2023-2024学年沪科版九年级数学上册期末提升卷二
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．二次函数的图像的顶点坐标是 （ ）
A．（1，－5） B．（1，5） C．（－1，－5） D．（－1，5）
【答案】C
【分析】直接根据二次函数的顶点式即可求得顶点坐标．
【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为（-1，-5）．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，找出函数图象的顶点坐标是解题的关键．
2．已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（ ）
A．2 B．6 C．8 D．2
【答案】C
【分析】根据比例线段的定义列式求解即可，在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a∶b=c∶d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段；如果三个数a，b，c满足比例式a∶b=b∶c，则b就叫做a，c的比例中项．
【详解】解：由题意，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查比例线段，理解比例线段的定义，找准对应关系是解题关键．
3．点在一个反比例函数的图象上，则这个函数的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设反比例函数解析式为：，待定系数法求解即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为：，
根据题意可得：，
解得：，
反比例函数解析式为：，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数解析式，待定系数法求解是解题的关键．
4．如果（），那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据比例的性质，可得答案．
【详解】A、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故A不符合题意；
B、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故B不符合题意；
C、由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故C符合题意；
D、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
5．如图，一辆小车沿坡度为的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
【答案】A
【分析】在Rt△ABC中，设BC＝5k，AC＝12k，利用勾股定理求出k即可解决问题.
【详解】解：作BC⊥AC．
在Rt△ABC中，∵AB＝13m，BC：AC＝5：12，
∴可以假设：BC＝5k，AC＝12k，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴132＝（5k）2+（12k）2，
∴k＝1，
∴BC＝5m，
故选A．
【点睛】考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.
6．如图，抛物线过(－2，0)，(4，0)，(0，－4)三点，沿x轴方向平移抛物线，使得平移后的以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形的面积为9，则符合条件的平移方式有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】D
【分析】根据抛物线与x轴的交点确定交点间的距离，即为三角形的底边，由已知面积求高，确定出所有平移的方式即可得出答案．
【详解】∵抛物线过(－2，0)，(4，0)，(0，－4)三点
∴抛物线与x轴两交点之间的距离为6
∵平移后的抛物线与x轴，y轴的三个交点为顶点的三角形的面积为9
∴，解得y=3
∴抛物线与y轴交点纵坐标的绝对值为3
则符合条件的平移方式有4种
故答案选择D．
【点睛】本题考查的是二次函数，需要熟练掌握二次函数的图像与性质以及与二次函数平移的相关性质．
7．如图，地面上点A处有一只兔子，距它10米的B处有一根高1.6米的木桩，大树、木桩和兔子刚好在一条直线上．一只老鹰在9.6米高的树顶上刚好看见兔子，则大树C离木桩B( )米．
A．60 B．50 C．40 D．45
【答案】B
【分析】如图，证明△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质列式求解即可．
【详解】解：如图，
根据题意得，△ABE∽△ACD，
∴
∵AB=10m，BE=1.6m，CD=9.6m
∴
∴AC=60m
∴BC=AC-AB=60-10=50m
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
8．设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．0.5
【答案】A
【分析】把看作以上方程的两个不同的根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可
【详解】解： ，，
看作以上方程的两个不同的根，
即是方程的两根，
故，即
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．
9．如图，在纸板中，，，，P是上一点，沿过点P的直线剪下一个与相似的小三角形纸板．针对的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（ ）
甲：若，则有3种不同的剪法；
乙：若，则有4种不同的剪法；
丙：若，则有3种不同的剪法．
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
【答案】C
【分析】根据题意：沿过点P的直线剪下一个小三角形纸板与相似，有4种不同的剪法，分四种情况利用相似三角形的判定和性质讨论的取值范围，然后对甲乙丙进行判断即可．
【详解】解：沿过点P的直线剪下一个小三角形纸板与相似，有4种不同的剪法，如图，
设，则，
①第一种剪法：过点P作交于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴长的取值范围是；
②第二种剪法：过点P作交于点E，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
此时，长的取值范围是；
③第三种剪法：过点P作交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴长的取值范围是；
④第四种剪法：过点P作交于点G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为，
∴，
∴，
∴，
∴，
此时，长的取值范围是；
甲：，满足①③④种剪发，共三种不同的剪法，故正确；
乙：若，满足①②③④种剪法，则有4种不同的剪法，故正确；
丙：若，满足①②③④种剪法，则有4种不同的剪法，故错误．
故选：C．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质进行分类讨论确定的取值范围是解题关键．
10．如图，已知，都是等边三角形，B，C，D三点共线，边长分别为3，9．沿射线向右运动，速度为每秒1个单位长度，当点B到达点D时停止运动．设运动的时间为x秒，与重叠部分的面积为y，则下面的函数图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先计算的面积，然后利用相似三角形的性质计算解题即可．
【详解】解：如图，过A点作于点G，则，
∴，
∴，
当时，，即；
当时，；
当时，，即；
故选A．
【点睛】本题考查定点问题的图像，掌握动点问题中的分情况讨论是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．一元二次方程的根的情况是 ．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】先化成一般式再求根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：
∵
∴，
方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
12．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠A＝
【答案】1.2
【分析】作BE⊥AC于E，根据正切的定义即可求解.
【详解】作BE⊥AC于E，则BE＝6，AE＝5，
∴tan∠A＝＝＝1.2
故答案为1.2．
【点睛】此题主要考查正切的定义，解题的关键是根据网格作出垂线进行求解.
13．如图，反比例函数图象上有一点P，PA⊥x轴于点A，点B在y轴的负半轴上，若△PAB的面积为4，则k= ．
【答案】-8
【分析】由三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义即可得出关于k的含绝对值的一元一次方程，解方程可得出k的值，再由函数图象在第二、四象限即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴，
∵反比例函数y=的图象在第二、四象限，
∴k= 8.
故答案为 8.
【点睛】本题考查了三角形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是找出关于k的一元一次方程．解决该题型题目时，用三角形的面积公式表示出来三角形的面积，再结合反比例函数系数k的几何意义得出关于k的方程是关键．
14．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点，点F在边DC的延长线上，且，连接EF交边BC于点G，过点B作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段BN的长为 ．
【答案】
【分析】连接，由正方形的性质可得， ，可证得，可得 ，从而可得，根据等腰三角形三线合一可得点M为中点，由可证得，可得，设，则，由勾股定理解得，可得，由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形为正方形，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
设，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得：
，
即 ，
解得：，
∴，
∴ ，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题．
解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）
15．先化简再求值：其中.
【答案】
【分析】先将多项式进行因式分解，根据分式的加减乘除混合运算法则，先对括号里的进行通分，再将除法转化为乘法，约分化简即可.
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，熟练应用分式的基本性质进行约分和通分是解题的关键.
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为；
(2)若图形变换后点、的对应点分别为点、，请直接写出点、点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，；
【分析】（1）把A、B、C的横纵坐标都乘以得到点的坐标，然后描点连线即可；
（2）根据（1）中的变化规律写出坐标即可．
【详解】（1）如图所示：即为所求；
（2）；
【点睛】本题考查位似作图，熟练掌握关于原点为位似中心的对应点的坐标特征是解题的关键．
17．如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．
(1)求b的值；
(2)过点B作轴于点C，则的面积为________．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）将点代入中得出的值，从而得出点的坐标，将点的坐标代入即可得出答案；
（2）根据一次函数解析式求出点的坐标，从而得出的长度以及的长度，从而得出的面积．
【详解】（1）解：将点代入中得，
∴点，
将代入中，得，
解得；
（2）令，即，
解得，
∴点，
过点B作轴于点C，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质，求出相关交点的坐标是解本题的关键．
18．抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，已知A（-1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，求ΔBCD的面积．
【答案】（1） （2）4
【详解】试题分析：（1）把A （-1，0），B （3，0） 代入抛物线解析式，解方程即可得到结论；
（2）求出直线AC的解析式，然后得出点D的坐标，用公式△BCD的面积=△ABC的面积-△ABD的面积计算即可．
试题解析：解：（1）将A （-1，0），B （3，0） 代入得：
，解得 ．
∴抛物线的解析式为．
（2）∵点C为抛物线的顶点，∴C（1，-4）．
设直线AC的解析式为y=mx+n，将A （-1，0），C（1，-4）代入得：
，解得，∴直线AC的解析式为y=-2x-2，∴D（0，-2），∴ = = =4．
19．在中，，于点，平分，交于点，交于点．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，过点E作，交于点，若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先由直角三角形的性质得，，再由角平分线定义得，然后证出，即可得出结论；
（2）先证，，再证是等边三角形，得，然后由平行线的性质得，，则，得，进而得出结论．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
又平分，
，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，
，
，
平分，
，
，，，
，，
由（1）得：，
是等边三角形，
，
又，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定和直角三角形的性质是解题的关键．
20．如图，为等边的外接圆，半径为4，点D在劣弧上运动（不与A、C重合），连结．
(1)若，求的大小．
(2)求证：．
(3)试探索：四边形的面积S与的长x之间的函数关系，并求出函数解析式．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)四边形的面积S与的长x之间的函数关系为二次函数，函数解析式为
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，从而得到的度数，再由圆内接四边形的性质，即可求解；
（2）在线段上取点P，使，可得是等边三角形，从而得到，，进而得到，可证明，从而得到，即可；
（3）过点B作于点E，连接，则，，根据等边三角形外接圆的性质可得，把绕点B顺时针旋转得到，则，，，可得，是等边三角形，再证得点D，C，H三点共线，过点H作于点G，求出，即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在线段上取点P，使，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，过点B作于点E，连接，则，，
∵为等边的外接圆，则点O在上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点D在劣弧上运动，
∴，即，
如图，把绕点B顺时针旋转得到，则，，，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴，
∴点D，C，H三点共线，是等边三角形，
过点H作于点G，则，
∴，
∴，
即四边形的面积S与的长x之间的函数关系为二次函数，函数解析式为．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆内接四边形的性质、等边三角形的性质是解题的关键．
21．无锡市某食品店加工一种易变质的食品，成本为20元/千克，每天的产量y(千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式y=x+30，前期市场调查发现：该食品每天的市场需求量m（千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系式，部分数据如下表：根据我市物价部门规定：销售价格x不低于20元/千克且不高于90元/千克．
销售价格x（元/千克） 20 30 …… 90
市场需求量m（千克） 110 100 …… 40
（1）求m与x的函数关系式；（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种食品能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的食品，而剩余的食品因变质而只能以5元/千克贱卖给饲料厂．①当这种食品的产量小于或等于市场需求量时，求食品店生产与销售该食品获得的利润w（元）与销售价格x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；②食品店生产与销售这种食品的利润能否超过2400元？若可以，求出销售价格x的范围，若不可以，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①，②
【分析】（1）用待定系数法确定解析式即可；
（2）①根据y≤m，即x+30≤-x+130,解不等式即可确定x的范围，根据利润=每千克利润×售量计算即可；②分两种情形计算判断．
【详解】(1)设m=kx+b根据表格数据得
，
解得，
故m=-x+130（20≤x≤90）；
(2)①当y≤m时，即x+30≤-x+130,
解得x≤50,
∵销售价格x不低于20元/千克且不高于90元/千克，
∴20≤x≤50，
依题意有w=y(x-20)= +10x-600（20≤x≤50）；
②当20≤x≤50时，
w=+10x-600≥2400，
解得x≥50,
∴x=50，
当50＜x≤90时，
W=x(-x+30)+5[(x+30)-(-x+130)]-20(x+30)=-x2+120x-1100
当W=2400时，解得x=50或70
综上，50＜x＜70．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式，利润的计算，一元二次方程的解法，二次函数的性质与应用，熟练掌握待定系数法，利润的计算是解题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为
(1)求n的值和抛物线的解析式；
(2)已知点P是抛物线上位于点B、C之间的一动点（不与点B，C重合），设点P的横坐标为a．当a为何值时，的面积最大，并求出其最大值；
(3)在y轴上是否存在点M，使与相似？若存在，直接写出点M的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)当时，的面积的最大，最大值为18
(3)存在，或
【分析】（1）根据，求出点A、B、C的坐标分别为，再把点B、C的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；
（2）过点P作y轴的平行线交于点H，设点P的坐标为，则点，得到的二次函数解析式，结合二次函数的性质，即可求解；
（3）根据题意可得为等腰直角三角形，从而得到为等腰直角三角形，然后分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：对于，
令，则，令，则，解得x=2，
当时，，
∴点A、B、C的坐标分别为；
将点B、C的坐标代入抛物线的表达式得：
，解得，
故抛物线的表达式为；
（2）解：如图，过点P作y轴的平行线交于点H，
设点P的坐标为，则点，
∴
∵，
∴当时，的面积的最大，最大值为18；
（3）解：存在，理由：
∵A、B的坐标分别为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵与相似，
∴为等腰直角三角形，
①当为直角时，如图，
则点的纵坐标与点C的纵坐标相同，
∴点；
②当为直角时，
∴点是的中点，
∴点；
故点M的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
23．如图，在菱形中，，是对角线上一点，是线段延长线上一点且，连接．
（1）如图，若是线段的中点，连接，其他条件不变，直接写出线段与的数量关系；
（2）如图，若是线段上任意一点，连接，其他条件不变，猜想线段与的数量关系是什么？并证明你的猜想；
（3）如图，若是线段延长线上一点，其他条件不变，且，菱形的周长为，直接写出的长度．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）7
【分析】（1）由菱形的性质和已知条件得出是等边三角形，得出，由等边三角形的性质和已知条件得出，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出，即可得出结论．
（2）过点作交于点，先证明是等边三角形，得出，，再证明是等边三角形，得出，，然后由证得，即可得出结论．
（3）过点作交延长线于点，证明同（2），得出，证明，，则，，得出，，则，由勾股定理即可得出结果．
【详解】解：（1）；理由如下：
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
是线段的中点，
，，
，
，
，
，
．
故答案为；
（2）猜想线段与的数量关系为：；
证明：过点作交于点，如图所示：
四边形为菱形，，
，，，与都是等边三角形，
，，
，
又，
，
又，
是等边三角形，
，
，，
又，
，
在和中，
，
，
；
（3）过点作交延长线于点，如图：
四边形为菱形，，菱形的周长为，
是等边三角形，，
，，
，
又，
，
又，
是等边三角形，
，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
由勾股定理得：．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识；解题的关键是熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版九年级数学上册期末提升卷二
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．二次函数的图像的顶点坐标是 （ ）
A．（1，－5） B．（1，5） C．（－1，－5） D．（－1，5）
2．已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（ ）
A．2 B．6 C．8 D．2
3．点在一个反比例函数的图象上，则这个函数的关系式为（ ）
A． B． C． D．
4．如果（），那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一辆小车沿坡度为的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
6．如图，抛物线过(－2，0)，(4，0)，(0，－4)三点，沿x轴方向平移抛物线，使得平移后的以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形的面积为9，则符合条件的平移方式有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
7．如图，地面上点A处有一只兔子，距它10米的B处有一根高1.6米的木桩，大树、木桩和兔子刚好在一条直线上．一只老鹰在9.6米高的树顶上刚好看见兔子，则大树C离木桩B( )米．
A．60 B．50 C．40 D．45
8．设为互不相等的实数，且，，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．0.5
9．如图，在纸板中，，，，P是上一点，沿过点P的直线剪下一个与相似的小三角形纸板．针对的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（ ）
甲：若，则有3种不同的剪法；
乙：若，则有4种不同的剪法；
丙：若，则有3种不同的剪法．
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
10．如图，已知，都是等边三角形，B，C，D三点共线，边长分别为3，9．沿射线向右运动，速度为每秒1个单位长度，当点B到达点D时停止运动．设运动的时间为x秒，与重叠部分的面积为y，则下面的函数图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．一元二次方程的根的情况是 ．
12．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠A＝
13．如图，反比例函数图象上有一点P，PA⊥x轴于点A，点B在y轴的负半轴上，若△PAB的面积为4，则k= ．
14．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点，点F在边DC的延长线上，且，连接EF交边BC于点G，过点B作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段BN的长为 ．
解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）
15．先化简再求值：其中.
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为；
(2)若图形变换后点、的对应点分别为点、，请直接写出点、点的坐标．
17．如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．
(1)求b的值；
(2)过点B作轴于点C，则的面积为________．
18．抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，已知A（-1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，求ΔBCD的面积．
19．在中，，于点，平分，交于点，交于点．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，过点E作，交于点，若，求证：．
20．如图，为等边的外接圆，半径为4，点D在劣弧上运动（不与A、C重合），连结．
(1)若，求的大小．
(2)求证：．
(3)试探索：四边形的面积S与的长x之间的函数关系，并求出函数解析式．
21．无锡市某食品店加工一种易变质的食品，成本为20元/千克，每天的产量y(千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式y=x+30，前期市场调查发现：该食品每天的市场需求量m（千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系式，部分数据如下表：根据我市物价部门规定：销售价格x不低于20元/千克且不高于90元/千克．
销售价格x（元/千克） 20 30 …… 90
市场需求量m（千克） 110 100 …… 40
（1）求m与x的函数关系式；（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种食品能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的食品，而剩余的食品因变质而只能以5元/千克贱卖给饲料厂．①当这种食品的产量小于或等于市场需求量时，求食品店生产与销售该食品获得的利润w（元）与销售价格x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；②食品店生产与销售这种食品的利润能否超过2400元？若可以，求出销售价格x的范围，若不可以，请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为
(1)求n的值和抛物线的解析式；
(2)已知点P是抛物线上位于点B、C之间的一动点（不与点B，C重合），设点P的横坐标为a．当a为何值时，的面积最大，并求出其最大值；
(3)在y轴上是否存在点M，使与相似？若存在，直接写出点M的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由．
23．如图，在菱形中，，是对角线上一点，是线段延长线上一点且，连接．
（1）如图，若是线段的中点，连接，其他条件不变，直接写出线段与的数量关系；
（2）如图，若是线段上任意一点，连接，其他条件不变，猜想线段与的数量关系是什么？并证明你的猜想；
（3）如图，若是线段延长线上一点，其他条件不变，且，菱形的周长为，直接写出的长度．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
