4.6 角
角的比较和运算
知识技能目标
1．了解角的大小比较的意义，了解角平分线及其性质；
2．掌握角的加减运算，能用两角的和或差表示另一个角.
过程性目标
1．让学生在游戏中探索比较角的大小的两种方法；
2．让学生折叠一个角，感受角平分线的特征.
学前准备 一个纸片做的角，一副三角尺，圆规.
教学过程
一.创设情境
师：上一节课我们一起学习了角的一些知识 ( http: / / www.21cnjy.com )，并且布置了一个课外作业，请同学们回家后剪一个角，都带来了吗？能给同伴看看吗？相互之间交流交流，例如颜色，大小，材料等.（老师边走边欣赏）大家做得都非常漂亮，谢谢.哪位同学愿意到讲台前给同学看一看.
请五位同学上来（挑选出的角要有明显的大小变化）.
师：老师还想请你们五位同学排成一排，当然这次不是按同学之间的身高排队，而是看同学手中角的大小来排？要求从小到大排序.
师：请五位同学给自己的角起个“名字”.
生：∠1、∠2、∠3、∠4、∠5（可以用其他表示法）.
师：五位同学给自己的角起了“名字”取得真好，有规律，好记.请其他同学用不等号记下这五个角的大小.
师：现在老师很想快速地找出我们全班同学中哪个同学做的角最大？你能帮老师解决这个问题吗（学生展开讨论）？
生A：用自己做的角直接去和其他同学比，比到最后一定可以比出最大的.
生B：可以先在自己的小组中确定谁做的最大，再同其他小组的比较，可以找到哪个同学做的角最大.
生C：用量角器量出角的大小，先请觉得自己所做角最大的同学举手，再让其他同学量得的结果同他进行比较，可顺利获得最后结果.
师：三位同学说得都有道理，大家都可以一试，如果想迅速地找到这位同学，想一想按谁的思路做更好一点呢（确定权交给学生）？
二.探索归纳
师：现在要求同学们能不能不用量角器直接画出30°、45°、60°和90°的角？
生：能，利用一付三角尺.
师：能不能不用量角器画出75°、15°？
生：用一副三角尺上的角进行拼或叠.
师：还能不能画出其他一些特殊的角呢？
生：（让学生讨论后再说） 105°,150°,135°,120°,165° 等.
师：通过以上画角的过程，你从中体会到了什么？
生A：一个角可以用其他角的和差来表示.
生B:角之间可以进行加减计算.
师：你能把90°分成相等的两部分吗？
生C：能，先将90°除以2，得45°，用量角器画45°，从顶点引出一条射线.
生D: 直接用带45°的三角尺画一条射线.
师：平分120°，45°呢？
生：能，用平分90°的方法.
师：能平分任意一个角吗？
生：可以，用同样的方法.
师：请大家画一个角，再画出一条射线把这个角分成大小相等的两部分.
学生自己完成，请一位同学上黑板完成.
师：你们能不能对平分角的方法归纳一下？
生E：量出角的度数除以2，得一半的度数，从顶点引出射线（如图）.
生F: 对折使角的两边重合，沿折痕画出射线.
师：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角的分成两个相等的角，我们把这条射线叫做这个角的角平分线（angularbisector） .
∠AOB =2∠COB = 2∠AOC.
三.实践应用
例1 34°34′+21°51′=55°85′=56°25′.
例2 180°－52°31′=179°60′ －52°31′=127°29′.
例3 观察图中的∠AOC、∠COB和∠AOB，如何表示它们这间的关系（小组讨论）.
∠AOC +∠COB =∠AOB,
或 ∠AOB－∠AOC = ∠COB,
或 ∠AOB －∠COB = ∠AOC
例4 试一试如何将一个角“复制”到另一处（不能裁剪，不能白描）？你用什么办法实现？
如图, ∠AOB为已知角，试按下列步骤用圆规和直尺准确地画一个角等于∠AOB（让学生和教师一起画，体验尺规作图的全过程）.
第一步：画射线O′A′，
第二步：以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于C，交OB于D，
第三步：以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于C′，
第四步：以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前一条弧于D′.
第五步：经过点D′画射线O′B′.
∠A′O′B′就是所要画的角.
四.交流反思
师：通过我们一起努力，在这节课上又学习了一些与角相关的知识，你获得了哪些知识呢？
生G：角之间可以比较大小， 进行和差运算，
生H：角平分线.
生I：学习了用圆规和直尺作一个已知角.
师：当已知角的平分线是可以得出什么结论？
生：分出的两个角相等；
师：当已知一个角的两部分相等时可以得出什么？
生：一条射线是这个角的平分线.
师：你能不能将一个角三等分，四等分呢？
五.检测反馈
1. 填空:
(1) 77°42＇+34°45＇= ;
(2)108°18＇—56°23＇= ;
(3) 180° —(34°54＇+21°33＇)= .
2. 时钟的分针，1分钟转了 度的角，1小时转了 度的角.
3. 如图,如果∠1=65°15＇,∠2=78°30＇,∠3是多少度 4.6 角
余角和补角
知识技能目标
1.理解两角互余、互补的概念；
2.会求一个已知角的余角、补角；
3.掌握等角的余(补)角相等.
过程性目标
通过角的割补，体会两角互余及互补的意义.
教学过程
一．创设情境
师：上节课我们知道两个角之间可以大小比较，可以进行角之间度数的运算，那么下图中∠α+∠β等于多少度？
( http: / / www.21cnjy.com )
生： ∠α+∠β=90°.
师：你怎么知道的？
生：观察后，估计出来的.
师：对不对呢？去测量一下就晓得（教师利用几何画板中的测量和计算功能获得）.
师：这位同学估计得很准，感觉非常好.我手里又带来了两个角∠1、∠2，它们的和等于多少度？
生：∠1+∠2=90°（把两个角交给学生，让学生把两个角拼在一起，再跟三角尺中的直角比较获得）.
师：我们看到∠1和∠2两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角（complementary angle）,简称互余．
师：如果∠1+∠2=90°，也可以说∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角．
师：请同学们思考一个问题：若一个角为35°,则它的余角是________；若一个角为56.12°,则它的余角是________；
生A：35°的余角是55°；
师：你是如何想的呢？
生A：我是这样想的，求35°的余角只要用90°减去35°，所以它的余角是55°（让学生说出思考过程）.
生B：56.12°的余角是33.48°；
师：若一个角为∠α,则它的余角是多少呢？
生：∠α的余角是90°—∠α.
师：请同学们继续看图，想一想∠AOC+∠COB 等于多少度？∠3+∠4等于多少度？
( http: / / www.21cnjy.com )
生：∠AOC+∠COB =180°； ∠3+∠4=180°（让学生用几何画板中的测量和计算功能获得）.
师:可以看到这两个角的和是一个特殊值，如 ( http: / / www.21cnjy.com )果当两个角的和等于180°(平角),我们就说这两个角互为补角(aupplementary angle),简称互补．
师：因为∠3+∠4=180°所以∠3、∠4互为补角.∠3是∠4的补角,∠4也是∠3的补角.
师：我们将刚才思考过的问题中的“余”字改成 ( http: / / www.21cnjy.com )“补”字.当一个角为35°时,则它的补角是________；当一个角为56.12°时,则它的补角是________；当一个角为∠α,则它的补角是_____________；
生A：35°的补角是145°；
师：你是如何想的呢？
生A：我是这样想的，求35°的补角只要用180°减去35°，所以它的补角是145°（让学生说出思考过程）.
生B：56.12°的补角是123.48°；
师：若一个角为∠α,则它的补角是多少呢？
生：∠α的补角是180°—∠α.
师：135°的补角的余角是多少？
生：45°.
师：你是如何想的呢？
生：135°的补角是45°，再求45°的余角得90°-45°=45°.
师：设一个角为x°,则这个角的余角的补角是多少.
生：90°+ x°.
师：请同学们利用x°，编出一道题，在题中要用到“余角，补角”.
二.探究归纳
师：下面我们一起来画∠AOB=90°，再画 ( http: / / www.21cnjy.com )∠COD=90°（如图）,现在请大家找出图中的哪两个角是互为余角，还有没有什么新的发现？若有，说出你的发现过程.
( http: / / www.21cnjy.com )
生:∠AOC和∠COB互余，∠COB和∠BOD互余.
生:我是这样想的，发现∠AOC与∠BOD相等，是因为∠AOC =90°-∠COB，
∠BOD=90°-∠COB,所以∠AOC=∠BOD.
师：请同学用一句话概括这个发现好吗？.
生：同角或等角的余角相等（板书）.
师：如果∠4和∠5相等，∠6是∠4的补角，∠7是∠5的补角，那么∠6和∠7又有什么关系？说出你的推理过程.
生：因为∠6是∠4的补角，所以∠6=180°-∠4，又因为∠7是∠5的补角，所以∠7=180°-∠5，∠4和∠5相等，所以∠6=∠7.
师：这样我们又探索到了一个新结论.你能用一句话概括这个发现好吗？.
概括出结论：同角或等角的补角相等（板书）．
三.实践应用
例1 已知∠α=50°17ˊ，求∠α的余角和补角.
解 ∠α的余角=90°—50°17ˊ=39°43ˊ ,
∠α的补角=180°—50°17ˊ=129°43ˊ．
例2 已知∠AOB,用直尺和量角器画出∠AOB的余角、∠AOB的补角及∠AOB的角平分线．
( http: / / www.21cnjy.com )
例3 如图，有两堵墙，有人想测量与地面所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量？
( http: / / www.21cnjy.com )
四.交流反思
师：通过我们一起学习，在这节课上学习了有特殊关系的两个角，你获得了哪些知识呢(学生交流归纳)？
生A：两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余．
生B：如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角,简称互补．
生C：等角的余角相等；等角的补角相等．
师：这节课大家学的都很主动 ( http: / / www.21cnjy.com )，探索出了不少重要的结论，课后思考这么一个问题：如何设计出“等角的余角相等；同角的补角相等”的图形（将问题延伸到课后）．
五.检测反馈
1．两个相等的钝角有一个公共顶点和一条公共边,并且两个角的另一条边所成的角为90°,画出该图形,并求出钝角的大小.
2. 72°20＇的角的余角等于 ；25°31＇的角的补角等于 .
3.在图中,EF、EG分别是∠AEB、∠BEC的平分线，求∠GEF的度数，并写出∠BEF的余角.
( http: / / www.21cnjy.com )4.6.1 角
教学过程设计 分析备注
教学目的：1、使学生认识到角的美感及角的有关知识；2、掌握有关角的单位的换算；3、掌握有关方向角的初步知识。教学分析：重点：角的单位的换算及角的表示法；难点：角的定义的理解。教具准备：每位同学各准备一个变换度数的角，量角器教学设想：以实际生活中的相关实例来启发学生的思维并结合学生的动手操作。教学过程：一、知识导向：在学习本节时，主要设想通过大量贴近生活 ( http: / / www.21cnjy.com )的实例，来直观形式来教学，帮助学生理解角的概念，对于两种角的定义不要求学生能记住。在教学中还应注意到一部分在教材中没有涉及的内容，如：角的表示法、角的分类等。在教学中必须让知识与实际生活中的实例有必要联系从而加深学生对此知识的理解，应当使学生意识到：知识是为了生活中的运用。二、新课拆析：1、知识设疑：首先启发学生对生活中所存在的“角”的形象 ( http: / / www.21cnjy.com )的物体进行举例，然后提出我们对它的思考，并以此复习有关小学学过的有关角的定度及有关知识（角的分类，角的种类、角的度量等）。从而使学生对旧知识有一个新的印象，对本节课的学习将起到至关重要的作用。2、知识形成：从生活在“角”的形象，结合小学时的知识，我们有：概括：（定义1）角是由两条有公共端点的射线组成的图形。（定义2）角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。射线端点叫做角的顶点，两条射线是角的两条边。（1）角的表示： ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) 注：1、类似于的表示时，必须把表示角的顶点的字母写在中间；2、类似于的表示时，必须满足，以O为顶点的角只有一个。（2）角的简单分类：从小学的学习中，我们已经知道，内的角，我们可以把它们分为：锐角、直角、纯角，另外有平角、周角。如果为锐角，则；如果为钝角，则；如果为直角，则；如果为平角，则；如果为周角，则；（3）角的有关计算：认识角的有关单位：，（4）方向角的认识：如果位置在东、南、西、北方向上时，表示为：正东，正南、正西、正北；如果位置在东、南、西、北的两个方向的夹角平分线时，表示为：东北，东南、西北、西南；如果位置在其他情况时，表示为南（北）偏东（西）***度。3、例题讲解：（1）把化为用度表示的角。 （2）把93.2°化成用度、分、秒表示的角。在下图中，OA是表示北偏东方向的一条射线。仿照这条射线，画出表示下列方向的射线：（1）南偏东；（2）北偏西。三、巩固训练：P148 练习 1、2四、知识小结：从本节的学习中，同学们应这几个方面 ( http: / / www.21cnjy.com )来掌握知识点，首先是有关的定义，应该有一定的了解，还有重点的知识就放在角的有关计算以及角的表示法，方向角的表示等方面。五、家庭作业：P153 习题4.6 1、2、6六、每日预题：1、如何进行两个角的大小比较，你有什么方法？2、如何作一个角等于一个已知角（画图）？七、教学反馈： 在讲解本部分时，应注意与小学中有关知识相联系，以达到平滑过渡。对于角的两种不同定义，应从不同的角度进行理解，并区别在不情况所包含的意义。角的两种定义其实都隐含了组成角的一个重要因素：即两条射线间相对的位置关系。对于角的四种表示方向，各有其优点，在讲解中必须加以说明，并能在讲解使学生能认识到各种表示法的优缺点。相关单位的互换，应是有关计算的重点，但同时，有关角度的加减乘除运算也是必须掌握的一部分。三种不同情况下的方向角的表示法，应是特别主要的知识，另外，在讲解中一个必须讲清的是：同一射线上的点的方向是相同，但两者的位置是不一样。例题1，首先从题型，应从本题中进行改变。注意一举反三的应用。
