21.4 二次函数的应用第1课时 建立二次函数模型解决实际问题课件(共34张PPT) 沪科版九年级上册数学

(共34张PPT)
第21章　二次函数与反比例函数
21.4　二次函数的应用
第1课时　建立二次函数模型解决实际问题
1.建立二次函数模型，解决几何图形面积的最值问题.
2.会用二次函数解决拱桥、隧道等抛物线形物体的相关问题.
3.体会数学建模的思想，感受数学的应用价值.
◎重点:建立二次函数模型.
◎难点:根据实际问题，建立二次函数模型.
二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题:某广告公司设计一幅周长为8米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米.请你设计一个方案，使获得的设计费最多.类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决.
图形面积问题
阅读课本本课时“例1”，回答下列问题.
1.设水面的一边长为x，则另一边长为　20－x　，面积可表示为S＝　－x2＋20x　.
2.说一说:开口向下的二次函数，有最　大　值，即顶点坐标的　纵　坐标.
20－x　
－x2＋20x　
大　
纵　
归纳总结　解二次函数最值问题的一般步骤:
(1)设未知数，列出二次函数的表达式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
(2)在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
抛物线形物体的相关问题
阅读课本本课时“例2”，回答下列问题.
(1)“例2”中，以桥面所在的直线为x轴有什么好处？以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系有什么好处？
这样建立x轴，则某点处的纵坐标就是该点悬索的高度；以对称轴为y轴，则二次函数表达式较简单，为y＝ax2＋k的形式.
(2)建立坐标系的过程，运用了什么数学思想？
运用了数学建模的思想，将一个实际问题转化为可以用二次函数解决的问题.
归纳总结　用函数的思想方法解决抛物线形拱桥问题:①先建立恰当的　平面直角坐标系　；②根据已知条件，对应二次函数上的点，求出函数　表达式　；③根据已知条件找到抛物线上某些特殊位置的　横　坐标，利用二次函数知识解决问题.
平面直角坐标系　
表达式　
横　
1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，设矩形的长为x m，则该矩形的宽为　(30－x)　m.若用S表示该矩形场地的面积，则S关于x的函数表达式为　S＝x(30－x)(0＜x＜30)　，将该函数表达式配方成顶点式，得　S＝－(x－15)2＋225　.因为抛物线S的开口向下，故当x＝　15　时，函数S的最大值为　225　.
(30－x)　
S＝x(30－x)(0＜x＜30)　
S＝－(x－15)2＋225　
15　
225　
2.一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度OC是4 m时，水面的宽度AB为　16 m　.
16 m　
1.如图1，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长18米)，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米.
问:(1)若鸡场的面积为150平方米，鸡场的长和宽各为多少米？
(2)鸡场面积可能达到200平方米吗？
(3)如图2，若要在鸡场内用竹篱笆加建一道隔栏，则鸡场最大的面积可达多少平方米？
解:(1)设宽为x米，则x(33－2x＋2)＝150，解得x1＝10，x2＝(不合题意，舍去)，
∴长为15米，宽为10米.
(2)设面积为W平方米，则W＝x(33－2x＋2).变形为W＝－22＋，
∴鸡场面积的最大值为153＜200，即不可能达到200平方米.
(3)设此时面积为Q平方米，宽为x米.则Q＝x(33－3x＋2)，变形得Q＝－32＋，∴此时鸡场面积的最大值为.
2.如图，有一个抛物线形的拱形立交桥，这个桥拱的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它放在如图所示的直角坐标系里，若要在离跨度中心点M的5 m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶，铁柱应取多长？
解:由题意，知抛物线的顶点坐标为(20，16)，点B(40，0)，
∴可设抛物线的表达式为y＝a(x－20)2＋16.
∵点B(40，0)在抛物线上，∴a(40－20)2＋16＝0，
∴a＝－，∴y＝－(x－20)2＋16.
∵竖立柱脚的点为(15，0)或(25，0)，
∴当x＝15时，y＝－(15－20)2＋16＝15(m)；
当x＝25时，y＝－(25－20)2＋16＝15(m)，
∴铁柱应取15 m.
方法归纳交流　解决这类题的基本思路:(1)理解题意；(2)找出问题中的两个变量，用待． 定． 系． 数． 法． 或根． 据． 实． 际． 意 ． 义． 求出　函数表达式　；(3)结合函数　图象　或　性质　求解；(4)注意自变量的　取值范围　，检验结果的合理性.
函数表达式　
图象　
性质　
取值范围　
1.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围.
(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
解:(1)方法一:设AE＝a，由题意得AE·AD＝2BE·BC，AD＝BC，∴BE＝a，AB＝a.由题意得2x＋3a＋2×a＝80，∴a＝20－x，y＝AB·BC＝a·x＝x，即y＝－x2＋30x，其中0＜x＜40.
方法二:根据题意得CF·x＝，CF＝，DF·x＝，DF＝，∴2x＋2×＋3×＝80，整理得y＝－x2＋30x，其中0＜x＜40.
(2)y＝－x2＋30x＝－(x－20)2＋300，由于－＜0，抛物线开口向下，又∵0＜x＜40，∴当x＝20时，y取最大值，最大值是300.
2.某家禽养殖场用总长为110 m的围栏靠墙(墙长为22 m)围成如图所示的三块矩形区域，矩形AEHG与矩形CDEF的面积都等于矩形BFHG面积的一半，设AD的长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
解:(1)∵矩形AEHG与矩形CDEF的面积都等于矩形BFHG面积的一半，
∴矩形AEFB面积是矩形CDEF面积的3倍，∴AE＝3DE.∵AD＝x，∴GH＝x.
∵围栏总长为110 m，∴2x＋x＋2CD＝110，
∴CD＝55－x，∴y＝x＝－x2＋55x，
∴自变量x的取值范围为24≤x＜40.
(2)∵y＝－x2＋55x＝－(x2－40x)＝－(x－20)2＋550，
∵自变量x的取值范围为24≤x＜40，且二次项系数为－＜0，
∴当x＝24时，y有最大值，最大值为528平方米.
3.某河上一座古拱桥的截面图如图1所示，拱桥桥洞上沿是抛物线形状.抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m.桥洞与水面的最大距离是5 m.桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯.现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图2.求:
(1)抛物线的表达式；
(2)两盏景观灯P1、P2之间的水平距离.
解:(1)抛物线的顶点坐标为(5，5)，与y轴交点坐标是(0，1)，
设抛物线的表达式是y＝a(x－5)2＋5.
把(0，1)代入y＝a(x－5)2＋5，得a＝－，
∴y＝－(x－5)2＋5(0≤x≤10).
(2)由已知得两景观灯的纵坐标都是4，
∴4＝－(x－5)2＋5，∴(x－5)2＝1，
∴x1＝，x2＝，∴两景观灯间的距离为－＝5米.
4.如图，这是一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面AB宽20 m，水位上升3 m就达到了警戒线CD，这时水面宽度为10 m.
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数表达式.
(2)若洪水到来时，水位以0.2 m/h的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时能到桥顶？
解:(1)设抛物线的函数表达式为y＝ax2，A点的坐标为(－10，n)，则C点的坐标为(－5，n＋3)，
∴解得∴抛物线的表达式为y＝－x2.
(2)由(1)可知，点C的坐标为(－5，－1)，即再持续＝5 h水位将升到桥顶.
1.如图，一边靠墙(墙有足够长)，三边用12 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是 (　C　)
A.16 m2 B.12 m2
C.18 m2 D.以上都不对
C
2.如图，这是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，若水面下降2 m，则水面宽度增加　4－4　m.
4－4　
3.如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，小强骑自行车从桥的一端O沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需　46　秒.
46