宜宾市叙州区2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试题参考答案
1．C 2．C 3．D 4．A 5．A 6．A 7．C 8．C
9．BC 10．BC 11．ACD 12．BD
13．32 14．或 15． 16．
17．（1）因为直线的斜率，，所以直线的斜率为，
又因为直线过点，因此，直线的方程为，即；
（2）在直线的方程中，令，可得，所以，直线在轴上的截距为，
所以，直线在轴上的截距为，
又因为直线的斜率为，所以直线的方程为，即，
因此，直线在轴上的截距为.
18．（1）设圆C的方程为，
则依题意得，解得．∴圆C的方程为.
（2）依题意可设直线l的方程为，
设，，
将代入并整理得：
，∴，，
则，
∴，
即，解得，
又知时，∴，∴直线l的方程为．
19．（1）记第轮比赛丁胜、平、负的事件分别为，每场比赛结果相互独立.
丁总分为7分，则丁三场比赛两胜一平，记丁三轮比赛两胜一平的事件为，
丁总分7分一定出线.
理由如下：丁三场比赛中赢两场，这两场丁的对手比分最多6分.
小组赛两队出线，所以丁一定出线.
（2）第一轮比赛，甲胜乙，丙胜丁，又丁总分为6分，则丁对战甲、乙都获胜，此时，乙队总分最多3分，少于丁队总分，
①第二轮中若甲负于丙或平丙时，甲总分最多4分，少于丁队总分，此时甲、乙两队少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率，
②第二轮中若甲胜丙、第三轮中丙平乙或负于乙时，丙总分最多4分，此时丙、乙两队少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率，
③第二轮中若甲胜丙时、第三轮中丙胜乙时，甲、丁、丙队总分均为6分，此时由抽签确定出线，三队中有两队出线，每队出线概率为，
丁队出线的概率，
综上，丁以6分出线的概率为.
20．（1）依题意.
（2）与联立得，，得
，
又，又m>0，m=4.
且，
，当k=0时，S最小，最小值为.
21．（1）连接AC，∵底面ABCD为菱形，，
∴△ABC为正三角形，
∵E是BC的中点，∴，又，
∴，
∵平面ABCD，平面ABCD，∴，
∵，PA、平面PAD，
∴平面PAD，
（2）由（1）知，AE、AD、AP两两垂直，故以AE、AD、AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，
∴，，．
设，．
设平面PCD的法向量为，
则
令，则，，∴．
设直线AF与平面PCD所成的角为，
则，
当时，最大，此时F为PC的中点．
22．（1）因为椭圆过点、，则有，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，.由（1）知，.
因为，则有，
即，
所以解得
即.
分别将、两点的坐标代入得
解得（舍）或
所以所求点的坐标为.
（3）设存在常数，使得.由题意可设直线的方程为，点，，则.
又因为，即，即，
所以
即（*）
又由得，，
且，.代入（*）得
即，
所以存在常数，使得.宜宾市叙州区2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．新华中学高三年级有学生1100人，高二年级有学生900人，高一年级有学生1000人，现以年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级中抽取一个容量为150的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取的学生人数为
A．45 B．50 C．55 D．60
2．直线经过点，且倾斜角，则直线的方程为
A． B．
C． D．
3．准线方程为的抛物线的标准方程为
A． B． C． D．
4．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至多有一个黑球”与“至少有两个黑球”
5．已知直线过点，平行于向量，平面经过直线和点，则平面的一个法向量的坐标为
A． B． C． D．
6．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是
A． B． C． D．
7．的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆方程是
A． B．
C． D．
8．已知双曲线的渐近线分别为，，点是轴上与坐标原点不重合的一点，以为直径的圆交直线于点，，交直线于点，，若，则该双曲线的离心率是
A．或 B．2 C．或2 D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的学生有60人，则下列说法正确的是
A．样本中支出在[50，60)元的频率为0.03
B．n的值为200
C．样本中支出不少于40元的人数为132
D．若该校有2 000名学生，则一定有800人支出在[50，60)元
10．已知曲线，则
A．若，，则曲线C表示椭圆
B．若，则曲线C表示双曲线
C．若，，则曲线C表示双曲线，其渐近线方程为
D．若，，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，其离心率
11．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中证明了命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，人们称之为阿氏圆.现有，，.以所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则
A．点A的轨迹方程为
B．点A的轨迹是以为圆心，3为半径的圆
C．面积的最大值为12
D．当时，的内切圆半径为
12．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的动点（不含端点P），则下列说法正确的是
A．对任意点，则有、、、四点共面
B．存在点，使得、、、四点共面
C．对任意点，则有平面
D．存在点，使得平面
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本．若样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为 .
14．与共线的单位向量是 .
15．已知的圆心在曲线上，且与直线相切，则的面积的最小值为 .
16．已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知两条直线和.
（1）若，且过点，求的方程；
（2）若与在轴上的截距相等，且的斜率为，求在轴上的截距.
18．（12分）已知圆C经过、，圆心C在直线上，过点且斜率为k的直线l与圆相交于M、N两点．
(1)求圆C的方程；
(2)若（O为坐标原点），求直线l的方程．
19．（12分）甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表：
第一轮 甲VS乙 丙VS丁
第二轮 甲VS丙 乙VS丁
第三轮 甲VS丁 乙VS丙
规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线.假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立.
(1)求丁的总分为7分的概率；判断此时丁能否出线，并说明理由；
(2)若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3，0，3，0，求丁以6分的成绩出线的概率.
20．（12分）已知抛物线的焦点为F，点是抛物线上的点，且.
（1）求抛物线方程；
（2）直线与抛物线交于、两点，且.求△OPQ面积的最小值.
21．（12分）已知，如图四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，平面ABCD，E，M分别是BC，PD中点，点F是棱PC上的动点．
(1)证明：平面PAD；
(2)请确定F点的位置，使得直线AF与平面PCD所成的角取最大值．
22．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，且椭圆过点、，过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点（点P在x轴的上方）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求点P的坐标；
(3)设直线AP、BQ的斜率分别为、，是否存在常数，使得 若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
