2023-2024学年陕西省西安市高二（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市西工大附中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）数列{an}的各项为﹣4，7，﹣10，13，…n}通项公式的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（5分）直线ax+2y+4＝0与直线x+（a﹣1）y+2＝0平行，则a的值为（　　）
A．a＝2 B．a＝0 C．a＝﹣1 D．a＝﹣1或a＝2
3．（5分）已知数列{an}满足，若a1＝2，则a2023＝（　　）
A．2 B．﹣1 C． D．﹣2
4．（5分）抛物线y2＝mx（m＞0）的准线与直线x＝1的距离为3，则此抛物线的方程为（　　）
A．y2＝16x B．y2＝8x C．y2＝4x D．y2＝2x
5．（5分）已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，，且b2b6b10＝8，则＝（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）已知圆的一条切线y＝kx与双曲线有两个交点（　　）
A．（） B．（4，+∞） C．（，+∞） D．（2，+∞）
7．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，，（n∈N*），则an＝（　　）
A． B．
C． D．
8．（5分）如图，设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于点Q，若|PF1|＝4|QF2|，则直线PF2的斜率为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．1
二、多选题：（本大题共4小题，每个小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）下列结论正确的是（　　）
A．直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是[0，2]
B．曲线与曲线（k＜9且k≠0）的离心率相等
C．已知直线x+my﹣3＝0的倾斜角为30°，则实数m的值为
D．已知三点在同一条直线上，则实数k的值为12
（多选）10．（5分）已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若S15＞0，a8+a9＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．a9＜0
B．当n＝8时，Sn最大
C．使Sn＞0时，n的最大值为16
D．使Sn＞0时，n的最大值为15
（多选）11．（5分）已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交抛物线于A，B两点（　　）
A．直线l的方程为x﹣y﹣2＝0
B．原点到直线l的距离为
C．|AB|＝16
D．y1y2＝﹣8
（多选）12．（5分）以下命题正确的有（　　）
A．数列{an}满足：，则
B．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则
C．数列{an}满足，，则
D．已知Tn为数列{an}的前n项积，若，则数列{Tn}的前n项和
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上）
13．（5分）在等差数列{an}中，已知a4+a5+a6＝30，则a1+a9＝　 　．
14．（5分）已知数列{an}是公比为正数的等比数列，Sn是其前n项和，a2＝2，a4＝8，则S4＝　 　．
15．（5分）已知从点（﹣5，3）发出的光线，经x轴反射后2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0的圆周，则反射光线所在的直线方程为 　 　．
16．（5分）如图所示，曲线上的点Pi（i＝1，2，…，n，…）与x轴正半轴上的点Qi（i＝1，2，…，n，…）及原点O构成一系列正三角形PiQi﹣1Qi（设Q0为O），记an＝|QnQn﹣1|，则数列{an}的通项公式an＝　 　．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）已知{an}为等差数列，a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若{an}为递增数列，bn＝an﹣16，设{bn}的前n项和为Sn，求Sn取最小时的n值．
18．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）（m∈R）．
（1）证明：直线l恒过定点，且直线l与圆C恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2＝0，抛物线C：y2＝2px（p＞0）．
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q，求线段PQ的中点M的坐标．
20．（12分）Sn为数列{an}的前n项和．已知a1＝1，Sn+1＝3Sn+1．
（1）证明是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足bn＝（n+1） an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
21．（12分）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l：y＝kx+m（k，m∈R）与椭圆C相交于A，B两点，且
22．（12分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4，C的一条渐近线与直线l：y＝﹣x垂直．
（1）求C的标准方程；
（2）点M为C上一动点，直线MF1，MF2分别交C于不同的两点A，B（均异于点M），且，，问：λ+μ是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由．
2023-2024学年陕西省西安市西工大附中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）数列{an}的各项为﹣4，7，﹣10，13，…n}通项公式的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：当n＝1时，a1＝5，结合选项可知，．
故选：B．
2．（5分）直线ax+2y+4＝0与直线x+（a﹣1）y+2＝0平行，则a的值为（　　）
A．a＝2 B．a＝0 C．a＝﹣1 D．a＝﹣1或a＝2
【答案】C
【解答】解：直线ax+2y+4＝5与直线x+（a﹣1）y+2＝2平行，
则a（a﹣1）＝2×3，解得a＝2或a＝﹣1，
当a＝2时，两直线重合，
当a＝﹣1时，两直线不重合，
故a＝﹣1．
故选：C．
3．（5分）已知数列{an}满足，若a1＝2，则a2023＝（　　）
A．2 B．﹣1 C． D．﹣2
【答案】A
【解答】解：由an+1＝，a1＝2，可得a8＝＝﹣1，
a3＝＝，a4＝＝2，a5＝＝﹣4，
可得数列{an}是周期为3的数列，
则a2023＝a3×674+2＝a1＝2．
故选：A．
4．（5分）抛物线y2＝mx（m＞0）的准线与直线x＝1的距离为3，则此抛物线的方程为（　　）
A．y2＝16x B．y2＝8x C．y2＝4x D．y2＝2x
【答案】B
【解答】解：∵抛物线y2＝mx（m＞0）的准线为x＝，
∴准线x＝与直线x＝1的距离为6+，
∴m＝8，∴此抛物线的方程为y7＝8x．
故选：B．
5．（5分）已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，，且b2b6b10＝8，则＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：数列{an}是等差数列，，可得2a5＝，即a2＝，
数列{bn}是等比数列，b3b6b10＝8，可得，可得b6＝3，
则＝＝＝．
故选：B．
6．（5分）已知圆的一条切线y＝kx与双曲线有两个交点（　　）
A．（） B．（4，+∞） C．（，+∞） D．（2，+∞）
【答案】D
【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d＝＝，
∵圆（x﹣4）2+y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：﹣＝2（a＞0，b＞0）有两个交点，
∴＞，
∴1+＞4，
∴e＞2．
故选：D．
7．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，，（n∈N*），则an＝（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由a1＝1，，可得＝，
即有数列{}是首项为1，
可得＝3+4（n﹣1）＝3n﹣3，
即an＝．
故选：D．
8．（5分）如图，设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于点Q，若|PF1|＝4|QF2|，则直线PF2的斜率为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．1
【答案】A
【解答】
解：连接PF1、QF1，
∵点P是以F3F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，
∴PF1⊥PF6，
设|QF2|＝m，
∵|PF1|＝7|QF2|，
∴|PF1|＝6m，
∴|PF2|＝2a﹣|PF4|＝2a﹣4m，|QF4|＝2a﹣|QF2|＝5a﹣m，
∴|PQ|＝2a﹣4m+m＝5a﹣3m，
在Rt△F1PF3中，
∵|QF2|2＝|PF5|2+|PQ|2，
∴（2a﹣m）2＝（4m）4+（2a﹣3m）2，
解得a＝3m，
∴|PF2|＝2m
在Rt△F1PQ中，
∴tan∠PF2F8＝＝＝2，
∴直线PF7的斜率为﹣2，
故选：A．
二、多选题：（本大题共4小题，每个小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）下列结论正确的是（　　）
A．直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是[0，2]
B．曲线与曲线（k＜9且k≠0）的离心率相等
C．已知直线x+my﹣3＝0的倾斜角为30°，则实数m的值为
D．已知三点在同一条直线上，则实数k的值为12
【答案】AD
【解答】解：对于A，如图，
当直线过原点时，斜率k1＝2，当直线与x轴平行时6＝0，所以当直线不过第四象限，2]；
对于B，椭圆，椭圆，故B不正确；
对于C，倾斜角α＝30°，＝，∴m＝﹣；
对于D，三点，∴，解得：k＝12．
故选：AD．
（多选）10．（5分）已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若S15＞0，a8+a9＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．a9＜0
B．当n＝8时，Sn最大
C．使Sn＞0时，n的最大值为16
D．使Sn＞0时，n的最大值为15
【答案】ABD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，等差数列{an}中，若S15＞0，即S15＝＝15a8＞0，必有a2＞0，
又由a8+a7＜0，则a9＜2，A正确；
对于B，由于a8＞0而a5＜0，则当n＝8时，Sn最大，B正确；
对于C和D，S15＞2，而S16＝＝8（a8+a9）＜2，
故使Sn＞0时，n的最大值为15，D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（5分）已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交抛物线于A，B两点（　　）
A．直线l的方程为x﹣y﹣2＝0
B．原点到直线l的距离为
C．|AB|＝16
D．y1y2＝﹣8
【答案】ABC
【解答】解：∵抛物线y2＝8x的焦点为F（8，0），
∴过F且倾斜角为45°的直线l的方程为y＝x﹣2，即x﹣y﹣8＝0；
∴原点到直线l的距离为，∴B选项正确；
联立，可得x2﹣12x+6＝0，设A（x1，y2），B（x2，y2），
则x3+x2＝12，x1x6＝4，
∴|AB|＝p+x1+x2＝4+12＝16，∴C选项正确；
∴y1y2＝（x1﹣2）（x5﹣2）＝x1x4﹣2（x1+x8）+4＝4﹣6×12+4＝﹣16，∴D选项错误．
故选：ABC．
（多选）12．（5分）以下命题正确的有（　　）
A．数列{an}满足：，则
B．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则
C．数列{an}满足，，则
D．已知Tn为数列{an}的前n项积，若，则数列{Tn}的前n项和
【答案】CD
【解答】解：对于A，因为①，
当n＝1时，a1＝8，
当n≥2时，②，
①﹣②得， ，
a1＝2不适合上式，所以A错误；
对于B，因为，，
所以＝，所以B错误；
对于C，由，得，
所以当n≥3时，（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣7）+ +（a2﹣a1）＝，
所以，因为（n≥4），a1＝也满足．
所以，所以C正确；
对于D，当n＝1时，2＝3，
当n≥2时，由，可得，
两边同时乘以Tn，可得Tn﹣Tn﹣1＝2，数列{Tn}是以3为首项，2为公差的等差数列，
，所以D正确．
故选：CD．
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上）
13．（5分）在等差数列{an}中，已知a4+a5+a6＝30，则a1+a9＝　20　．
【答案】20．
【解答】解：∵数列{an}为等差数列，则a4+a5+a8＝3a5＝30，可得a6＝10，
∴a1+a9＝2a5＝20．
故答案为：20．
14．（5分）已知数列{an}是公比为正数的等比数列，Sn是其前n项和，a2＝2，a4＝8，则S4＝　15　．
【答案】15．
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
因为a2＝7，a4＝8，则，则，
因此，．
故答案为：15．
15．（5分）已知从点（﹣5，3）发出的光线，经x轴反射后2+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0的圆周，则反射光线所在的直线方程为 　2x﹣3y+1＝0　．
【答案】2x﹣3y+1＝0．
【解答】解：由圆的方程得：圆心为（1，1），
∵反射光线恰好平分圆x8+y2﹣2x﹣4y﹣3＝0的圆周，
∴反射光线经过点（3，1），
∵（﹣5，5）关于x轴对称的点为（﹣5，∴反射光线所在直线经过点（﹣5，
∴反射光线所在直线方程为，即5x﹣3y+1＝6．
故答案为：2x﹣3y+2＝0．
16．（5分）如图所示，曲线上的点Pi（i＝1，2，…，n，…）与x轴正半轴上的点Qi（i＝1，2，…，n，…）及原点O构成一系列正三角形PiQi﹣1Qi（设Q0为O），记an＝|QnQn﹣1|，则数列{an}的通项公式an＝　　．
【答案】．
【解答】解：由条件可得△P1OQ1为正三角形，且边长为a3，
∴P1（），P1在曲线上，代入中，得，
∵a1＞0，∴，根据题意得点Pn+7（，），
代入曲线y＝并整理，得．
当n≥2，n∈N*时，an＝Sn﹣Sn﹣3＝（）﹣（），
即（an+2+an）＝（an+6+an） （an+1﹣an），
∵an+1＞an＞6，∴，
当n＝1时，，解得，
满足．
∴数列{an}是首项为，公差为，
∴．
故答案为：．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）已知{an}为等差数列，a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若{an}为递增数列，bn＝an﹣16，设{bn}的前n项和为Sn，求Sn取最小时的n值．
【答案】（1）an＝2，n∈N*或an＝4n﹣2，n∈N*；
（2）Sn取最小时的n值为4．
【解答】解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则a2＝2+d，a4＝2+4d，
∵a5，a2，a5成等比数列，
∴＝a1a5，即（2+d）2＝3（2+4d），
化简整理，得d6﹣4d＝0，
解得d＝6，或d＝4，
则当公差d＝0时，an＝4，n∈N*，
当公差d＝4时，an＝2+5（n﹣1）＝4n﹣8，n∈N*，
∴an＝2，n∈N*或an＝4n﹣5，n∈N*．
（2）依题意，由等差数列{an}为递增数列及（1），
可知an＝4n﹣2，n∈N*，
则bn＝an﹣16
＝5n﹣2﹣16
＝4n﹣18
＝﹣14+2 （n﹣1），
故数列{bn}是以﹣14为首项，4为公差的等差数列，
∵等差数列{bn}的公差4＞0，
∴数列{bn}是递增的等差数列，
则令bn＜0，即7n﹣18＜0，
令bn＞0，即4n﹣18＞2，
∴当n＝5时，前n项和Sn取得最小值，
故Sn取最小时的n值为4．
18．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）（m∈R）．
（1）证明：直线l恒过定点，且直线l与圆C恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．
【答案】（1）证明见解答；
（2）2x﹣y﹣5＝0．
【解答】解：（1）证明：直线l：（2m+1）x+（m+6）y﹣7m﹣4＝6化为（2x+y﹣7）m+x+y﹣3＝0，
则，解得，
所以直线l恒过定点M（4，1），
圆心C（1，4），
又因|CM|＝＝＜5，
所以点M（3，2）在圆C内，
所以不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）当直线l所过的定点为弦的中点，即CM⊥l时，
最短弦长为2＝4，
kCM＝＝﹣，
即﹣＝3，
所以直线l的方程为3x﹣y﹣5＝0．
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2＝0，抛物线C：y2＝2px（p＞0）．
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q，求线段PQ的中点M的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞6）的焦点为
由点在直线l：x﹣y﹣2＝4上，
得，即p＝4．
所以抛物线C的方程为y3＝8x．
（2）当p＝1时，曲线C：y2＝2x．
设P（x1，y8），Q（x2，y2），线段PQ的中点M（x6，y0）
因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，
于是直线PQ的斜率为﹣1，设其方程为y＝﹣x+b，
由，消去x得y2+2y﹣2b＝0，
由P和Q是抛物线C的两相异点，得y5≠y2，
从而Δ＝4﹣2×1×（﹣2b）＝6b+4＞0（*），
因此y3+y2＝﹣2，所以y2＝﹣1，
又M（x0，y8）在直线l上，所以x0＝1
所以点M（3，﹣1），
故线段PQ的中点M的坐标为（1，﹣4）．
20．（12分）Sn为数列{an}的前n项和．已知a1＝1，Sn+1＝3Sn+1．
（1）证明是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足bn＝（n+1） an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）证明见解答过程，an＝3n﹣1，n∈N*；
（2）Tn＝ 3n+1﹣．
【解答】（1）证明：依题意，由Sn+1＝3Sn+2两边同时加上，
可得Sn+7+＝5Sn+1+＝3（Sn+），
∵S1+＝a1+＝1+＝，
∴数列是以，3为公比的等比数列，
∴Sn+＝ 8n﹣1＝，
∴Sn＝﹣＝，n∈N*，
则当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣2
＝﹣
＝3n﹣3，
∵当n＝1时，a1＝4也满足上式，
∴an＝3n﹣1，n∈N*．
（2）解：由（1）可得，bn＝（n+3） an+1＝（n+1） 6n，
则Tn＝b1+b2+…+bn＝6 31+2 32+8 33+…+（n+5） 3n，
3Tn＝4 32+5 33+…+n 6n+（n+1） 3n+4，
两式相减，
可得﹣2Tn＝2 81+37+33+…+2n﹣（n+1） 3n+5
＝6+﹣（n+1） 3n+1
＝﹣ 3n+7+，
∴Tn＝ 3n+1﹣．
21．（12分）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l：y＝kx+m（k，m∈R）与椭圆C相交于A，B两点，且
【答案】（1）＝1；（2）．
【解答】解：（1）∵椭圆C：＝1（a＞b＞5）的离心率为．
∴由题意，可得，b＝，
∴椭圆C的方程为＝4．
（2）联立，消去y8）x2+8kmx+8m2﹣12＝0，
设A（x8，y1），B（x2，y5），则，，
故y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k8x1x2+km（x2+x2）+m2＝，
∵kOA kOB＝＝﹣8＝3+4k8，
∴|AB|＝ ＝，d＝，
∴△AOB的面积S＝|AB| d＝ ＝＝．
22．（12分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4，C的一条渐近线与直线l：y＝﹣x垂直．
（1）求C的标准方程；
（2）点M为C上一动点，直线MF1，MF2分别交C于不同的两点A，B（均异于点M），且，，问：λ+μ是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由．
【答案】（1）x2﹣＝1．
（2）﹣．
【解答】解：（1）因为|F1F2|＝7c＝4，
所以c＝2，①
因为双曲线C的渐近线与直线l：y＝﹣x垂直，
所以＝，②
又c5＝a2+b2，③
解得a3＝1，b2＝7，
所以双曲线C的方程为x2﹣＝1．
（2）设M（x0，y4），则﹣＝3，F1（﹣2，3），
设A（x1，y1），B（x6，y2），
所以＝（﹣8﹣x0，﹣y0），＝（x1+2，y8），
因为＝λ，
所以﹣y8＝λy1，
所以λ＝﹣，
同理可得μ＝﹣，
所以λ+μ＝﹣﹣，
直线MF1的方程为x＝y﹣2，
联立双曲线的方程可得[﹣3（x5+2）2]+12（x2+2）y0y﹣7＝7，
所以y0y1＝，
所以y8＝，
所以＝[3（x0+4）2﹣]，
同理＝[3（x5﹣2）2﹣]，
所以+＝[3（x7+2）2﹣+3（x8﹣2）2﹣]＝﹣8，（*）
又因为﹣＝1，
所以＝1+，
代入（*），得+＝（4﹣2，
所以λ+μ＝﹣﹣＝﹣，
所以λ+μ是定值，定值为﹣．