15.4 第2课时 角平分线的性质定理及逆定理 课件(共15张PPT) 沪科版八年级上册数学

(共15张PPT)
第15章　轴对称图形与等腰三角形
15.4　角的平分线　
第2课时　角平分线的性质定理及逆定理
1.掌握角平分线定理及其逆定理.
2.能利用角平分线定理及其逆定理解决几何图形中的问题.
◎重点:角平分线的性质定理及其逆定理.
◎难点:角平分线性质定理及其逆定理的综合应用.
如图，要在两条公路的中间修建一座加油站，要求选的位置到两条公路的距离相等，请你设计出加油站的位置，并说明你的理由.
角平分线性质定理
阅读教材本课时相关的内容，回答下列问题.
1.揭示概念:角平分线上的点到角两边的距离　相等　.
2.归纳:角平分线的判定定理:　角的内部到角两边距离相等的点　在这个角的平分线上.
相等　
角的内部到角两边距离相等
的点　
1.已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于 E，且DE＝
3 cm，则点D到AC的距离是(　B　)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
B
2.已知P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，且PD＝PE，∠AOB＝50°，则∠POE的度数是
(　A　)
A.25° B.50° C.75° D.100°
学法指导:若题中已知角平分线，则过角平分线上的点作两边的垂线是常用的辅助线之一.
A
角平分线的性质
1. 我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证:OE＝OF.
证明:在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC.
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE＝OF.
用角平分线性质计算
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝13 cm，AB＝26 cm，BE平分∠ABC，那么CE∶EA＝　1∶2　.
1∶2　
利用角平分线性质定理解决几何问题
3.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC，求证:AB＋BD＝AC.
　
证明:如图，延长AB到点E，使BE＝BD，连接DE，则∠BDE＝∠BED，
∴AE＝AB＋BD.
∵∠ABD＝2∠BED，∠ABD＝2∠C，
∴∠BED＝∠C.
∵∠1＝∠2，
∴△ADC≌△ADE，AC＝AE，
∴AB＋BD＝AC.
【变式训练】如上题图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＋BD＝AC，求∠B∶∠C的值.
解:辅助线同上，得AE＝AB＋BD.
∵AB＋BD＝AC，∴AE＝AC.
易证△ADC≌△ADE，∠ACD＝∠BED，∴∠ABD＝2∠ACD，即∠ABD∶∠ACD＝2∶1.
【方法归纳交流】遇到角的平分线，要考虑“角平分线上的点到角两边的距离相等”和利用角平分线构造全等三角形.要证明“一条线段(或角)是另外两条线段(或角)的和”可以考虑用“截补法”.
1.△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6 cm，4 cm，4 cm，P为△ABC三条角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于(　D　)
A.1∶1∶1 B.2∶2∶3
C.2∶3∶2 D.3∶2∶2
D
2.如图，AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，DC⊥AC，B、C是垂足，那么BE与CE的关系是怎样的呢？请证明你的结论.
解:BE＝CE.
提示:先证△ABD≌△ACD，再证△BDE≌△CDE，得出BE＝CE.