)?2＝1，则x的值为___.
17．若方程－1＝的解与方程＝3的解相同，则a＝______.
18．请选择一组m、n的值，写出一个关于x的分式方程如＝n，使它的解是x＝0，这样的分式方程可以是 ．
三、解答题
19．解下列方程：
(1)＋＝0；
(2)－＝.
20．解方程：＝1＋.
21．解下列方程：
(1)＋＝；
(2)＝－.
22．设A＝，B＝＋1，当x为何值时，A与B的值相等？
23．如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是－4，，且点A，B到原点的距离相等，求x的值．
24．如果关于x的方程1＋＝的解也是不等式组的一个解，求m的取值范围．
25．阅读下列材料：
方程－＝－的解为x＝1；方程－＝－的解为x＝2；方程－＝－的解为x＝3；…
(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并猜想这个方程的解；
(2)利用(1)中所得的结论，写出一个解为x＝2 023的分式方程．
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参考答案
【经典例题】
【例1】判断下列方程是不是分式方程，并说明理由.
(1)＝8； (2)＝；(3)＝1；
(4)＝；(5)－2＝x(a为非零常数).
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有未知数进行识别.
解：(1)不是分式方程，因为分母中不含有未知数.
(2)是分式方程，因为分母中含有未知数.
(3)是分式方程，因为分母中含有未知数.
(4)是分式方程，因为分母中含有未知数.
(5)不是分式方程，因为分母中虽然含有字母a，但a为非零常数，不是未知数.
【例2】解下列方程：
(1)＝；(2)＝－2；
(3)－＝1；(4)＋＝.
解题秘方：将分式方程转化为整式方程，通过求整式方程的解并检验，从而得到分式方程的解.
解：(1)方程两边乘(x－4)(x－6)，
得x(x－6)＝(x＋2)(x－4). 解得x＝2.
检验：当x＝2 时，(x－4)(x－6)≠ 0.
∴原分式方程的解为x＝2.
(2)方程两边乘(x－3)，得2－x＝－1－2(x－3).
解得x＝3.
检验：当x＝3 时，x－3＝0，
∴ x＝3不是原分式方程的解.
∴原分式方程无解.
(3)方程两边乘3(x－1)，
得4x＋6－3(5x－4)＝3(x－1). 解得x＝.
检验：当x＝时，3(x－1)≠ 0.
∴原分式方程的解为x＝.
(4)原方程可化为＋＝ .
方程两边乘x(x＋2)(x－2)，
得4(x－2)＋7x＝6(x＋2).解得x＝4.
检验：当x＝4 时，x(x＋2)(x－2)≠ 0.
∴原分式方程的解为x＝4.
【同步练习】
一、选择题
1．下列方程是分式方程的是( D )
A．6x2＋4x＋1＝0 B．＝ C.＋4＝ D．＝0
2．下列方程中，不是分式方程的是( A )
A.x＋5＝0 B．＝1 C．x2＋＝1 D．－＝0
3．下列分式方程中有解的是( B )
A．＝0 B．＝0 C．＝0 D．＝0
4．若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，则m的值为( B )
A．5 B．4 C．3 D．2
5．将分式方程1－＝去分母，得到正确的整式方程是( B )
A．1－2x＝3 B．x－1－2x＝3 C．1＋2x＝3 D．x－1＋2x＝3
6．把分式方程＝转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( D )
A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4)
7．将方程＝2－去分母化简后，可得到的方程是( A )
A．x2－2x－3＝0 B．x2－2x－5＝0 C．x2－3＝0 D．x2－5＝0
8．若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，则m的值为( B )
A．5 B．4 C．3 D．2
9．对于非零的两个实数a、b，规定a b＝－，若2 (2x－1)＝1，则x的值为( A )
A. B． C． D．－
10．若分式方程＋＝有增根，则实数a的取值是( D )
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
【思路分析】原方程可化为2x＝a－4.根据题意方程的增根只可能是x＝0或x＝2，将它们代入上述方程即可求出a的值．
11．关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是( D )
A．a＞－1 B．a＞－1且a≠0 C．a＜－1 D．a＜－1且a≠－2
12．关于x的分式方程＝有解，则字母a的取值范围是( D )
A．a＝5或a＝0 B．a≠0 C．a≠5 D．a≠5且a≠0
二、填空题
13．下列说法中：①＋3＝的解为x＝2；②－＝的解为x＝2；③－3＝的解为x＝1；④＋1＝的解为x＝0；⑤＝的解为x＝4，其中不正确的有
(填序号)．
【答案】①②④⑤
14．当m＝ 时，解分式方程＝会出现增根．
【答案】2
15．若关于x的方程＝＋1无解，则a的值是 ．
【答案】1或2
16．对于非零实数a，b，规定a?b＝－，若(2x－1)?2＝1，则x的值为___.
【答案】
17．若方程－1＝的解与方程＝3的解相同，则a＝______.
【答案】－
18．请选择一组m、n的值，写出一个关于x的分式方程如＝n，使它的解是x＝0，这样的分式方程可以是 ．
【答案】不唯一，如＝－1
三、解答题
19．解下列方程：
(1)＋＝0；
解：方程两边乘x(x－1)，得
(x－1)＋2x＝0，
解得x＝，
检验：当x＝时，x(x－1)≠0，
所以，原分式方程的解为x＝.
(2)－＝.
解：方程两边乘x(x－3)，得
3－x＝2(x－3)．
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x(x－3)＝0，因此x＝3不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
20．解方程：＝1＋.
解：方程两边乘(x－2)，得
2x＝x－2＋1，
解得x＝－1，
经检验，x＝－1是原方程的解，
所以，原方程的解是x＝－1.
21．解下列方程：
(1)＋＝；
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，得
2(x－1)－5(x＋1)＝－10.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解，
所以，原分式方程无解．
(2)＝－.
解：方程两边乘(2x＋1)(2x－1)，得
x＋1＝3(2x－1)－2(2x＋1)．
解得x＝6.
检验：当x＝6时，(2x＋1)(2x－1)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝6.
22．设A＝，B＝＋1，当x为何值时，A与B的值相等？
解：由题意得＝＋1，方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得x(x＋1)＝3＋(x＋1)(x－1)，解得x＝2.检验：x＝2时，(x＋1)(x－1)≠0，所以，原分式方程的解是x＝2，即x＝2时，A与B的值相等．
23．如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是－4，，且点A，B到原点的距离相等，求x的值．
解：由题意，得＝4，解得x＝.
经检验，x＝是原方程的解．
所以，x的值为.
24．如果关于x的方程1＋＝的解也是不等式组的一个解，求m的取值范围．
解：解方程1＋＝得x＝－m－2.
∵x2－4≠0且2－x≠0，
∴x≠±2，∴m≠0且m≠－4，
∴原方程的解为x＝－m－2，
其中m≠0且m≠－4
解不等式组得x≤－2，
∴－m－2≤－2，∴m≥0，
综上所述，m的取值范围为m＞0.
25．阅读下列材料：
方程－＝－的解为x＝1；方程－＝－的解为x＝2；方程－＝－的解为x＝3；…
(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并猜想这个方程的解；
(2)利用(1)中所得的结论，写出一个解为x＝2 023的分式方程．
解：(1)－＝－，其解为x＝n＋2.
(2)∵n＋2＝2 023，∴n＝2 021，其对应方程为－＝－.
15.3.1 分式方程的解法
【知识重点】
知识点1 分式方程的概念
1. 分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2. 判断一个方程是分式方程的条件
(1)是方程；
(2)含有分母；
(3)分母中含有未知数.
以上三者缺一不可.
特别解读
识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的性质变形.
知识点2 分式方程的解法
1. 解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程.
2. 解分式方程的一般步骤
3. 检验分式方程解的方法
(1)将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
(2)也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确.
4. 增根 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0, 则这个解叫做原分式方程的增根.
特别解读
① 解分式方程的关键是去分母. 去分母时不要漏乘不含分母的项，当分子是多项式时要用括号括起来.
② 解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去.
3. 对增根的理解：
(1) 增根一定是分式方程化为的整式方程的解；
(2) 若分式方程有增根，则必是使最简公分母为0 时未知数的值.
【经典例题】
【例1】判断下列方程是不是分式方程，并说明理由.
(1)＝8； (2)＝；(3)＝1；
(4)＝；(5)－2＝x(a为非零常数).
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有未知数进行识别.
【例2】解下列方程：
(1)＝；(2)＝－2；
(3)－＝1；(4)＋＝.
解题秘方：将分式方程转化为整式方程，通过求整式方程的解并检验，从而得到分式方程的解.
【同步练习】
一、选择题
1．下列方程是分式方程的是( )
A．6x2＋4x＋1＝0 B．＝ C.＋4＝ D．＝0
2．下列方程中，不是分式方程的是( )
A.x＋5＝0 B．＝1 C．x2＋＝1 D．－＝0
3．下列分式方程中有解的是( )
A．＝0 B．＝0 C．＝0 D．＝0
4．若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，则m的值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
5．将分式方程1－＝去分母，得到正确的整式方程是( )
A．1－2x＝3 B．x－1－2x＝3 C．1＋2x＝3 D．x－1＋2x＝3
6．把分式方程＝转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )
A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4)
7．将方程＝2－去分母化简后，可得到的方程是( )
A．x2－2x－3＝0 B．x2－2x－5＝0 C．x2－3＝0 D．x2－5＝0
8．若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，则m的值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
9．对于非零的两个实数a、b，规定a b＝－，若2 (2x－1)＝1，则x的值为( )
A. B． C． D．－
10．若分式方程＋＝有增根，则实数a的取值是( )
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
11．关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是( )
A．a＞－1 B．a＞－1且a≠0 C．a＜－1 D．a＜－1且a≠－2
12．关于x的分式方程＝有解，则字母a的取值范围是( )
A．a＝5或a＝0 B．a≠0 C．a≠5 D．a≠5且a≠0
二、填空题
13．下列说法中：①＋3＝的解为x＝2；②－＝的解为x＝2；③－3＝的解为x＝1；④＋1＝的解为x＝0；⑤＝的解为x＝4，其中不正确的有
(填序号)．
14．当m＝ 时，解分式方程＝会出现增根．
15．若关于x的方程＝＋1无解，则a的值是 ．
16．对于非零实数a，b，规定a?b＝－，若(2x－1)?2＝1，则x的值为___.
17．若方程－1＝的解与方程＝3的解相同，则a＝______.
18．请选择一组m、n的值，写出一个关于x的分式方程如＝n，使它的解是x＝0，这样的分式方程可以是 ．
三、解答题
19．解下列方程：
(1)＋＝0；
(2)－＝.
20．解方程：＝1＋.
21．解下列方程：
(1)＋＝；
(2)＝－.
22．设A＝，B＝＋1，当x为何值时，A与B的值相等？
23．如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是－4，，且点A，B到原点的距离相等，求x的值．
24．如果关于x的方程1＋＝的解也是不等式组的一个解，求m的取值范围．
25．阅读下列材料：
方程－＝－的解为x＝1；方程－＝－的解为x＝2；方程－＝－的解为x＝3；…
(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并猜想这个方程的解；
(2)利用(1)中所得的结论，写出一个解为x＝2 023的分式方程．
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参考答案
【经典例题】
【例1】判断下列方程是不是分式方程，并说明理由.
(1)＝8； (2)＝；(3)＝1；
(4)＝；(5)－2＝x(a为非零常数).
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有未知数进行识别.
解：(1)不是分式方程，因为分母中不含有未知数.
(2)是分式方程，因为分母中含有未知数.
(3)是分式方程，因为分母中含有未知数.
(4)是分式方程，因为分母中含有未知数.
(5)不是分式方程，因为分母中虽然含有字母a，但a为非零常数，不是未知数.
【例2】解下列方程：
(1)＝；(2)＝－2；
(3)－＝1；(4)＋＝.
解题秘方：将分式方程转化为整式方程，通过求整式方程的解并检验，从而得到分式方程的解.
解：(1)方程两边乘(x－4)(x－6)，
得x(x－6)＝(x＋2)(x－4). 解得x＝2.
检验：当x＝2 时，(x－4)(x－6)≠ 0.
∴原分式方程的解为x＝2.
(2)方程两边乘(x－3)，得2－x＝－1－2(x－3).
解得x＝3.
检验：当x＝3 时，x－3＝0，
∴ x＝3不是原分式方程的解.
∴原分式方程无解.
(3)方程两边乘3(x－1)，
得4x＋6－3(5x－4)＝3(x－1). 解得x＝.
检验：当x＝时，3(x－1)≠ 0.
∴原分式方程的解为x＝.
(4)原方程可化为＋＝ .
方程两边乘x(x＋2)(x－2)，
得4(x－2)＋7x＝6(x＋2).解得x＝4.
检验：当x＝4 时，x(x＋2)(x－2)≠ 0.
∴原分式方程的解为x＝4.
【同步练习】
一、选择题
1．下列方程是分式方程的是( D )
A．6x2＋4x＋1＝0 B．＝ C.＋4＝ D．＝0
2．下列方程中，不是分式方程的是( A )
A.x＋5＝0 B．＝1 C．x2＋＝1 D．－＝0
3．下列分式方程中有解的是( B )
A．＝0 B．＝0 C．＝0 D．＝0
4．若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，则m的值为( B )
A．5 B．4 C．3 D．2
5．将分式方程1－＝去分母，得到正确的整式方程是( B )
A．1－2x＝3 B．x－1－2x＝3 C．1＋2x＝3 D．x－1＋2x＝3
6．把分式方程＝转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( D )
A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4)
7．将方程＝2－去分母化简后，可得到的方程是( A )
A．x2－2x－3＝0 B．x2－2x－5＝0 C．x2－3＝0 D．x2－5＝0
8．若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，则m的值为( B )
A．5 B．4 C．3 D．2
9．对于非零的两个实数a、b，规定a b＝－，若2 (2x－1)＝1，则x的值为( A )
A. B． C． D．－
10．若分式方程＋＝有增根，则实数a的取值是( D )
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
【思路分析】原方程可化为2x＝a－4.根据题意方程的增根只可能是x＝0或x＝2，将它们代入上述方程即可求出a的值．
11．关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是( D )
A．a＞－1 B．a＞－1且a≠0 C．a＜－1 D．a＜－1且a≠－2
12．关于x的分式方程＝有解，则字母a的取值范围是( D )
A．a＝5或a＝0 B．a≠0 C．a≠5 D．a≠5且a≠0
二、填空题
13．下列说法中：①＋3＝的解为x＝2；②－＝的解为x＝2；③－3＝的解为x＝1；④＋1＝的解为x＝0；⑤＝的解为x＝4，其中不正确的有
(填序号)．
【答案】①②④⑤
14．当m＝ 时，解分式方程＝会出现增根．
【答案】2
15．若关于x的方程＝＋1无解，则a的值是 ．
【答案】1或2
16．对于非零实数a，b，规定a?b＝－，若(2x－1)?2＝1，则x的值为___.
【答案】
17．若方程－1＝的解与方程＝3的解相同，则a＝______.
【答案】－
18．请选择一组m、n的值，写出一个关于x的分式方程如＝n，使它的解是x＝0，这样的分式方程可以是 ．
【答案】不唯一，如＝－1
三、解答题
19．解下列方程：
(1)＋＝0；
解：方程两边乘x(x－1)，得
(x－1)＋2x＝0，
解得x＝，
检验：当x＝时，x(x－1)≠0，
所以，原分式方程的解为x＝.
(2)－＝.
解：方程两边乘x(x－3)，得
3－x＝2(x－3)．
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x(x－3)＝0，因此x＝3不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
20．解方程：＝1＋.
解：方程两边乘(x－2)，得
2x＝x－2＋1，
解得x＝－1，
经检验，x＝－1是原方程的解，
所以，原方程的解是x＝－1.
21．解下列方程：
(1)＋＝；
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，得
2(x－1)－5(x＋1)＝－10.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解，
所以，原分式方程无解．
(2)＝－.
解：方程两边乘(2x＋1)(2x－1)，得
x＋1＝3(2x－1)－2(2x＋1)．
解得x＝6.
检验：当x＝6时，(2x＋1)(2x－1)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝6.
22．设A＝，B＝＋1，当x为何值时，A与B的值相等？
解：由题意得＝＋1，方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得x(x＋1)＝3＋(x＋1)(x－1)，解得x＝2.检验：x＝2时，(x＋1)(x－1)≠0，所以，原分式方程的解是x＝2，即x＝2时，A与B的值相等．
23．如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是－4，，且点A，B到原点的距离相等，求x的值．
解：由题意，得＝4，解得x＝.
经检验，x＝是原方程的解．
所以，x的值为.
24．如果关于x的方程1＋＝的解也是不等式组的一个解，求m的取值范围．
解：解方程1＋＝得x＝－m－2.
∵x2－4≠0且2－x≠0，
∴x≠±2，∴m≠0且m≠－4，
∴原方程的解为x＝－m－2，
其中m≠0且m≠－4
解不等式组得x≤－2，
∴－m－2≤－2，∴m≥0，
综上所述，m的取值范围为m＞0.
25．阅读下列材料：
方程－＝－的解为x＝1；方程－＝－的解为x＝2；方程－＝－的解为x＝3；…
(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并猜想这个方程的解；
(2)利用(1)中所得的结论，写出一个解为x＝2 023的分式方程．
解：(1)－＝－，其解为x＝n＋2.
(2)∵n＋2＝2 023，∴n＝2 021，其对应方程为－＝－.