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崇德实验中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
第I卷的文字说明
评卷人得分
一、单选题
1．(本题5分)直线的倾斜角为( )
A.
B.
C.
D.
2．(本题5分)关于双曲线焦距和渐近线，下列说法正确的是
A. 焦距相等，渐近线相同
B. 焦距相等，渐近线不同
C. 焦距不相等，渐近线相同
D. 焦距不相等，渐近线不相同
3．(本题5分)若双曲线的离心率，则（ ）
A. 3
B. 12
C. 18
D. 27
4．(本题5分)已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（ ）
A.
B.
C.
D.
5．(本题5分)点的位置关系是（ ）
A. 在圆外
B. 在圆上
C. 在圆内
D. 与a的值有关
6．(本题5分)已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A. 1
B.
C.
D.
7．(本题5分)运用微积分的方法，可以推导得椭圆的面积为．现学校附近停车场有一辆车，车上有一个长为的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为，短轴长为，则该储油罐的容积约为（）（ ）
A.
B.
C.
D.
8．(本题5分)“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A.
B.
C. 71
D.
评卷人得分
二、多选题
9．(本题5分)已知圆，则下列说法正确的有（ ）
A. 关于点对称
B. 关于直线对称
C. 关于直线对称
D. 关于直线对称
10．(本题5分)平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线.则（ ）
A. 曲线的方程为
B. 曲线关于轴对称
C. 当点在曲线上时，
D. 当点在曲线上时，点到直线的距离
11．(本题5分)已知数列是首项为，公比为的等比数列，则（ ）
A. 是等差数列
B. 是等差数列
C. 是等比数列
D. 是等比数列
12．(本题5分)已知，直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为，则（ ）A．当时，点的轨迹为除去A，B两点的椭圆
B. 当时，点的轨迹为除去A，B两点的双曲线
C. 当时，点的轨迹为抛物线
D. 当时，点的轨迹为一条直线
第II卷（非选择题）
第II卷的文字说明
评卷人得分
三、填空题
13．(本题5分)双曲线的渐近线方程是__________.
14．(本题5分)设是公比不为1的等比数列，若为的等差中项，则的公比为______．
15．(本题5分)已知圆与圆外切，则实数a的值为________.
16．(本题5分)抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为__________
评卷人得分
四、解答题
17．(本题5分)在中，
(1)求的中线所在直线的方程；
(2)求的面积.
18．(本题6分)已知为等差数列，前n项和为是首项为2的等比数列，且，，．
求的通项公式；
求数列的前n项和．
19．(本题5分)已知圆和点．
(1)过点向圆引切线，求切线方程；
(2)求以点为圆心且被直线截得弦长为8的圆的方程；
(3)过点的直线与圆交于，两点，求弦中点的轨迹方程．
20．(本题4分)已知抛物线在抛物线上且到焦点的距离为2.
(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；
(2)已知，直线与抛物线交于两点，记直线，的斜率分别为，，求的值.
21．(本题7分)已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和.
22．(本题4分)已知为椭圆上任一点，，为椭圆 的焦点，
，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线：与椭圆的两交点为A，， 线段的中点在直线上，为坐标原点，当的面积等于时，求直线的方程．参考答案
1.C
【详解】
2.B
【详解】
3.D
【详解】
4.A
【详解】
.
5.A
【详解】
6.C
【详解】
7.B
【详解】
因为储油罐为一个柱体，所以体积为.
故选：B
8.C
【详解】
9.ABC
【详解】
10.AC
【详解】
11.AD
【详解】
12.AB
【详解】
13.
【详解】
14.
【详解】
15.
【详解】
16.1
【详解】
17.(1)
(2)
【详解】（1）
18.(1)
(2)
【详解】
19.(1)
(2)
(3)
【详解】
20.(1)抛物线的方程为，准线方程为
(2)
【详解】
21.(1)
(2)
【详解】
22.(1)
(2)
【详解】
y个
P
0
B
X
A
圆(x-1)2+(0y-1)2=2的圆心C(41),半径，=互，因为
PC=V(a-1)2+(10-1)2=V(a-12+81>V2,所以点P(a,10)在圆外，
故选：A
由f()-f(ehx+2x,得f()=f(e)+2.令=e,得f'e)=。f(e)+2,解得
fe-
2e
故选：(
由题意，椭圆的长轴长为3m,短轴长为1.8m,
3
1.8
所以a=215,b=
=0.9,
2
所以椭圆面积为S=πab≈3.14×1.5×0.9=4.239.
V=Sh=4.239×7=29.673≈30
被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为8，公差
为15的等差数列{a,},则3，=8+m,D×15=152+n,
2
2
所以2，+80_2x(25
+5n+80
80
=15n+0+1
n
对沟西数的性质可得：函数)=15x++1在Q9上单调速减，在（怎上单调
80
递增，又f0=152+9+1=71,0)=15x3+801=2
.80
33
所以当n=2时，2S,+80
取最小值71，
故选：C
圆x2+y2-4x-1=0即(x-2)2+y2=5,所以圆心为(2,0)，
A选项，（2,0)为圆心，所以圆关于点(20)对称，A正确.
直线y=0,直线x+3y-2=0过圆心(2,0)，所以圆关于直线y=0、直线x+3y-2=0对称，
BC选项正确
直线x-y+2=0不过圆心(2,0)，所以D选项错误
故选：ABC
由抛物线定义，知曲线C是以F(0,1)为焦点，直线1：y=-1为准线的抛物线，
则焦准距p=2,故其方程为x2=4y,故A正确：
抛物线x=4y关于y轴对称，不关于x轴对称，故B错误；
由x2=4yy≥0，故C正确；
当点P在曲线C上时，由于抛物线x2=4y开口向上，
当点P位于原点时，到直线1的距离最小为1，故点P到直线1的距离d≥1，所以D错误，
故选：AC.
