2023-2024学年上海市松江区高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市松江区华政附中高二（上）期中数学试卷
一、填空题。（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（4分）用集合符号表示直线l在平面α上 　 　．
2．（4分）斜线与平面所成角的取值范围是　 　．
3．（4分）已知空间中角α的两边分别平行于角β的两边，若α＝60°，则β＝　 　．
4．（4分）若平面α与平面β平行，a α，b β　 　．
5．（4分）将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A′B′C′，则△A′B′C′的面积为 　 　．
6．（4分）已知P为△ABC所在平面外一点，且在平面ABC上的射影为O，若P到△ABC的三边距离相等　 　心．
7．（5分）数列{an}首项为，公比为m的无穷等比数列，且{an}的各项和为m，则m＝　 　．
8．（5分）已知矩形ABCD，PD⊥平面ABCD，AB＝4，PD＝5，则点P到直线AC的距离为 　 　．
9．（5分）如图，PA，PB，他们之间每两条的夹角都是60°，则直线PC与平面PAB所成角的大小为 　 　．
10．（5分）一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为30°，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成60°角，升高了 　 　米．
11．（5分）某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（i是整数）．设黑“电子狗”爬完2025段、黄“电子狗”爬完2022段后各自停止在正方体的某个顶点处　 　．
12．（5分）已知无穷等比数列{an}的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列{an}的个数为 　 　．
二、选择题。（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．（4分）两个平面α，β，则α∥β的充要条件是（　　）
A．α上有无数条直线与β平行
B．α上有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
14．（4分）在空间中，下列命题为真命题的是（　　）
A．若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行
B．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直
C．若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直
D．若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直
15．（5分）已知点V是正方形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，点P是棱VA上异于点V的一动点（　　）
A．△VBC的外部 B．△VBC的内部
C．△VBC的一边上 D．以上皆有可能
16．（5分）若数列{bn}、{cn}均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数mm∈[cn，cn+1]，则称数列{bn}为数列{cn}的“M数列”．已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列选项中为假命题的是（　　）
A．存在等差数列{an}，使得{an}是{Sn}的“M数列”
B．存在等比数列{an}，使得{an}是{Sn}的“M数列”
C．存在等差数列{an}，使得{Sn}是{an}的“M数列”
D．存在等比数列{an}，使得{Sn}是{an}的“M数列”
三、解答题。（本大题共有5题，满分78分）
17．（14分）在四面体ABCD中，各棱长均相等，H、G分别是AD、CD的中点，且＝＝2．
（1）求证：E、F、G、H四点共面；
（2）求异面直线AC和FG所成角的大小．
18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，PD⊥平面ABCD，E为棱BC的中点．
（1）求证：ED⊥平面PAD；
（2）若PD＝AD＝2，求点D到平面PBC的距离．
19．（14分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为AD、BD1的中点．
（1）求证：MN⊥AD；
（2）求D1C与平面D1MB所成角的大小．
20．（18分）如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（2）无论点E在边BC的何处，PE与AF所成角是否都为定值，若是；若不是，请说明理由；
（3）当BE等于何值时，二面角P﹣DE﹣A的大小为45°．
21．（18分）已知等差数列{an}公差为d（d≠0），前n项和为Sn．
（1）若a1＝﹣1，S3＝12，求{an}的通项公式；
（2）若a1＝1，a1、a3、a13成等比数列，且存在正整数p、q（p≠q），使得与，求ap+q的值；
（3）若，证明对任意的等差数列{an}，不等式恒成立．
2023-2024学年上海市松江区华政附中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题。（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（4分）用集合符号表示直线l在平面α上 　l α　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：直线l在平面α上，即直线l包含于平面α．
故答案为：l α．
2．（4分）斜线与平面所成角的取值范围是　（0，）　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：斜线与平面所成角的取值范围是：（0，）．
故答案为：（5，）．
3．（4分）已知空间中角α的两边分别平行于角β的两边，若α＝60°，则β＝　60°或120°　．
【答案】60°或120°．
【解答】解：空间等角定理：空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行．
因为空间中角α的两边分别平行于角β的两边，所以α与β相等或互补，
因为α＝60°，所以β＝60°或120°．
故答案为：60°或120°．
4．（4分）若平面α与平面β平行，a α，b β　平行或异面　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵平面α∥平面β，
∴平面α与平面β没有公共点
∵a α，b β，
∴直线a，b没有公共点
∴直线a，b的位置关系是平行或异面
故答案为：平行或异面．
5．（4分）将边长为10的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A′B′C′，则△A′B′C′的面积为 　　．
【答案】．
【解答】解：边长为10的正三角形ABC的面积为＝25，
∴△A′B′C′的面积为＝．
故答案为：．
6．（4分）已知P为△ABC所在平面外一点，且在平面ABC上的射影为O，若P到△ABC的三边距离相等　内　心．
【答案】内．
【解答】解：设点P到AB、BC、PF，则点O到AB、CA的距离分别为OE、OG．
若PE＝PF＝PG，则Rt△PEO≌Rt△PFO≌Rt△PGO，可知O为△ABC的内心．
故答案为：内．
7．（5分）数列{an}首项为，公比为m的无穷等比数列，且{an}的各项和为m，则m＝　﹣　．
【答案】﹣．
【解答】解：由题意得＝m，
即m＝﹣或m＝．
故答案为：﹣．
8．（5分）已知矩形ABCD，PD⊥平面ABCD，AB＝4，PD＝5，则点P到直线AC的距离为 　　．
【答案】．
【解答】解：过点D作AC边上的高DM，垂足为M，
在直角三角形ACD中，
由面积相等，得AD DM，
∴DM＝＝＝，
∵PD垂直平面ABCD，DM ABCD，
∴PD⊥DM，又AC 平面ABCD，
∴PD⊥AC，又AC∩DM＝M
∴AC⊥平面PDM，
又PM 平面PDM，
∴AC⊥PM，∴PM就是点P到AC的距离，
在△PDM中，由勾股定理得：
PM＝＝＝，
∴点P到AC的距离为．
9．（5分）如图，PA，PB，他们之间每两条的夹角都是60°，则直线PC与平面PAB所成角的大小为 　　．
【答案】．
【解答】解：如图，过PC上一点D作DO⊥平面APB，
过点O作OE⊥PB，OF⊥PA，
则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角，
因为DO⊥平面APB，所以DO⊥PA，
又OD∩OF＝O，OD，
所以PA⊥平面DFO，则PA⊥DF，
同理可证PE⊥DE，
因为∠APC＝∠BPC＝60°，
所以Rt△PDE Rt△PDF，所以DE＝DF，
所以点O在∠BPA的平分线上，∠OPF＝30°，
设，则OP＝2，，
故，
线PC与平面PAB所成角的大小为．
故答案为：．
10．（5分）一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为30°，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成60°角，升高了 　　米．
【答案】．
【解答】解：如图，
已知CD＝100米，作DH⊥过BC的平面，线段DH的长度就是所求的高度，
在平面DBC 内，过点D作DG⊥BC，连接GH，
∵DH⊥平面BCH，
∴DH⊥BC，又DG⊥BC，
∴GB⊥平面DGH，又GH 平面DGH，
∴GH⊥BC，
∴∠DGH为坡面DGC与水平面BCH所成二面角的平面角，则∠DGH＝30°，
依题意，∠DCG＝60°米．
故答案为：．
11．（5分）某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（i是整数）．设黑“电子狗”爬完2025段、黄“电子狗”爬完2022段后各自停止在正方体的某个顶点处　　．
【答案】．
【解答】解：由题意，黑“电子狗”爬行路线为AA1→A1D6→D1C1→C3C→CB→BA，即过6段后又回到起点，
同理，黄“电子狗”爬行路线为AB→BB1→B3C1→C1D5→D1D→DA，
也是过6段后又回到起点，
所以黑“电子狗”爬完2025段后实质是到达点C7，
黄“电子狗”爬完2022段后到达第六段的终点A，
此时的距离为|AC1|＝．
故答案为：．
12．（5分）已知无穷等比数列{an}的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列{an}的个数为 　13　．
【答案】13．
【解答】解：∵无穷等比数列{an}的各项均为正整数，
∴a1是正整数，公比q是正整数；
∵＝＝2022，
∴a1q＝2022（q﹣a2），
∴a1＝＝2022﹣，
∵2022＝337×3×2，
∴20225＝337×337×3×3×3×2，
其中2，6，337为质数；
∵为整数，
∴2022+q是20228的约数；
∴2022+q是337，337，3，3，7；
又∵2022+q＞2022，
①当从337，337，3，3，6，
2022+q＝337×337；
只有1种情况；
②当从337，337，3，4，2，
2022+q＝337×3×8，
或2022+q＝337×337×2，
或2022+q＝337×337×3，
共7种情况；
③当从337，337，3，3，2，
2022+q＝337×3×2×8，
或2022+q＝337×3×3×8，
或2022+q＝337×337×2×2，
或2022+q＝337×337×7×2，
或2022+q＝337×337×3×3；
共5种情况；
④当从337，337，3，2，2，
2022+q＝337×3×5×2×2，
或2022+q＝337×337×5×2×2，
或2022+q＝337×337×2×3×2，
共3种情况；
⑤当从337，337，3，3，2，
2022+q＝337×337×3×3×2×2，
只有1种情况；
综上所述，共有4+3+5+3+1＝13种，
故答案为：13．
二、选择题。（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．（4分）两个平面α，β，则α∥β的充要条件是（　　）
A．α上有无数条直线与β平行
B．α上有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解答】解：如图所示正方体ABCD﹣EFGH中，设平面ADHE为α，
显然平面α中有无数条直线与平面β平行，但α∩β＝AD；
由面面平行的判定定理和性质定理可知B正确；
又FG∥α，FG∥β，故C错误；
设平面ADHE为α，平面ABCD为β，
α⊥平面ABFE，β⊥平面ABFE，故D错误．
故选：B．
14．（4分）在空间中，下列命题为真命题的是（　　）
A．若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行
B．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直
C．若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直
D．若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若两条直线垂直于第三条直线、异面或相交；
对于B，若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，B错误；
对于C，若两个平面垂直，C错误；
对于D，由直线与平面垂直的性质可得：若一条直线平行于一个平面，则这两条直线互相垂直．
故选：D．
15．（5分）已知点V是正方形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，点P是棱VA上异于点V的一动点（　　）
A．△VBC的外部 B．△VBC的内部
C．△VBC的一边上 D．以上皆有可能
【答案】A
【解答】解：因为四边形ABCD为正方形，且VA＝VB＝VC＝VD，
所以四棱锥V﹣ABCD是正四棱锥；
把正四棱锥V﹣ABCD放入正四棱柱ABCD﹣A1B1C7D1中，则V是上底面的中心
连接A1B2与C1D1的中点EF，由图可知，垂足为A′，
可知点P在平面VBC上的射影落在线段A′V上，所以在△VBC外部．
故选：A．
16．（5分）若数列{bn}、{cn}均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数mm∈[cn，cn+1]，则称数列{bn}为数列{cn}的“M数列”．已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列选项中为假命题的是（　　）
A．存在等差数列{an}，使得{an}是{Sn}的“M数列”
B．存在等比数列{an}，使得{an}是{Sn}的“M数列”
C．存在等差数列{an}，使得{Sn}是{an}的“M数列”
D．存在等比数列{an}，使得{Sn}是{an}的“M数列”
【答案】C
【解答】解：对于A，例如an＝n＞0，则{an}是等差数列，{an}，{Sn}都是严格增数列，
可得，
则Sn+1﹣Sn＝n+1＞8，
取m＝，则∈[Sn，Sn+1]，即am∈[Sn，Sn+1]成立，
所以{an}是{Sn}的“M数列”，所以A为真命题；
对于B，例如an＝7n＞0，则{an}是等比数列，{an}，{Sn}都是严格增数列，
可得Sn＝＝4n﹣1，则Sn+1﹣Sn＝＝an+5＝2n＞1，
取m＝n+7，则（2n﹣1）+8＝2n∈[Sn，Sn+1]，即am∈[Sn，Sn+4]成立，
所以{an}是{Sn}的“M数列”，所以B为真命题；
对于C，存在等差数列{an}，使得{Sn}是{an}的“M数列”，
设等差数列{an}的公差为d，因为{an}，{Sn}都是严格增数列，
所以d＞0，Sn+1﹣Sn＝an+6＞0，所以a2＞6，取n0∈N ，满足，
可知必存在n＝k∈N ，使得成立，
当n＝k+7时，对任意正整数m≥n0+1，则有；
对任意正整数m≤n0，则有；故不存在正整数m使得ak≤Sm≤ak+1，
所以C为假命题；
对于D；例如an}是等比数列，{an}，{Sn}都是严格增数列，
可得Sn＝＝7n﹣1，则an+1﹣an＝5n﹣1≥1，
取m＝n，则2n﹣1∈[an，an+1]，即Sn∈[an，an+6]成立，
所以{Sn}是{an}的“M数列”，所以D为真命题；
故选：C．
三、解答题。（本大题共有5题，满分78分）
17．（14分）在四面体ABCD中，各棱长均相等，H、G分别是AD、CD的中点，且＝＝2．
（1）求证：E、F、G、H四点共面；
（2）求异面直线AC和FG所成角的大小．
【答案】（1）证明见解答；
（2）arccos．
【解答】（1）证明：因为H、G分别是AD，所以GH∥AC，
由E、F分别是AB，且＝，可得EF∥AC，
所以GH∥EF，
故E、F、G、H四点共面；
（2）解：由题意，在四面体ABCD中，设棱长为1，
则有||＝||＝1＞＝＜＞＝60°，
由＝7，又G是CD中点，
则＝
＝
＝，
所以||＝＝＝，
＝＝，
所以＝，
故直线AC和FG所成角的余弦值为，
即直线AC和FG所成角的大小为arccos．
18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，PD⊥平面ABCD，E为棱BC的中点．
（1）求证：ED⊥平面PAD；
（2）若PD＝AD＝2，求点D到平面PBC的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解答】（1）证明：连接BD，如图，
∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∵E为BC的中点，∴DE⊥BC，
∵AD∥BC，∴DE⊥AD，
∵PD⊥平面ABCD，DE 平面ABCD，
∴PD⊥DE，
∵PD∩AD＝D，∴ED⊥平面PAD；
（2）以D为坐标原点，DA、DP所在直线分别为x，y，建立空间直角坐标系，
则，，
∴，
设平面PBC的法向量为＝（x，y，
则，令y＝5，则，
∴，
又＝（7，，
∴点D到平面PBC的距离为：＝＝．
19．（14分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为AD、BD1的中点．
（1）求证：MN⊥AD；
（2）求D1C与平面D1MB所成角的大小．
【答案】（1）证明见过程；
（2）arcsin．
【解答】解：（1）证明：如图，
以点D为坐标原点，DA为x轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系．
则D（0，6，0），0，2），a，0），A1（a，5，a），
D1（0，7，a），a，0），，），M（，6，
（1）∴＝（0，，），，0，0），
∴＝3，
∴MN⊥AD；
（2）解：∵D1（0，4，a），a，0），a，0），
＝（0，a，﹣a），），＝（a，a，
设平面D2MB的一个法向量为＝（x，y，则即，
令z＝1，则x＝7，所以，
设D1C与平面D1MB所成角的大小为θ，
则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝，
∴D1C与平面D6MB所成角的大小为arcsin．
20．（18分）如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（2）无论点E在边BC的何处，PE与AF所成角是否都为定值，若是；若不是，请说明理由；
（3）当BE等于何值时，二面角P﹣DE﹣A的大小为45°．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：解法一：（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC，∴EF∥PC又EF 平面PAC
而PC 平面PAC∴EF∥平面PAC．
（2）∵PA⊥平面ABCD，BE 平面ABCD．又EB⊥AB，AB，∴EB⊥平面PAB，
又AF 平面PAB，∴AF⊥BE．
又PA＝AB＝1，点F是PB的中点，又∵PB∩BE＝B，BE 平面PBE．
∵PE 平面PBE，∴AF⊥PE，
PE与AF所成角都是定值90°．
（3）过A作AG⊥DE于G，连PG，
则DE⊥平面PAG，
则∠PGA是二面角P﹣DE﹣A的平面角，
∴∠PGA＝45°，
∵PD与平面ABCD所成角是30°，∴∠PDA＝30°，
∴，PA＝AB＝8．
∴AG＝1，，设BE＝x，，
在Rt△DCE中，，．
解法二：（向量法）（1）同解法一
（2）建立图示空间直角坐标系，则P（3，0，B（0，5，，．
设BE＝x，则E（x，8﹣＝
∴AF⊥PE即PE与AF所成角是定值90°
（3）设平面PDE的法向量为，由，得：，
∵二面角P﹣DE﹣A的大小是45°，所以cos45°＝，
∴，
得或 （舍）．
21．（18分）已知等差数列{an}公差为d（d≠0），前n项和为Sn．
（1）若a1＝﹣1，S3＝12，求{an}的通项公式；
（2）若a1＝1，a1、a3、a13成等比数列，且存在正整数p、q（p≠q），使得与，求ap+q的值；
（3）若，证明对任意的等差数列{an}，不等式恒成立．
【答案】（1）an＝5n﹣6；
（2）15；
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）设{an}的公差为d，则S3＝3×（﹣4）+3d＝12，d＝5，
所以an＝﹣5+5（n﹣1）＝3n﹣6；
（2）设{an}的公差为d，由a1、a2、a13成等比数列得，（1+2d）2＝1+12d，
∵d≠0，
∴d＝3，an＝1+2（n﹣8）＝2n﹣1，p，q都是正整数，，，显然是正整数，
设，（s，代入，
∴3﹣st＞0，p≠q，
若s＝1，t＝5，则，若s＝2，则p＝3，
若s＝2，t＝6，，不合题意，
若s＝3，t＝1，q＝3，
所以p＝2，q＝5或p＝5，ap+q＝a8＝15．
（3）证明：f（x）的定义域是R，，
∴f（x）是奇函数，
又，设x1＜x2，则，，
从而，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）是增函数，{an}是等差数列，则a6+a2022＝a2+a2021＝ ＝ai+a3023﹣i＝ ＝a2022+a1，
若ai+a2023﹣i≥5（1≤i≤2022，i∈N*），
则，ai≥﹣a2023﹣i，f（ai）≥f（﹣a2023﹣i）＝﹣f（a2023﹣i），f（ai）+f（a2023﹣i）≥0，（4≤i≤2022，
∴，
∴，
若ai+a2023﹣i＜0（8≤i≤2022，i∈N*），
则，ai＜﹣a2023﹣i，f（ai）＜f（﹣a2023﹣i）＝﹣f（a2023﹣i），f（ai）+f（a2023﹣i）＜0，（1≤i≤2022，
∴，
∴，
综上，对任意的等差数列{an}，．