班级 姓名 考试号 座位号 *******************密*******************封********************线*********************
淳安县重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学答案卷
单选 多选 填空 17题 18题 19题 20题 21题 22题 总分
一
一、选择题：每小题5分，共60分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C D A C A C B ABD ABD BC BCD
二．填空题：每小题5分，共20分
13. ； 14. 8 ； 15. ； 16. ；
三．解答题：本大题共6小题，共70分
17.（本题满分10分）
【解析】
【1】由题意得在圆外，则，即
又，即或所以或.
【2】时，圆方程为，则圆的半径，圆心，
直线方程为，设圆心到直线的距离为，
，
18．（本题满分12分）
【解析】
【1】由正弦定理得，
，，
，因为，所以，所以，
因为，所以.
【2】在中，因为，所以，
所以.解得，或（舍），设边上的高为，
因为，所以.
19.【1】由，得.
【2】平均数为：岁；
设中位数，则，∴岁.
【3】第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为，，，，，设从5人中随机抽取2人，为，，，，，，，，，共10个基本事件，这2人恰好在同一组的基本事件，，，共4个，所以.
20.（本题满分12分）
【解析】
【1】证明：∵平面平面，
平面平面BCFE，又∵平面BCFE，且
∴平面PBC，且平面，∴
【2】取BC中点，连接PO，∵，∴
∵平面平面，平面平面，平面
∴平面BCFE
以为原点，CB，CF所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，设，
由得，解得，所以，
设，由得，解得，
∴，则，，
平面BEF的一个法向量，设平面PEF的一个法向量，
，令，得，
设二面角的平面角为，易知为锐角，则，
∴二面角的余弦值为．
21.（本题满分12分）
【解析】
【小问1详解】因为第15天的日销售收入为1057元，所以，解得.
【小问2详解】由表中的数据知，当时间变化时，先增后减.
而函数模型①；③；④都是单调函数，
所以选择函数模型②.
由，解得，，.
所以日销售量与时间的变化关系为.
【小问3详解】由（2）知
所以
即.
当，时，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立.
当，时，单调递减，
所以.综上所述：当时，取得最小值，最小值为961.
22.（本题满分12分）
【解析】
【小问1详解】由题意:,又,解得,所以椭圆的方程为:;
【小问2详解】设,则,
令,得,同理,
联立,得,
则,
所以,
则,
求得.淳安县重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数为纯虚数，则实数值为（ ）
A. 2 B. 2或 C. D.
3. 在正三棱柱中，所有棱长均为2，点分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数是（ ）
A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
5. “忽登最高塔，眼界穷大千．卞峰照城郭，震泽浮云天．”这是苏东坡笔下的湖城三绝之一“塔里塔”飞英塔．某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C处测得飞英塔顶端A的仰角，则飞英塔的高度约是（ ）（参考数据：，，）
A. 45米 B. 50米 C. 55米 D. 60米
6. 已知，，圆：上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7．已知和是双曲线：的左、右焦点，是上一点，当时，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8．如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角锐角，则
10．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A、B，满足，，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. A与B互斥 D. A与B相互独立
11．设函数，则（ ）
A. 函数是偶函数 B. 函数是奇函数
C. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
D. 函数在区间上单调递增
12. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（ ）
A. 过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条
B. 设点，则的最大值为 C. 点到直线的最小距离为
D. 点到直线与点到轴距离之和的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线，直线，若，则__________.
14．已知，，，，若四点共面，则＝_______．
15. 在三棱锥中，已知，，若点是线段延长线上的一动点，则直线与平面所成的角的正弦值的最大值为______.
16．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的最大值为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）已知点，圆C：.
（1）若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围；
（2）当时，过直线上一点P作圆的两条切线PM PN，求四边形PMCN面积的最小值.
18．（本题满分12分） 在中，角所对的边分别为，．
（1）求A的大小； （2）若，求边上的高．
19. （本题满分12分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示
（1）求出a的值；
（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．
20. （本题满分12分）如图，在四边形ABCD中（如图1），，，，，F分别是边BD，CD上的点，将沿BC翻折，将沿EF翻折，使得点与点重合（记为点），且平面平面BCFE（如图2）
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
15 20 25 30
105 110 105 100
21.（本题满分12分）近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如右表所示：
设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.
（1）求的值；
（2）给出以下四种函数模型：
①；②；③；④
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）利用问题（2）中的函数，求的最小值.
22. （本题满分12分）已知离心率为的椭圆过点.
（1）求椭圆的方程;
（2）设直线与椭圆交于不同的两点,直线分别交直线于点.当面积为8时,求的值.
