河南省部分重点中学2023-2024学年高一上学期12月质量检测数学试题（Word含解析）

河南省部分重点中学2023-2024学年高一上学期12月质量检测
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，若，则实数（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或1
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．按从小到大顺序排列的一组数据为：，若这组数据的第65百分位数比第40百分位数多8，则（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
4．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月……中国航天硕果累累，令国人备感自豪．这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的总质量（单位：），是火箭自身的质量（单位：）．小婷同学所在社团准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用的某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为）（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则方程在下列哪个区间上必有实数根（ ）
A． B． C． D．不能确定
7．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．设偶函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据1，2，2，5，5的平均数与中位数相同
B．数据8，2，7，3，8，3，7，8，1的众数为8
C．有甲、乙、丙三种个体按2∶3∶4的比例分层抽样调查，若抽取丙的个体数为20，则样本容量为45
D．甲组数据的标准差为，乙组数据为3，5，8，10，4，则这两组数据中较稳定的是乙组
10．在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值可以为（ ）
A． B． C．1.5 D．2.3
12．下列结论中正确的是（ ）
A．若函数，且，则
B．若为奇函数，则的解集为
C．设表示不超过的最大整数，如，则不等式的解集是
D．若函数的定义域为，则的取值范围是或
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为________．
14．若，则的最大值为________．
15．若定义运算则函数的值域是________．
16．已知在区间上是增函数，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
求值：（1）；
（2）．
18．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）已知函数的一个零点为2，求函数的其余零点．
19．（本小题满分12分）
已知幂函数在上单调递减．
（1）求的解析式；
（2）若对恒成立，求的取值范围．
20．（本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年200位居民家庭的月平均用水量（单位：吨），将数据按照，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值；
（2）该市决定设置议价收费标准，用水量低于的居民家庭按照“民用价”收费，不低于的按照“商业价”收费，为保障有的居民能享受“民用价”，请设置该标准；
（3）以每组数据的中点值作为该组数据的代表，分别是．规定“最佳稳定值”是这样一个量：与各组代表值的差的平方和最小．依此规定，请求出的值．
21．（本小题满分12分）
已知是一元二次方程的两个不相等的实数根．
（1）若两根同号，求实数的取值范围；
（2）求使得的值为整数的整数的值．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若函数在内有唯一零点，求的取值范围；
（2）设函数的最大值、最小值分别为，记．设，函数，当时，恒成立，求的取值范围．
河南省部分重点中学2023-2024学年高一上学期12月质量检测
数学
参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D C D B B A C BCD ABC ABC AD
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】设集合，若，则或，
当时，，此时，因此不可能；
当时，，当时，．所以．故选B．
2．【答案】D
【解析】由得或，因此“若，则”是假命题，“若，则”是假命题，所以“”是“”的既不充分也不必要条件．故选D．
3．【答案】C
【解析】由，得第40百分位数是第4个数据和第5个数据的平均值，为，又由，得第65百分位数是第7个数据，为．又由这组数据的第65百分位数比第40百分位数多8，有．故选C．
4．【答案】D
【解析】根据函数的单调性，有，即．故选D．
5．【答案】B
【解析】由于，其中，
所以．故选B．
6．【答案】B
【解析】注意到在的范围内都是单调递增函数，
因此也是定义域内的单调递增函数，
由于，
因此在必有实数根．故选B．
7．【答案】A
【解析】由题设知，则，因此，可得．故选A．
8．【答案】C
【解析】因为偶函数在上是增函数，且，
所以的最大值为2．所以只需，
即对任意的恒成立即可，
令，则即
解得或．故选C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【答案】BCD
【解析】对于A，平均数为，中位数为2，故A选项错误；
对于B，数据的众数为8，故B选项正确；
对于C，设样本容量为，由题知，解得，即样本容量为45，故C选项正确；
对于D，乙组数据的平均数为，方差为，又，所以两组数据中较稳定的是乙组，故D正确．故选BCD．
10．【答案】ABC
【解析】对于A，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；
对于B，的定义域为，而的定义域为，所以不表示同一函数；
对于C，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；
对于D，，所以是同一函数．故选ABC．
11．【答案】ABC
【解析】由解析式可得图象如图所示，
由得：，
当时，，不等式无解；
当时，由得：，
若不等式恰有1个整数解，则整数解为3，
又，可得；
当时，由得：，若不等式恰有1个整数解，只需．
综上所述：实数的取值范围为．故选ABC．
12．【答案】AD
【解析】对于A，因为，则，又，则，故A正确；
对于B，由为奇函数，但是未知其单调性，故B错误；
对于C，由，可得，则，解集为，故C错误；
对于D，的定义域为，则可得或，故D正确．故选AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】
【解析】令可得，则定义域为．
14．【答案】
【解析】，由于，所以，故，当且仅当时等号成立，故最大值为．
15．【答案】
【解析】依题意，由，得，由解得，因此
显然函数在上单调递减，取值集合为，在上单调递增，取值集合是，所以函数的值域为．
16．【答案】
【解析】，
因为在区间上是增函数，所以，即．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．【答案】（1）3 （2）4
【解析】（1）
；
（2）原式．
18．【答案】（1） （2）0，4
【解析】（1）由题意可知在上单调递增，在上单调递减，于是其值域为；
（2），
因为函数的一个零点为2，所以，解得．
所以，
令，解得．
所以函数的其余零点为0，4．
19．【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为幂函数在上单调递减，所以
解得，所以的解析式为；
（2）由，可得，则，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，所以当时，取得最小值1．
所以的取值范围为．
20．【答案】（1）0.0625 （2）19.2 （3）12
【解析】（1）由频率分布直方图知，家庭月均用水量在中的频率为，
同理，在中的频率分别为．
由，
解得；
（2）由（1）知，前4组的总频率为，
前5组的总频率为，
所以，
所以根据百分位数的计算方法有，
解得；
（3）设与各数据的差的平方和为，
则
，
由二次函数的性质知，当时，取得最小值，
故．
21．【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意得即，
所以实数的取值范围为；
（2）由（1）知，当时，方程有两个实数根，可知，
于是，
因为要求的值为整数，且为整数，，此时分子应当不小于分母，
所以，即，则，
令，此时为整数，则满足题意．
22．【答案】（1） （2）
【解析】（1）依题意可得方程在内只有一个实数解，
即在内只有一个实数解，所以，
所以的取值范围为；
（2）因为，所以当时，，
则．
因为，所以在上为减函数，
所以在上的最大值为，最小值为，
所以当时，，
由，得，即，又由，
所以解得，故的取值范围为．