河南省郑州市重点中学2023-2024学年高一上学期第二次调研考试数学试卷(含答案)

2023-2024学年上期高一年级第二次调研考试
数学试卷
试卷说明：①试卷共150分，120分钟；②请在答题卡规定区域作答.
一.单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.将集合表示成列举法，正确的是( )
A. B. C. D.
2.设，，则( )
A. B. C. D.
3.若，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则( )
A. B.
C. D.
5.函数的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
6.我国古代数学家赵爽在注解周髀算经一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.函数为偶函数，且对任意，都有，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二.多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法中正确的是( )
A. 半径为，圆心角为弧度的扇形面积为
B. 若是第二象限角，则是第一象限角
C. ，
D. 命题：，的否定是：，
10.已知关于的不等式的解集为，则( )
A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为
11.下列说法中正确的有( )
A. 已知，则的最小值为
B. 若正数，满足，则的最小值为
C. 的最大值为
D. 若，则
12.已知定义在上的函数满足，，且当时，，若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是( )
A. 的图象关于直线对称 B. 当时，
C. 当时，单调递减 D. 的取值范围是
三.填空题（本大题共4小题，共20分）
13.函数的零点为 ．
14.函数的定义域为，则实数的取值范围是_______
15.函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，若集合，则中所有元素之和为 ．
16.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是 ．
四.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.分已知全集，集合，集合．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
18.分化简
；
已知是第三象限角，化简 ；
已知，为锐角，求的值.
19.分 已知是定义在上的奇函数，且．
求的解析式；
判断的单调性，并证明你的结论；
解不等式．
20.分为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面为平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设屋子的左右两面墙的长度均为米．
1当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价
现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
21.分已知函数
若不等式的解集为，求的取值范围；
当时，解不等式．
22.分已知函数对任意，，总有，且当时，，．
求证：是上的奇函数；
求证：是上的减函数；
若，求实数的取值范围．
2023-2024学年上期高一年级第二次调研考试
数学答案和解析
1-8 BAAB ACCD
9. 10. 11. 12.
13.和 14. 15. 16.
16.解：由题意，易知函数，
由，，得，，
故单调递减区间为，
若函数在上单调递减，
则，解得，，
又，，
当时，，
故答案为．
17.解：当时，，，
或，
．
，
集合可以分为或两种情况讨论，
当时，，即；
当时，得
即．
综上，．
18. 解：原式
解：是第三象限角，
，，
．
解：，为锐角，
为锐角，
，
．
19. 解：由是定义在上的奇函数，
则有，即，
又由，则，解可得，
则的解析式为，经检验满足是定义在上的奇函数，
所以；
当时，函数单调递增，
证明如下：设，
，
又由，则，，；
则，即，
所以，
所以函数在上单调递增；
根据题意，，且为奇函数，
则有，
当时，函数单调递增，
则有，解可得，
则的取值范围为
20.解：Ⅰ设甲工程队的总造价为元，
则，．
当且仅当，即时等号成立．
即当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为元．
Ⅱ由题意可得，对任意的恒成立．
即，从而恒成立，
令，，
又在为单调增函数，
故．
所以．
21.解：当，即时，解集不是空集，舍去，
当，即时，方程无实数根，
，即
，解得，
的取值范围是；
，化简得：，
当，即时，解集为，
当，即时，，
，解集为，
当，即时，，
，，，
解集为．
综上，当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为．
22.证明：函数 对任意 ， ，总有 ，令 ，则 ，解得 ．
令 ，得到 ，则
可证， 是 上的奇函数．
在 上任取 、 且 ， ，
由 是 上的奇函数，
所以 ，
因为 ，所以 ．
由题可知，当 时， ，
所以 即
所以函数 是 上的减函数．
解：因为 ，
令 ，则
令 ，则 ．
因为 ，
所以
又因为函数 是 上的减函数，
所以 ，则 ，解得 ，
则实数 的取值范围是 ．