18.2.3正方形（1）课件

课件35张PPT。第十八章 平行四边形18.2.3 正方形（1）正方形的定义及性质复习回顾矩形的两条对角线互相平分矩形的两组对边平行且相等边对角线角矩形的性质矩形的两组对角分别相等矩形四个角都是直角矩形对角线相等。菱形的两条对角线互相平分菱形的两组对边平行且相等边对角线角菱形的性质菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组对角。知识回顾: 几种特殊四边形的定义及性质 对边平行
且相等对边平行 且相等对边平行
，四边都
相等对角相等，
邻角互补 四个角
都是直角对角相等，邻角互补对角线
互相平分对角线相等
且互相平分对角线互相
垂直平分，
每条对角线
平分一组对角中心对
称图形轴对称
图形、
中心对
称图形 轴对称
图形、中
心对称图形两组对边
分别平行
的四边形有一个角
是直角的
平行四边
形有一组邻
边相等的
平行四边
形 创设情景一?问题: 从这个图形中你能知道什么？
你是怎样想到的？?┓90° 当? =90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的菱形，是一个内角为直角的菱形，也是正方形.问题: 图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（CD在移动的过程中始终保持与AB平行）当CD移动到C?D?位置，且 AD? ＝AB时，此
时是什么图形啊？ 当AD＝AB这个四边形是矩形,它是特殊的矩形,是一组邻边相等的矩形也是正方形.你能从这个变化过程中给正方形下定义吗?有一个角是直角的菱形叫做正方形。有一组邻边相等的矩形叫做正方形。有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。正方形的概念：
_______________________________ 的平行四边形是正方形。_______________的菱形是正方形_________________的矩形是正方形 定义法有一组邻边相等且有一个角是直角的有一个角是直角有一组邻边相等正方形既是矩形，又是菱形。
它既有矩形的性质，又有菱形的性质。(1) 正方形具有哪些性质?正方形是特殊的菱形，它具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。边：对边平行，四边都相等。角：四个角都是直角对角线：对角线相等且互相垂直平分，每一条对角 线平分一组对角。想一 想为什么说正方形是个完美的图形？对称性特征正方形是中心对称图形它也是轴对称图形(1)它具有平行四边形的一切性质两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分(2)具有矩形的一切性质四个角都是直角，对角线相等(3)具有菱形的一切性质四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角(A)(B)(C)(D)根据图形所具有的性质,在下表中相应的空格里打“ √ ” √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ACDBACDBACDB\∟∟∟∟O\\∟
对边平行， 四条边都相等 四 个 角
都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,
OA=OB=OC=OD,
∠1= ∠2= ∠3= ∠4= ∠5= ∠6= ∠7= ∠8轴对称图形 中心对称图形12345678求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.文字题的证明
第一步:根据题意画出图形
第二步:写出已知、求证
第三步：进行证明分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形. 理性提升例题1:求证：△ABO、△BCO、△CDO、
△DAO是全等的等腰直角三角形.△DAO都是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.例题1已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、例题解析例题例1. 如图，在正方ABCD中，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数。解：∵ 四边形ABCD是正方形根据正方形的四个内角都为直角又因为正方形的对角线平分内角又∵正方形的两条对角线互相垂直即AC⊥BD得∠DAB＝∠ABC＝90°即AC平分∠BAD，BD平分∠ABC∴ ∠ABD＝∠DAC＝ × 90°＝45°∴∠DOC=90°45°正方形12cm2a+11.正方形的一边和对角线的夹角为___________.2.如果一个四边形既是菱形又是矩形,那么它一定是_________.3.已知正方形的面积为9cm,它的周长为 _______________.4.正方形的边长为a,当边长增加1时,其面积增加了__________.练一练5.边长为2cm 的正方形，对角线的长是______cm练一练6.正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，问图中有____个等腰直角三角形解:以正方形的四个顶点为直角顶点,共有四个等腰直角三角形,以正方形两条对角线的交点为顶点的等腰直角三角形也有四个,因而共有八个等到腰直角三角形.分别是: 8平行四边形矩形菱形正
方
形正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？ 理性提升例题2:如图在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上两点,BE=CF，
连接AE，BF交于点G.
求证:①AE=BF
②AE⊥BF 利用正方形的边相等,角相等，可以得出△ABE≌△BCF从而问题得以解决.例题2:如图在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上两点,BE=CF，
连接AE，BF交于点G.
求证:①AE=BF
②AE⊥BF 证明:∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°
∵BE=CF
∴△ABE≌△BCF
∴AE=BF
∵△ABE≌△BCF
∴∠BAE=∠CBF
∵∠ABG+∠CBF=∠ABC=90°
∴∠ABG+∠BAE=90°
∴∠AGF=∠ABG+∠BAE=90°
∴AE⊥BF由三条公路围成的一个区域为直角三角形形状.工程队要想在区域内划一块正方形的地块作为新小区,且让小区足够大,请你来帮工程队设计一下 学以致用ABCDEF┓┓┓例2.如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，
试说明AE=CG解：因为四边形ABCD是正方形根据正方形的四边相等，得AD=CD又知四边形DEFG也是正方形所以 DE=DG又因为正方形的每个内角为90°所以∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC所以∠ADE＝∠CDG所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG绕着点D顺时针
旋转 90° 得到。所以AE=CG已知:如图,四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形.求证:AE=CG证明：∵四边形ABCD和DEFG都是正方形.
∴DA=DC, DE=DG ,∠ADC=∠EDG
(正方形四条边都相等，四个角都是直角)
∴∠ADC-∠ADG=∠EDG-∠ADG, 即∠GDC=∠EDA在△GDC和△EDA中
DC=DA
∠GDC=∠EDA.
DG=DE
∴△GDC≌△EDA (SAS)
∴AE=CG (全等三角形的对应边相等）例3如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。试说明：AP=EF解:连接PC∵PE⊥BC ， PF⊥DC而四边形ABCD是正方形∴∠FCE=90°∴四边形PECF是矩形∴PC=EF又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形∴AP=PC∴AP=EF已知:如图,在正方形ABCD中,点 E在AC上.
求证:BE=DE证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=AD, ∠BAC=∠DAC.
(正方形四条边都相等，每条对角线平分一组对角） 在△ABC和△ADC中
AB=AD
∠BAC=∠DAC.
AE=AE
∴△ABC≌△ADC (SAS)
∴BE=DE (全等三角形的对应边相等）正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，且CE=AC, AE交DC于点F,试求∠E, ∠AFC的度数解：∵正方形ABCD的四个角均为直角，且对角线平分一组对角。∵CE=AC∴∠E=∠CAE∵∠ACB是⊿ACE的一个外角∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E∵∠AFC是⊿CEF的一个外角∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°∴∠E=22.5°, ∠AFC=112.5°jFEABDC正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间有什么关系？ 议一议小结反思 3.正方形ABCD中，M为AD中点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若ME+MF =8cm，则AC=________.课堂练习1.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=______________.530°16cm2.以正方形ABCD的边DC向外作等边△DCE,则∠AEB=_____.分析补充练习：
1、如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．2、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.
（1）求证AE=BF；
（2）若BC= cm，求正方形DEFG的边长. 补充习题：1、已知正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，且BE=1，P为AC上一点，求PE+PB的最小值.
2、在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想．1.利用正方形所特有的对称性结合正方形丰富的边角性质，可以将正方形问题转化为三角形来解决.2.以三角形来解决四边形的问题是这阶段常用方法.再见