第15章 分式 章末复习（含答案）
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第15章 分式 章末复习
【知识网络】
【易错示警】
1．根据分式的值等于0，求分式中字母的值时，不要忘记一定确保分母不等于0.
2．对分式进行变形时忽略所乘(或除以)的整式不等于0的条件．
3．注意分式混合运算的顺序，乘除属于同级运算，解题时应从左到右依次运算．
4．在进行分式运算中，若分式是多项式，通分时要添加括号，明确分数线有括号的作用．
5．用科学记数法表示绝对值较小的数时将10的指数的负号漏掉．
6．解分式方程去分母时，注意不含分母的项不要漏乘公分母．
7．防止分式的加减运算与解方程混淆，在分式加减运算时，不能去掉分母，而要通分化为同分母分式．
8．注意列分式方程解决实际问题时，在解的过程中可能会产生增根，一定要进行检验．
【考点突破】
考点1：分式及其相关概念
1．代数式x，，，x2－，，中，属于分式的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．使分式无意义的x的值满足的条件是( )
A．x＝－ B．x＝ C．x≠－ D．x≠
3．如果分式的值为0，那么x的值为( )
A．－1 B．1 C．－1或1 D．1或0
4．若分式的值为0，则x的值为( )
A．3 B．－3 C．3或－3 D．0或3
5．若分式有意义，则x的取值范围是_________.
6．当a＝1时，分式的值是___.
7．在分式中，若分式有意义，则a的取值范围是 ；若分式无意义，则a的取值范围是 ；若分式值为0，则a的值为 ．
8．若分式的值为0，则多项式x2－8x＋16的值为 .
考点2：分式的基本性质
9．分式可变形为( )
A． B．－ C． D．－
10．根据分式的基本性质，分式可变形为( )
A. B． C. D．
11．若a≠b，则下列分式化简正确的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
12．下列分式中，最简分式是( )
A． B． C． D．
13．不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为( )
A. B． C. D．
14．若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是( )
A． B． C． D．
15．只把分式中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时a的值可以是下列中的( )
A．2 B．mn C. D．m2
16．把，，通分后的结果为 .
考点3：分式的运算
17．计算＋的结果是( )
A．1 B． C．a＋2 D．
18．若x是非负整数，则表示－的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
19．试卷上一个正确的式子÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )
A. B． C. D．
20．若x和y互为倒数，则的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
21．一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为a千米/时，下山速度为b千米/时．则货车上、下山的平均速度为( )
A．(a＋b)千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时
22．计算：(1＋)÷＝_____________.
23．化简：(a－2－)÷；
24．先化简，再求值：÷，其中x＝3.
25．先化简，再求值：(－a＋1)÷＋－a，并从－1,0,2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
考点4：整数指数幂的运算
26．据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28 nm.已知1 nm＝10－9 m，则28 nm用科学记数法表示是( )
A．28×10－9 m B．2.8×10－9 m C．2.8×10－8 m D．2.8×10－10 m
27．计算：－(－2 024)0＋2－1.
考点5：分式方程及其应用
28．已知x＝2是分式方程＋＝1的解，那么实数k的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
29．一艘轮船在静水中的速度为30 km/h，它沿江顺流航行144 km与逆流航行96 km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h，则符合题意的方程是( )
A.＝ B．＝ C.＝ D．＝
30．若关于x的方程＝无解，则m的值为( )
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
31．若关于x的分式方程2－＝的解为正数，则k的取值范围为( )
A．k<2 B．k<2且k≠0 C．k>－1 D．k>－1且k≠0
32．已知点P(1－2a，a－2)关于x轴的对称点在第二象限，且a为整数，则关于x的分式方程＝2的解是( )
A．x＝5 B．x＝1 C．x＝3 D．无解
33．方程＝的解为_________.
34．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为_________.
35．解分式方程：
(1)＝＋1；
(2)－＝1.
36．为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1 500千克土豆与乙班挖1 200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
37．甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．
(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？
【综合练习】
1．下列分式是最简分式的是( )
A. B． C. D．
2．下列计算错误的是( )
A.＝ B．＝ C.＝－1 D．＋＝
3．下列计算正确的是( )
A．(－3x)3＝－27x3 B．(x－2)2＝x4 C．x2÷x－2＝x2 D．x－1·x－2＝x2
4．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是( )
A．40×1.25x－40x＝800 B．－＝40 C.－＝40 D．－＝40
5．下列关于分式的判断，正确的是( )
A．当x＝2时，的值为零 B．当x≠3时，有意义
C．无论x为何值，不可能得整数值 D．无论x为何值，的值总为正数
6．若分式的值不存在，则x的值为 ．
7．填空：＝(a≠0)，＝.
8．在人体血液中，红细胞直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为 ．
9．已知关于x的方程＝2的解是负数，则n的取值范围为__________________．
10．若关于x的方程＋＝无解，则m的值为 .
11．计算：
(1)(ab－b2)÷；
(2)()2÷(x＋y)·()3.
12．解方程：
(1)＋＝1；
(2)－＝.
13．先化简，再求值：÷－(＋1)，其中x是不等式组的整数解．
14．某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克．已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元．
(1)为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？
(2)将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元，现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？
15．为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．
(1)若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；
(2)若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据(1)中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．
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参考答案
【知识网络】
【易错示警】
1．根据分式的值等于0，求分式中字母的值时，不要忘记一定确保分母不等于0.
2．对分式进行变形时忽略所乘(或除以)的整式不等于0的条件．
3．注意分式混合运算的顺序，乘除属于同级运算，解题时应从左到右依次运算．
4．在进行分式运算中，若分式是多项式，通分时要添加括号，明确分数线有括号的作用．
5．用科学记数法表示绝对值较小的数时将10的指数的负号漏掉．
6．解分式方程去分母时，注意不含分母的项不要漏乘公分母．
7．防止分式的加减运算与解方程混淆，在分式加减运算时，不能去掉分母，而要通分化为同分母分式．
8．注意列分式方程解决实际问题时，在解的过程中可能会产生增根，一定要进行检验．
【考点突破】
考点1：分式及其相关概念
1．代数式x，，，x2－，，中，属于分式的有( B )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．使分式无意义的x的值满足的条件是( B )
A．x＝－ B．x＝ C．x≠－ D．x≠
3．如果分式的值为0，那么x的值为( B )
A．－1 B．1 C．－1或1 D．1或0
4．若分式的值为0，则x的值为( A )
A．3 B．－3 C．3或－3 D．0或3
5．若分式有意义，则x的取值范围是_________.
【答案】x≠1
6．当a＝1时，分式的值是___.
【答案】2
7．在分式中，若分式有意义，则a的取值范围是 ；若分式无意义，则a的取值范围是 ；若分式值为0，则a的值为 ．
【思路分析】分式有意义时，分母不等于0，即(a＋1)(a＋2)≠0，解得a≠－1且a≠－2；分式无意义的条件是：分母等于0，所以(a＋1)(a＋2)＝0，解得a＝－1或a＝－2；分式值为0时，分母不为0且分子为0，所以a＝2.
【答案】a≠－1且a≠－2 a＝－1或a＝－2 2
8．若分式的值为0，则多项式x2－8x＋16的值为 .
【答案】36
考点2：分式的基本性质
9．分式可变形为( D )
A． B．－ C． D．－
10．根据分式的基本性质，分式可变形为( B )
A. B． C. D．
11．若a≠b，则下列分式化简正确的是( D )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
12．下列分式中，最简分式是( A )
A． B． C． D．
13．不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为( A )
A. B． C. D．
14．若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是( D )
A． B． C． D．
15．只把分式中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时a的值可以是下列中的( C )
A．2 B．mn C. D．m2
16．把，，通分后的结果为 .
【答案】，，
考点3：分式的运算
17．计算＋的结果是( A )
A．1 B． C．a＋2 D．
18．若x是非负整数，则表示－的值的对应点落在下图数轴上的范围是( B )
A．① B．② C．③ D．①或②
19．试卷上一个正确的式子÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( A )
A. B． C. D．
20．若x和y互为倒数，则的值是( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
21．一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为a千米/时，下山速度为b千米/时．则货车上、下山的平均速度为( D )
A．(a＋b)千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时
22．计算：(1＋)÷＝_____________.
【答案】－a
23．化简：(a－2－)÷；
解：原式＝[－]·
＝·
＝·＝a(a＋2)＝a2＋2a
24．先化简，再求值：÷，其中x＝3.
解：原式＝·＝·＝·＝·
＝.
当x＝3时，原式＝－5.
25．先化简，再求值：(－a＋1)÷＋－a，并从－1,0,2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
解：原式＝(－)·＋－a＝·＋－a＝＋－a＝＋－a＝－a＝－1－a.由题意可知a≠－1且a≠2，∴当a＝0时，原式＝－1.
考点4：整数指数幂的运算
26．据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28 nm.已知1 nm＝10－9 m，则28 nm用科学记数法表示是( C )
A．28×10－9 m B．2.8×10－9 m C．2.8×10－8 m D．2.8×10－10 m
27．计算：－(－2 024)0＋2－1.
解：原式＝3－1＋ ＝.
考点5：分式方程及其应用
28．已知x＝2是分式方程＋＝1的解，那么实数k的值为( B )
A．3 B．4 C．5 D．6
29．一艘轮船在静水中的速度为30 km/h，它沿江顺流航行144 km与逆流航行96 km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h，则符合题意的方程是( A )
A.＝ B．＝ C.＝ D．＝
30．若关于x的方程＝无解，则m的值为( D )
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
31．若关于x的分式方程2－＝的解为正数，则k的取值范围为( B )
A．k<2 B．k<2且k≠0 C．k>－1 D．k>－1且k≠0
32．已知点P(1－2a，a－2)关于x轴的对称点在第二象限，且a为整数，则关于x的分式方程＝2的解是( C )
A．x＝5 B．x＝1 C．x＝3 D．无解
33．方程＝的解为_________.
【答案】x＝5
34．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为_________.
【答案】＝
35．解分式方程：
(1)＝＋1；
解：方程两边乘(x－2)得2＝1＋x＋x－2，解得x＝，检验：当x＝时，x－2≠0，∴原分式方程的解为x＝
(2)－＝1.
解：方程两边乘(x2－1)得x2＋2x＋1－4＝x2－1，解得x＝1，检验：当x＝1时，x2－1＝0，∴x＝1不是原方程的解，原分式方程无解
36．为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1 500千克土豆与乙班挖1 200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
解：设乙班平均每小时挖x千克土豆，根据题意，得
＝.
解得x＝400.
经检验，x＝400是原方程的根，且符合题意．
答：乙班平均每小时挖400千克土豆.
37．甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．
(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？
解：(1)设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，由题意，得＝＋5，化简得600×1.5＝600＋5×1.5x，解得x＝40，经检验，x＝40是分式方程的解且符合实际意义．∴1.5x＝60，答：甲每天加工60个零件，乙每天加工40个零件
(2)设甲加工了x天，乙加工了y天，由题意，得由①得y＝75－1.5x③，将③代入②得150x＋120(75－1.5x)≤7800，解得x≥40，当x＝40时，y＝15，符合实际意义．答：甲至少加工了40天
【综合练习】
1．下列分式是最简分式的是( C )
A. B． C. D．
2．下列计算错误的是( A )
A.＝ B．＝ C.＝－1 D．＋＝
3．下列计算正确的是( A )
A．(－3x)3＝－27x3 B．(x－2)2＝x4 C．x2÷x－2＝x2 D．x－1·x－2＝x2
4．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是( C )
A．40×1.25x－40x＝800 B．－＝40 C.－＝40 D．－＝40
5．下列关于分式的判断，正确的是( D )
A．当x＝2时，的值为零 B．当x≠3时，有意义
C．无论x为何值，不可能得整数值 D．无论x为何值，的值总为正数
6．若分式的值不存在，则x的值为 ．
【答案】－1
7．填空：＝(a≠0)，＝.
【答案】6a2 a－2
8．在人体血液中，红细胞直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为 ．
【答案】7.7×10－4
9．已知关于x的方程＝2的解是负数，则n的取值范围为__________________．
【答案】n＜2且n≠
10．若关于x的方程＋＝无解，则m的值为 .
【答案】－1或5或－
11．计算：
(1)(ab－b2)÷；
(2)()2÷(x＋y)·()3.
解：(1)原式＝b(a－b)·＝ab2；
(2)原式＝··＝.
12．解方程：
(1)＋＝1；
(2)－＝.
解：(1)方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得2＋x(x＋2)＝(x＋2)(x－2)，解得x＝－3.检验：x＝－3时，(x＋2)(x－2)≠0，所以，原分式方程的解为x＝－3；
(2)方程两边同乘2(x＋2)(x－2)，得5(x－2)＋2(x＋2)＝4×2，解得x＝2.检验：x＝2时，2(x＋2)(x－2)＝0，所以，原分式方程无解．
13．先化简，再求值：÷－，其中x是不等式组的整数解．
解：原式＝·－
＝－
＝－
＝＝.
由不等式组解得3＜x＜5.
由题意可知x≠－1，1，3，且x为整数，∴x＝4，
∴原式＝＝.
14．某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克．已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元．
(1)为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？
(2)将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元，现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？
解：(1)设B种原料每千克的价格为x元，则A种原料每千克的价格为(x＋10)元，根据题意，得1.2(x＋10)＋x≤34，解得x≤10.答：购入B种原料每千克的价格最高不超过10元；
(2)设这种产品的批发价为a元，则零售价为(a＋30)元，根据题意，得＝，解得a＝50，经检验，a＝50是原方程的根，且符合实际．答：这种产品的批发价为50元．
15．为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．
(1)若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；
(2)若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据(1)中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．
解：(1)设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为(x＋2)元．依题意得：＝，解得x＝5.经检验x＝5是原分式方程的解，且符合题意．答：梨树苗的单价是5元；
(2)设购买梨树苗a棵，则购买苹果树苗(1100－a)棵．依题意得：(5＋2)(1100－a)＋5a≤6000.解得a≥850.答：梨树苗至少购买850棵．
【知识网络】
【易错示警】
1．根据分式的值等于0，求分式中字母的值时，不要忘记一定确保分母不等于0.
2．对分式进行变形时忽略所乘(或除以)的整式不等于0的条件．
3．注意分式混合运算的顺序，乘除属于同级运算，解题时应从左到右依次运算．
4．在进行分式运算中，若分式是多项式，通分时要添加括号，明确分数线有括号的作用．
5．用科学记数法表示绝对值较小的数时将10的指数的负号漏掉．
6．解分式方程去分母时，注意不含分母的项不要漏乘公分母．
7．防止分式的加减运算与解方程混淆，在分式加减运算时，不能去掉分母，而要通分化为同分母分式．
8．注意列分式方程解决实际问题时，在解的过程中可能会产生增根，一定要进行检验．
【考点突破】
考点1：分式及其相关概念
1．代数式x，，，x2－，，中，属于分式的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．使分式无意义的x的值满足的条件是( )
A．x＝－ B．x＝ C．x≠－ D．x≠
3．如果分式的值为0，那么x的值为( )
A．－1 B．1 C．－1或1 D．1或0
4．若分式的值为0，则x的值为( )
A．3 B．－3 C．3或－3 D．0或3
5．若分式有意义，则x的取值范围是_________.
6．当a＝1时，分式的值是___.
7．在分式中，若分式有意义，则a的取值范围是 ；若分式无意义，则a的取值范围是 ；若分式值为0，则a的值为 ．
8．若分式的值为0，则多项式x2－8x＋16的值为 .
考点2：分式的基本性质
9．分式可变形为( )
A． B．－ C． D．－
10．根据分式的基本性质，分式可变形为( )
A. B． C. D．
11．若a≠b，则下列分式化简正确的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
12．下列分式中，最简分式是( )
A． B． C． D．
13．不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为( )
A. B． C. D．
14．若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是( )
A． B． C． D．
15．只把分式中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时a的值可以是下列中的( )
A．2 B．mn C. D．m2
16．把，，通分后的结果为 .
考点3：分式的运算
17．计算＋的结果是( )
A．1 B． C．a＋2 D．
18．若x是非负整数，则表示－的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
19．试卷上一个正确的式子÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )
A. B． C. D．
20．若x和y互为倒数，则的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
21．一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为a千米/时，下山速度为b千米/时．则货车上、下山的平均速度为( )
A．(a＋b)千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时
22．计算：(1＋)÷＝_____________.
23．化简：(a－2－)÷；
24．先化简，再求值：÷，其中x＝3.
25．先化简，再求值：(－a＋1)÷＋－a，并从－1,0,2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
考点4：整数指数幂的运算
26．据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28 nm.已知1 nm＝10－9 m，则28 nm用科学记数法表示是( )
A．28×10－9 m B．2.8×10－9 m C．2.8×10－8 m D．2.8×10－10 m
27．计算：－(－2 024)0＋2－1.
考点5：分式方程及其应用
28．已知x＝2是分式方程＋＝1的解，那么实数k的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
29．一艘轮船在静水中的速度为30 km/h，它沿江顺流航行144 km与逆流航行96 km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h，则符合题意的方程是( )
A.＝ B．＝ C.＝ D．＝
30．若关于x的方程＝无解，则m的值为( )
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
31．若关于x的分式方程2－＝的解为正数，则k的取值范围为( )
A．k<2 B．k<2且k≠0 C．k>－1 D．k>－1且k≠0
32．已知点P(1－2a，a－2)关于x轴的对称点在第二象限，且a为整数，则关于x的分式方程＝2的解是( )
A．x＝5 B．x＝1 C．x＝3 D．无解
33．方程＝的解为_________.
34．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为_________.
35．解分式方程：
(1)＝＋1；
(2)－＝1.
36．为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1 500千克土豆与乙班挖1 200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
37．甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．
(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？
【综合练习】
1．下列分式是最简分式的是( )
A. B． C. D．
2．下列计算错误的是( )
A.＝ B．＝ C.＝－1 D．＋＝
3．下列计算正确的是( )
A．(－3x)3＝－27x3 B．(x－2)2＝x4 C．x2÷x－2＝x2 D．x－1·x－2＝x2
4．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是( )
A．40×1.25x－40x＝800 B．－＝40 C.－＝40 D．－＝40
5．下列关于分式的判断，正确的是( )
A．当x＝2时，的值为零 B．当x≠3时，有意义
C．无论x为何值，不可能得整数值 D．无论x为何值，的值总为正数
6．若分式的值不存在，则x的值为 ．
7．填空：＝(a≠0)，＝.
8．在人体血液中，红细胞直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为 ．
9．已知关于x的方程＝2的解是负数，则n的取值范围为__________________．
10．若关于x的方程＋＝无解，则m的值为 .
11．计算：
(1)(ab－b2)÷；
(2)()2÷(x＋y)·()3.
12．解方程：
(1)＋＝1；
(2)－＝.
13．先化简，再求值：÷－(＋1)，其中x是不等式组的整数解．
14．某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克．已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元．
(1)为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？
(2)将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元，现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？
15．为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．
(1)若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；
(2)若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据(1)中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．
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参考答案
【知识网络】
【易错示警】
1．根据分式的值等于0，求分式中字母的值时，不要忘记一定确保分母不等于0.
2．对分式进行变形时忽略所乘(或除以)的整式不等于0的条件．
3．注意分式混合运算的顺序，乘除属于同级运算，解题时应从左到右依次运算．
4．在进行分式运算中，若分式是多项式，通分时要添加括号，明确分数线有括号的作用．
5．用科学记数法表示绝对值较小的数时将10的指数的负号漏掉．
6．解分式方程去分母时，注意不含分母的项不要漏乘公分母．
7．防止分式的加减运算与解方程混淆，在分式加减运算时，不能去掉分母，而要通分化为同分母分式．
8．注意列分式方程解决实际问题时，在解的过程中可能会产生增根，一定要进行检验．
【考点突破】
考点1：分式及其相关概念
1．代数式x，，，x2－，，中，属于分式的有( B )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．使分式无意义的x的值满足的条件是( B )
A．x＝－ B．x＝ C．x≠－ D．x≠
3．如果分式的值为0，那么x的值为( B )
A．－1 B．1 C．－1或1 D．1或0
4．若分式的值为0，则x的值为( A )
A．3 B．－3 C．3或－3 D．0或3
5．若分式有意义，则x的取值范围是_________.
【答案】x≠1
6．当a＝1时，分式的值是___.
【答案】2
7．在分式中，若分式有意义，则a的取值范围是 ；若分式无意义，则a的取值范围是 ；若分式值为0，则a的值为 ．
【思路分析】分式有意义时，分母不等于0，即(a＋1)(a＋2)≠0，解得a≠－1且a≠－2；分式无意义的条件是：分母等于0，所以(a＋1)(a＋2)＝0，解得a＝－1或a＝－2；分式值为0时，分母不为0且分子为0，所以a＝2.
【答案】a≠－1且a≠－2 a＝－1或a＝－2 2
8．若分式的值为0，则多项式x2－8x＋16的值为 .
【答案】36
考点2：分式的基本性质
9．分式可变形为( D )
A． B．－ C． D．－
10．根据分式的基本性质，分式可变形为( B )
A. B． C. D．
11．若a≠b，则下列分式化简正确的是( D )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
12．下列分式中，最简分式是( A )
A． B． C． D．
13．不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为( A )
A. B． C. D．
14．若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是( D )
A． B． C． D．
15．只把分式中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时a的值可以是下列中的( C )
A．2 B．mn C. D．m2
16．把，，通分后的结果为 .
【答案】，，
考点3：分式的运算
17．计算＋的结果是( A )
A．1 B． C．a＋2 D．
18．若x是非负整数，则表示－的值的对应点落在下图数轴上的范围是( B )
A．① B．② C．③ D．①或②
19．试卷上一个正确的式子÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( A )
A. B． C. D．
20．若x和y互为倒数，则的值是( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
21．一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为a千米/时，下山速度为b千米/时．则货车上、下山的平均速度为( D )
A．(a＋b)千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时
22．计算：(1＋)÷＝_____________.
【答案】－a
23．化简：(a－2－)÷；
解：原式＝[－]·
＝·
＝·＝a(a＋2)＝a2＋2a
24．先化简，再求值：÷，其中x＝3.
解：原式＝·＝·＝·＝·
＝.
当x＝3时，原式＝－5.
25．先化简，再求值：(－a＋1)÷＋－a，并从－1,0,2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
解：原式＝(－)·＋－a＝·＋－a＝＋－a＝＋－a＝－a＝－1－a.由题意可知a≠－1且a≠2，∴当a＝0时，原式＝－1.
考点4：整数指数幂的运算
26．据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28 nm.已知1 nm＝10－9 m，则28 nm用科学记数法表示是( C )
A．28×10－9 m B．2.8×10－9 m C．2.8×10－8 m D．2.8×10－10 m
27．计算：－(－2 024)0＋2－1.
解：原式＝3－1＋ ＝.
考点5：分式方程及其应用
28．已知x＝2是分式方程＋＝1的解，那么实数k的值为( B )
A．3 B．4 C．5 D．6
29．一艘轮船在静水中的速度为30 km/h，它沿江顺流航行144 km与逆流航行96 km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h，则符合题意的方程是( A )
A.＝ B．＝ C.＝ D．＝
30．若关于x的方程＝无解，则m的值为( D )
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
31．若关于x的分式方程2－＝的解为正数，则k的取值范围为( B )
A．k<2 B．k<2且k≠0 C．k>－1 D．k>－1且k≠0
32．已知点P(1－2a，a－2)关于x轴的对称点在第二象限，且a为整数，则关于x的分式方程＝2的解是( C )
A．x＝5 B．x＝1 C．x＝3 D．无解
33．方程＝的解为_________.
【答案】x＝5
34．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为_________.
【答案】＝
35．解分式方程：
(1)＝＋1；
解：方程两边乘(x－2)得2＝1＋x＋x－2，解得x＝，检验：当x＝时，x－2≠0，∴原分式方程的解为x＝
(2)－＝1.
解：方程两边乘(x2－1)得x2＋2x＋1－4＝x2－1，解得x＝1，检验：当x＝1时，x2－1＝0，∴x＝1不是原方程的解，原分式方程无解
36．为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1 500千克土豆与乙班挖1 200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
解：设乙班平均每小时挖x千克土豆，根据题意，得
＝.
解得x＝400.
经检验，x＝400是原方程的根，且符合题意．
答：乙班平均每小时挖400千克土豆.
37．甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．
(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？
解：(1)设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，由题意，得＝＋5，化简得600×1.5＝600＋5×1.5x，解得x＝40，经检验，x＝40是分式方程的解且符合实际意义．∴1.5x＝60，答：甲每天加工60个零件，乙每天加工40个零件
(2)设甲加工了x天，乙加工了y天，由题意，得由①得y＝75－1.5x③，将③代入②得150x＋120(75－1.5x)≤7800，解得x≥40，当x＝40时，y＝15，符合实际意义．答：甲至少加工了40天
【综合练习】
1．下列分式是最简分式的是( C )
A. B． C. D．
2．下列计算错误的是( A )
A.＝ B．＝ C.＝－1 D．＋＝
3．下列计算正确的是( A )
A．(－3x)3＝－27x3 B．(x－2)2＝x4 C．x2÷x－2＝x2 D．x－1·x－2＝x2
4．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是( C )
A．40×1.25x－40x＝800 B．－＝40 C.－＝40 D．－＝40
5．下列关于分式的判断，正确的是( D )
A．当x＝2时，的值为零 B．当x≠3时，有意义
C．无论x为何值，不可能得整数值 D．无论x为何值，的值总为正数
6．若分式的值不存在，则x的值为 ．
【答案】－1
7．填空：＝(a≠0)，＝.
【答案】6a2 a－2
8．在人体血液中，红细胞直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为 ．
【答案】7.7×10－4
9．已知关于x的方程＝2的解是负数，则n的取值范围为__________________．
【答案】n＜2且n≠
10．若关于x的方程＋＝无解，则m的值为 .
【答案】－1或5或－
11．计算：
(1)(ab－b2)÷；
(2)()2÷(x＋y)·()3.
解：(1)原式＝b(a－b)·＝ab2；
(2)原式＝··＝.
12．解方程：
(1)＋＝1；
(2)－＝.
解：(1)方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得2＋x(x＋2)＝(x＋2)(x－2)，解得x＝－3.检验：x＝－3时，(x＋2)(x－2)≠0，所以，原分式方程的解为x＝－3；
(2)方程两边同乘2(x＋2)(x－2)，得5(x－2)＋2(x＋2)＝4×2，解得x＝2.检验：x＝2时，2(x＋2)(x－2)＝0，所以，原分式方程无解．
13．先化简，再求值：÷－，其中x是不等式组的整数解．
解：原式＝·－
＝－
＝－
＝＝.
由不等式组解得3＜x＜5.
由题意可知x≠－1，1，3，且x为整数，∴x＝4，
∴原式＝＝.
14．某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克．已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元．
(1)为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？
(2)将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元，现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？
解：(1)设B种原料每千克的价格为x元，则A种原料每千克的价格为(x＋10)元，根据题意，得1.2(x＋10)＋x≤34，解得x≤10.答：购入B种原料每千克的价格最高不超过10元；
(2)设这种产品的批发价为a元，则零售价为(a＋30)元，根据题意，得＝，解得a＝50，经检验，a＝50是原方程的根，且符合实际．答：这种产品的批发价为50元．
15．为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．
(1)若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；
(2)若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据(1)中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．
解：(1)设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为(x＋2)元．依题意得：＝，解得x＝5.经检验x＝5是原分式方程的解，且符合题意．答：梨树苗的单价是5元；
(2)设购买梨树苗a棵，则购买苹果树苗(1100－a)棵．依题意得：(5＋2)(1100－a)＋5a≤6000.解得a≥850.答：梨树苗至少购买850棵．