2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区星湾学校九年级（上）期中数学试卷(图片版，含解析）

江苏省苏州市苏州工业园区星湾学校
2023-2024 学年九年级上学期期中数学试题
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． x2
1
2xy 5 B 2． x 2
x
C． x2 y2 6 D． x2 5
2．抛物线 y 2x2 的对称轴是直线（ ）
A． y 0 B． y 1 C． x 0 D． x 2
3．用配方法解方程 x2 6x 4 0，原方程应变为（ ）
A． (x 3)2 13 B． (x 3)2 5 C． (x 3)2 13 D． (x 3)2 5
4．如图，点 A，B，C，D在 O上， AOC 142 ，点 B是 AC的中点，则 D的度数
是（ ）
A．70 B．55 C． 35.5 D．35
5．由二次函数 y＝（2 x﹣3）2 1，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 x＝﹣3
C．其最小值为 1 D．当 x＜3 时，y随 x的增大而增大
6．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 A、B、C、D、E、F 在小正方形的
顶点上，则△ABC 的外心是( )
A．点 D B．点 E C．点 F D．点 G
试卷第 1页，共 29页
7．某校九年级各班进行拔河比赛，每两个班之间都要赛一场，共赛 28 场.设共有 x个班
参赛，根据题意可列方程为（ ）
x x 1 28 xA B x 1 x x 1 ． ． 28 C． 28 D． x x 1 28
2 2
8 x AB C : y x2．如图，垂直于 轴的直线 分别与抛物线 1 x 0 和抛物线
2
C2 : y
x
x 0 交于 A，B两点，过点 A作CD∥ x轴分别与 y轴和抛物线C2 交于点 C，9
S
D，过点 B EF x OFB作 ∥ 轴分别与 y轴和抛物线C1交于点 E，F，则 S 的值为（ ） EAD
3 1 1 1A． B． C． D．
9 24 9 64
二、填空题
9．抛物线 y (x 2)2 6顶点坐标是 ．
10．已知关于 x的一元二次方程 x2 ax 1 0有两个相等的实数根，则 a的值是 ．
11．把二次函数 y x2 的图像向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后
的图像对应的二次函数的关系式为 ．
12．已知二次函数 y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线 x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(2，
y2)，则 y1 y2．(填“＞”“＜”或“＝”)
13．二次函数 y ax2 bx c的图象如图所示，直接写出不等式 ax2 bx c 0的解集
为 ．
14．将半径为 5 的 O如图折叠，折痕 AB长为 6，C为折叠后 AB的中点，则OC长
试卷第 2页，共 29页
为 ．
15．对于两个不相等的实数 a、b，我们规定符号Max{a，b}表示 a、b中的较大值，如：
Max{1，3} 3，按照这个规定，方程Max{1,x} x 2 6 的解为 ．
16．如图，正方形OABC的边长为 4，OA与 x轴负半轴的夹角为15 ，点 B在抛物线
y ax 2 a 0 的图象上，则 a的值为 ．
三、计算题
17．解方程：
(1) x 5 2 16；
(2) 2x2 1 4x．
(3)5x x 1 2 x 1
(4) 2x2 x 1 0．
四、作图题
18．已知二次函数 y x2 2x 3．
试卷第 3页，共 29页
(1)画出这个函数的图象；
(2)根据图象，直接写出；
①当函数值 y为正数时，自变量 x的取值范围；
②当 2 x 2时，函数值 y的取值范围．
五、问答题
19 2．已知关于 x的一元二次方程 a c x 2bx a c 0，其中 a，b，c为 ABC的三
边．
(1)若 x 1是方程的根，判断 ABC的形状，并说明理由；
(2)若方程有两个相等的实数根，判断 ABC的形状，并说明理由．
六、证明题
20．如图，点 A,B,C,D在 O上，且 AB = D C，判断 AC与 BD的数量关系．
七、问答题
21．如图，若二次函数 y＝x2﹣x﹣2 的图象与 x轴交于 A，B两点（点 A在点 B的左侧），
与 y轴交于 C点．
（1）求 A，B两点的坐标；
（2）若 P（m，﹣2）为二次函数 y＝x2﹣x﹣2 图象上一点，求 m的值．
试卷第 4页，共 29页
八、应用题
22．某品牌服装平均每天可以售出 10 件，每件盈利 40 元．受新冠肺炎疫情影响，商场
决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价
1 元，平均每天就可以多售出 2 件，如果需要盈利 700 元，那么每件降价多少元
九、证明题
23．如图，⊙O的直径 AB为 6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点 D．
（1）判断 ADB的形状，并证明；
（2）求 BD的长．
十、应用题
24．某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙 AB长度小于 10 米），另外三边
用木栏围成，木栏总长 20 米，设动物场CD边的长为 xm ，矩形面积为 ym2 ．
(1)矩形面积 y ______（用含 x的代数式表示）；
(2)当矩形动物场面积为48m2 时，求CD边的长；
(3)能否围成面积为52m2 矩形动物场 说明理由．
试卷第 5页，共 29页
十一、计算题
25．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，OA 2m ，从A 处
向外喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．王丽芳同学根据题意在图
中建立如图所示的坐标系，水流喷出的高度 y m 与水平距离 x m 之间的关系式是
y ax 2 bx c x 0 1，已知水流的最高点到OA的水平距离是 m ，最高点离水面是
2
9 m ．
4
求二次函数表达式；
(1)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外
十二、问答题
26．如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y x t与坐标轴交于A 、C两点，经过A 、
C两点的抛物线 y ax2 bx 6与 x轴的另一交点 B的坐标为 2，0 ，连接 BC．
(1)填空： t ______，a ______，b ______；
(2)若点Q在直线 AC下方的抛物线上一动点，连接 AQ、CQ，当 S△AQC 12 ，求点Q的
坐标；
(3)若点Q在直线 AC下方的抛物线上一动点，当CA恰好平分 BCQ时，求点Q横坐标．
十三、计算题
27．定义：若一个函数图像中存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等
值点”，例如：点 1,1 是函数 y 2x 1的图像的“等值点”．
试卷第 6页，共 29页
(1)分别判断函数 y 2x 1，y x2 x 2的图像上是否存在“等值点” 如果存在，求出“等
值点”的坐标；如果不存在，请说明理由；
9
(2)设函数 y x 0 ， y x b x 0 的图像的“等值点”分别为点 A、B，过点 B作
x
BC x轴，垂足为C，当 ABC面积为 3 时，求b的值；
(3) 2若函数 y x 4 x m 的图像记为W1 ，将其沿直线 x m翻折后的图像记为W2 ，当
W，与W2 组合成的图像上恰有两个“等值点”时，请求出m的取值范围．
试卷第 7页，共 29页
江苏省苏州市苏州工业园区星湾学校
2023-2024 学年九年级上学期期中数学试题
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． x2
1
2xy 5 B x2． 2
x
C． x2 y2 6 D． x2 5
【答案】D
【分析】直接根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、 x2 2xy 5 中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合
题意；
B x2
1
、 2是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
x
C、 x2 y2 6中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、 x2 5，是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的
最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程，熟练掌握此定义是解题的关键．
2．抛物线 y 2x2 的对称轴是直线（ ）
A． y 0 B． y 1 C． x 0 D． x 2
【答案】C
【分析】根据抛物线解析式，可直接求出对称轴．
【详解】解： 抛物线解析式为 y 2x2 ，
对称轴为 x 0．
故选：C．
2
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是记住二次函数 y = ax (a 0)的对称
轴是直线 x 0．
3．用配方法解方程 x2 6x 4 0，原方程应变为（ ）
A． (x 3)2 13 B． (x 3)2 5 C． (x 3)2 13 D． (x 3)2 5
【答案】D
【分析】先将常数项移到右边，两边再同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得
试卷第 8页，共 29页
到答案．
【详解】对 x2 6x 4 0进行配方：
移项，得： x2 6x 4，
6
2

两边同时加上一次项系数一半的平方，即 9，得：
2
x2 6x 9 4 9 ，
2
整理，得： x 3 5，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的配方，熟练掌握配方的过程是本题的解题关键．
4．如图，点 A，B，C，D在 O上， AOC 142 ，点 B是 AC的中点，则 D的度数
是（ ）
A．70 B．55 C． 35.5 D．35
【答案】C
【分析】本题主要考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理．根据圆心角、弧、
1
弦的关系定理得到 AOB AOC2 ，再根据圆周角定理解答．
【详解】解：连接OB，如图所示：
∵点 B是 AC的中点，
∴ AOB
1
AOC 71 ，
2
试卷第 9页，共 29页
1
由圆周角定理得， D AOB 35.5 ，故 C 正确．
2
故选：C．
5．由二次函数 y＝（2 x﹣3）2 1，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 x＝﹣3
C．其最小值为 1 D．当 x＜3 时，y随 x的增大而增大
【答案】C
【分析】由解析式可知 a＞0，对称轴为 x=3，最小值为 0，在对称轴的左侧 y随 x的增
大而减小，可得出答案．
【详解】由二次函数 y＝（2 x﹣3）2 1，可知：
A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；
B．∵其图象的对称轴为直线 x＝3，故此选项错误；
C．其最小值为 1，故此选项正确；
D．当 x＜3 时，y随 x的增大而减小，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、
最大值及对称轴两侧的增减性是解题的关键．属于基础题目．
6．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 A、B、C、D、E、F 在小正方形的
顶点上，则△ABC 的外心是( )
A．点 D B．点 E C．点 F D．点 G
【答案】A
【分析】根据三角形三边中垂线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可．
【详解】根据图形可知，直线 DG 是△ABC 的 BC 边上的中垂线，点 D 在△ABC 的 AB
边上的中垂线上，
∴点 D 是△ABC 外心．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的外心的定义，注意：三角形三边中垂线相交于一点，
试卷第 10页，共 29页
这一点是此三角形的外心．
7．某校九年级各班进行拔河比赛，每两个班之间都要赛一场，共赛 28 场.设共有 x个班
参赛，根据题意可列方程为（ ）
A． x x 1 28 x x 1B x x 1C ． 28 ． 28 D． x x 1 28
2 2
【答案】C
【分析】根据互动问题直接列式即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
x x 1
28，
2
故选：C；
【点睛】本题考查一元二次方程解应用题，解题的关键是互动问题注意重复问题．
8 2．如图，垂直于 x轴的直线 AB分别与抛物线C1 : y x x 0 和抛物线
2
C2 : y
x
x 0 交于 A，B两点，过点 A作CD∥ x轴分别与 y轴和抛物线C2 交于点 C，9
S
D，过点 B作 EF OFB∥ x轴分别与 y轴和抛物线C1交于点 E，F，则 S 的值为（ ） EAD
3 1 1 1A． B． C． D．
9 24 9 64
【答案】B
【分析】此题重点考查学生对二次函数的图象和性质的应用能力．根据二次函数的图象
和性质结合三角形面积公式求解．
a2
【详解】解：设点 A，B横坐标为 a，则点A 纵坐标为 a 2 ，点 B的纵坐标为 ，
9
BE∥ x轴，
F a
2
∴点 纵坐标为 ，
9
∵点 F 是抛物线 y = x2上的点，
1
∴点 F 横坐标为 x y a，
3
CD x轴，
试卷第 11页，共 29页
∴点D纵坐标为 a 2 ，
x2
∵点D是抛物线 y 上的点，
9
∴点D横坐标为 x 9y 3a，
AD 2a，BF 2 a CE 8 a2 OE 1 ， ， a2 ，
3 9 9
1 BF OE 1S OFB 2 27 1 1 ，S EAD AD CE 8 24
2 9
故选：B．
二、填空题
9．抛物线 y (x 2)2 6顶点坐标是 ．
【答案】 ( 2,6)
【分析】本题考查了求二次函数的性质，根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标．
【详解】抛物线 y (x 2)2 6的顶点坐标是 ( 2,6) ，
故答案为： ( 2,6) ．
10．已知关于 x的一元二次方程 x2 ax 1 0有两个相等的实数根，则 a的值是 ．
【答案】 2
【分析】本题主要考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根时 b2 4ac 0列
出方程，解之可得答案．
【详解】解：∵关于 x的一元二次方程 x2 ax 1 0有两个相等的实数根，
2
∴ a 4 1 1 0 ，即 a 2 4 0
解得， a 2，
故答案为： 2．
11．把二次函数 y x2 的图像向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后
的图像对应的二次函数的关系式为 ．
2
【答案】 y x 1 3
【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答．
【详解】解：把二次函数 y x2 的图像向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位得
2
到的二次函数的关系式为 y x 1 3 ，
试卷第 12页，共 29页
故答案为： y x 1 2 3 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，
上加下减．
12．已知二次函数 y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线 x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(2，
y2)，则 y1 y2．(填“＞”“＜”或“＝”)
【答案】>
【分析】根据二次函数 y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线 x＝1，且经过点(﹣1，y1)，
(2，y2)和二次函数的性质可以判断 y1 和 y2的大小关系．
【详解】解：∵二次函数 y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线 x＝1，
∴当 x＞1 时，y随 x的增大而增大，当 x＜1 时，y随 x的增大而减小，
∵该函数经过点(﹣1，y1)，(2，y2)，|﹣1﹣1|＝2，|2﹣1|＝1，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了二次函数的增减性问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．二次函数 y ax2 bx c的图象如图所示，直接写出不等式 ax2 bx c 0的解集
为 ．
【答案】 2 x 6
【分析】根据二次函数图像找到 x轴上方图像 x取值范围即可得到答案．
【详解】解：由二次函数图像可得，
当 2 x 6 时， y 0 ，
故答案为： 2 x 6 ．
【点睛】本题考查根据二次函数图像解一元二次不等式，解题的关键是熟练掌握二次函
数与一元二次不等式的关系．
14．将半径为 5 的 O如图折叠，折痕 AB长为 6，C为折叠后 AB的中点，则OC长
为 ．
试卷第 13页，共 29页
【答案】3
【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系和勾股定理．延长OC交 O于
D点，交 AB于 E点，连接OA、OB、AC、BC ，如图根据圆心角、弧、弦的关系由 AC B C
得到CA CB，则可判断OC垂直平分 AB，则 AE BE 3，再利用勾股定理计算出
OE 4 ，所以DE 1，然后利用 C点和 D点关于 AB对称得到CE 1，最后计算OE CE
即可．
【详解】解：延长OC交 O于 D点，交 AB于 E点，连接OA、OB、AC、BC，如图，
∵C为折叠后 AB的中点，
∴ AC B C，
∴CA CB，
∵OA OB，
∴OC垂直平分 AB，
1
∴AE BE AB 3，
2
在Rt△AOE中，OE OA2 AE2 52 32 4，
∴DE OD OE 5 4 1，
∵ ADB沿 AB折叠得到 A CB，CD垂直 AB，
∴C点和 D点关于 AB对称，
∴CE=DE=1，
∴OC OE CE 4 1 3．
故答案为：3．
15．对于两个不相等的实数 a、b，我们规定符号Max{a，b}表示 a、b中的较大值，如：
Max{1，3} 3，按照这个规定，方程Max{1,x} x 2 6 的解为 ．
【答案】 x 3或 x 7
试卷第 14页，共 29页
【分析】分类讨论 x的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可．
【详解】解：当 x 1时，方程为： x2 6 x
即 x2 x 6 0，
解得： x1 2 （舍去）， x2 3；
∴此时 x 3，
当 x 1时，方程为： x2 6 1，
解得： x1 7 （舍去）， x2 7 ，
∴ x 7 ；
故答案为： x 3或 x 7 ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，新定义实数运算，解题的关键是理解题意，
列出方程求解．
16．如图，正方形OABC的边长为 4，OA与 x轴负半轴的夹角为15 ，点 B在抛物线
y ax 2 a 0 的图象上，则 a的值为 ．
2
【答案】
12
【分析】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数
解析式的方法，连接OB，过 B作 BD x轴于 D，若OA与 x轴负半轴的夹角为15 ，那
么 BOD 30 ；在正方形OABC中，已知了边长，易求得对角线OB的长，进而可在
Rt△OBD中求得 BD、OD的值，也就得到了 B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析
式中，即可求得待定系数 a的值．
【详解】解：如图，连接OB，过 B作 BD x轴于 D；
则 BOA 45 ， BOD 30 ；
试卷第 15页，共 29页
已知正方形的边长为 4，则OB 4 2 ；
Rt△OBD中，OB 4 2 ， BOD 30 ，
BD 1则 OB 2 2，OD OB2 BD2 2 6 ；
2
故 B 2 6, 2 2 ，
2
代入抛物线的解析式中，得： 2 6 a 2 2 ，
2
解得 a ，
12
2
故答案为： ．
12
三、计算题
17．解方程：
(1) x 5 2 16；
(2) 2x2 1 4x．
(3)5x x 1 2 x 1
(4) 2x2 x 1 0．
【答案】(1) x 9， x2 1
(2) x1 1
6
, x2 1
6

2 2
(3) x1 1， x
2
2 5
1
(4) x1 1， x2 2
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力：
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可；
（3）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于 x的一元一次方
程，分别求解即可得出答案；
（4）利用公式法求解可得方程的解．
2
【详解】（1）∵ x 5 16，
∴ x 5 4，
∴ x 9 ， x2 1；
试卷第 16页，共 29页
（2） 2x2 1 4x，
2x2 4x 1 0，
x2 1 2x 0，
2
x2 2x 1 ，
2
x2 2x 1 3 ，
2
x 1 2 3 ，
2
x 1 6 ，
2
6 6
∴ x1 1 , x2 1 ；2 2
（3）5x x 1 2 x 1 ，
5x x 1 2 x 1 0，
(x 1)(5x 2) 0
x 1 0或5x 2 0，
2
∴ x1 1， x2 5 ；
（4） 2x2 x 1 0，
这里 a 2，b = -1，c 1，
△ 1 2 4 2 1 9 0 ，
b b2 4ac 1 9x 1 3则 ，
2a 4 4
∴ x1 1， x
1
2 ．2
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方
法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的
方法是解题的关键．
四、作图题
18．已知二次函数 y=﹣x2+2x+3．
（1）画出这个函数的图象；
（2）根据图象，直接写出；
①当函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围；
②当﹣2＜x＜2 时，函数值 y 的取值范围．
试卷第 17页，共 29页
【答案】(1)见解析；（2）①﹣1＜x＜3；②﹣5＜y＜4．
【详解】（1）配方后即可确定顶点坐标及对称轴；
（2）确定顶点坐标及对称轴、与坐标轴的交点坐标即可确定抛物线的解析式；
（3）根据图象利用数形结合的方法确定答案即可；
五、问答题
19 2．已知关于 x的一元二次方程 a c x 2bx a c 0，其中 a，b，c为 ABC的三
边．
(1)若 x 1是方程的根，判断 ABC的形状，并说明理由；
(2)若方程有两个相等的实数根，判断 ABC的形状，并说明理由．
【答案】(1)等腰三角形，理由见解析
(2)直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据方程的解把 x=1 代入方程得到 c﹣b=0，即 c=b，于是由等腰三角形的
判定即可得到 ABC是等腰三角形；
（2）根据根的判别式得出 a，b，c的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断△ABC的
形状．
【详解】（1）解：把 x=1 代入方程得，
a c 2b a c 0 ，
化简得 c b，
则该三角形 ABC的形状为等腰三角形．
（2）解：由题意可得方程有两个相等的实数根
2 2
则 a c x 2bx a c 0的判别式：Δ 2b 4 a c a c 0
4b2 4 (c2 a2) 0
试卷第 18页，共 29页
化简可得b2 a2 c2
则该三角形 ABC的形状为直角三角形．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的
判定，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
六、证明题
20．如图，点 A,B,C,D在 O上，且 AB = D C，判断 AC与 BD的数量关系．
【答案】 AC BD
【分析】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦
中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．由 AB = D C，可得 AB+ B C = D C + B C，
即 AC B D，因此 AC与 BD相等．
【详解】解： AC BD．理由如下：
∵ AB = D C，
∴ AB+ B C = D C + B C，
即 AC B D，
∴ AC BD．
七、问答题
21．如图，若二次函数 y＝x2﹣x﹣2 的图象与 x轴交于 A，B两点（点 A在点 B的左侧），
与 y轴交于 C点．
（1）求 A，B两点的坐标；
（2）若 P（m，﹣2）为二次函数 y＝x2﹣x﹣2 图象上一点，求 m的值．
试卷第 19页，共 29页
【答案】（1）A（-1，0），B（2，0）；（2）m的值为 0 或 1．
【分析】（1）解方程 x2-x-2=0 可得 A，B两点的坐标；
（2）把 P（m，-2）代入 y=x2-x-2 得 m2-m-2=-2，然后解关于 m的方程即可．
【详解】解：（1）当 y＝0 时，x2-x-2=0，解得 x1＝-1，x2＝2，
∴A（-1，0），B（2，0）；
（2）把 P（m，-2）代入 y=x2-x-2 得 m2-m-2=-2，
解得 m1＝0，m2＝1，
∴m的值为 0 或 1．
【点睛】本题考查了抛物线与 x轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，
a≠0）与 x轴的交点坐标问题转化为解关于 x的一元二次方程．
八、应用题
22．某品牌服装平均每天可以售出 10 件，每件盈利 40 元．受新冠肺炎疫情影响，商场
决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价
1 元，平均每天就可以多售出 2 件，如果需要盈利 700 元，那么每件降价多少元
【答案】每件降价5元或30元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每件降价 x元，则每件盈利 40 x 元，
平均每天可售出 10 2x 件，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关
于 x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设每件降价 x元，则每件盈利 40 x 元，
依题意得： 40 x 10 2x 700，
整理得： x2 35x 150 8，
解得： x1 5， x2 30．
答：每件降价5元或30元．
试卷第 20页，共 29页
九、证明题
23．如图，⊙O的直径 AB为 6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点 D．
（1）判断 ADB的形状，并证明；
（2）求 BD的长．
【答案】（1）等腰直角三角形，见解析；（2）3 2
【分析】（1）先根据角平分线定义得∠ACD = ∠DCB,再利用圆周角定理得∠ACD =
∠ABD,∠DCB = ∠DAB,等量代换即可求解,
（2）利用直径和勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）△ADB是等腰直角三角形.
证明：∵CD平分∠ACB,
∴ ∠ACD = ∠DCB.
∵ ∠ACD = ∠ABD,∠DCB = ∠DAB,
∴ ∠ABD = ∠DAB.
∴AD=BD.
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°
∴△ADB是等腰直角三角形
（2）在 Rt△ADB中, AD2+BD2=AB2,
∴2BD2=AB2,
∴BD= 2 AB= 2 ×6= 3 2 (cm)
2 2
【点睛】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，
熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
试卷第 21页，共 29页
十、应用题
24．某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙 AB长度小于 10 米），另外三边
用木栏围成，木栏总长 20 米，设动物场CD边的长为 xm ，矩形面积为 ym2 ．
(1)矩形面积 y ______（用含 x的代数式表示）；
(2)当矩形动物场面积为48m2 时，求CD边的长；
(3)能否围成面积为52m2 矩形动物场 说明理由．
【答案】(1) 2x2 20x m2
(2) 6m
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查了列代数式和一元二次方程的应用．
（1）根据矩形的面积=长×宽求解即可；
（2）根据矩形动物场面积为 48m2 ，列一元二次方程，求解即可；
（3）根据矩形动物场面积为52m2 列一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）∵动物场CD边的长为 xm ，木栏总长 20 米，则 EF CD xm，
∴DE 20 2x 米，
y CD DE x 20 2x 2x2∴矩形面积为 20x m2 ，
2x2 20x m2故答案为： ；
（2）根据题意，得 2x2 20x 48 ，
解得 x1 4，x2 6，
∵墙 AB长度小于10m，
∴当CD 4m时，DE 20 2 4 12m 10m ，不符合题意；
当CD 6m时，DE 20 2 6 8m 10m ，符合题意；
所以，CD边的长为6m；
（3）不能，理由如下：
试卷第 22页，共 29页
根据题意，得 2x2 20x 52，
整理，得 x2 10x 26 0，
∵ 100 4 1 26 4 0，
∴方程没有实数根，
∴不能围成面积为52m2 矩形动物场．
十一、计算题
25．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，OA 2m ，从A 处
向外喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．王丽芳同学根据题意在图
中建立如图所示的坐标系，水流喷出的高度 y m 与水平距离 x m 之间的关系式是
y ax 2 bx c x 0 1，已知水流的最高点到OA的水平距离是 m ，最高点离水面是
2
9 m ．
4
求二次函数表达式；
(1)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外
y x2 1【答案】(1) x
1

2 2
(2)水池的半径至少为 1 米
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的实际应用．
（1）根据抛物线的顶点式求解即可．
（2）令 y 0 得到 x2
1 x 1 0 求得抛物线与 x轴正半轴的交点坐标，其横坐标就是
2 2
所求．
1 9 1
【详解】（1）∵水流的最高点到OA的水平距离是 m ，最高点离水面是 m，OA m ，
4 16 2
1 9 1
∴抛物线的顶点坐标为 , , A 0, ，
4 16 2
1 2 9
故设抛物线的解析式为 y a x ，
4 16
试卷第 23页，共 29页
1 2
∴ a 0 1 9 ，2 4 16
解得 a 1，
2

∴抛物线的解析式为 y x
1 9 ，
4 16
y x2 1 1∴抛物线的解析式为 x ．
2 2
2 1 1
（2）令 y 0 得到 x x 0 ，
2 2
解得 x 1
1
1 ， x2 （舍去），2
故水池的半径至少为 1 米．
十二、问答题
26．如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y x t与坐标轴交于A 、C两点，经过A 、
C两点的抛物线 y ax2 bx 6与 x轴的另一交点 B的坐标为 2，0 ，连接 BC．
(1)填空： t ______，a ______，b ______；
(2)若点Q在直线 AC下方的抛物线上一动点，连接 AQ、CQ，当 S△AQC 12 ，求点Q的
坐标；
(3)若点Q在直线 AC下方的抛物线上一动点，当CA恰好平分 BCQ时，求点Q横坐标．
1
【答案】(1) 6， 2 ，2
(2)点Q的坐标为 2， 8 或 4， 6 ；
(3)点Q
10
的横坐标为 ．
3
【分析】（1）由抛物线解析式可得C 0， 6 ，将C 0， 6 代入直线解析式可得 t 6，
根据直线解析式求出点 A 6，0 ，将 A 6，0 ，B 2，0 代入抛物线 y ax2 bx 6即可求
得 a、b的值；
试卷第 24页，共 29页
2
1 2
（ ）作QE x轴，交 AC于 E，设Q m，m 2m 6

，则 E m， m 6 ，用m表示出
2
QE的长，再利用三角形面积公式列出一元二次方程方程，解之即可求解；
（3）作 AD x轴，交CQ的延长线于D，则 DAB 90 ，可证 ACD≌ ACB ASA ，
1 1
得到 AD AB 8 2，从而得出点D的坐标，求得CD的解析式，再由 x 6 x 2x 6，
3 2
进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：在 y ax2 bx 6中，当 x 0时， y= 6，
C 0， 6 ，
将C 0， 6 代入 y x t得： t 6，
直线的解析式为： y x 6，
在 y x 6中，当 y 0 时， x 6 0，
解得： x 6，
A 6，0 ，
2 36a 6b 6 0将 A 6，0 ， B 2，0 代入 y ax bx 6得：
4a 2b
，
6 0
1
a
解得： 2 ，
b 2
1
故答案为： 6， 2 ，2；
1
（2 2）解：由（1）知抛物线解析式为 y x 2x 6 ，
2
QE x AC
1 2
作 轴，交 于 E，设Q m，m 2m 6 ，则 E m， m 6 ，
2
∴QE m 6
1
m 2 2m 6
1
m
2 3m ，
2 2
1 1 1 2
依题意得 S△AQC QE xA m 3m

6 12，2 2 2
整理得m2 6m 8 0，
解得m 2或m 4，
∴点Q的坐标为 2， 8 或 4， 6 ；
试卷第 25页，共 29页
（3）解：如图，作 AD x轴，交CQ的延长线于D，则 DAB 90 ，
∵ A 6，0 ，C 0， 6 ， B 2，0 ，
OA OC 6 ， AB 8，
AOC 90 ，
OAC OCA 45 ，
DAC DAB OAC 90 45 45 ，
DAC BAC，
CA平分 BCQ，
DCA BCA，
AC AC，
ACD≌ ACB ASA ，
AD AB 8，
D 6， 8 ，
设直线CD的关系式为： y kx 6，
将D 6， 8 代入可得： 8 6k 6 ，
1
解得： k ，
3
直线CD的关系式为： y
1
x 6 ，
3
1 x 6 1由 x2 2x 6，
3 2
5
解得： x1 0 ， x2 ，3
点Q在直线 AC下方的抛物线上一动点，
x 10 ，
3
Q 10点的横坐标为 ．
3
【点睛】本题考查了求二次函数和一次函数解析式、角平分线的定义、三角形全等的判
定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题
试卷第 26页，共 29页
的关键．
十三、计算题
27．定义：若一个函数图像中存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等
值点”，例如：点 1,1 是函数 y 2x 1的图像的“等值点”．
(1)分别判断函数 y 2x 1，y x2 x 2的图像上是否存在“等值点” 如果存在，求出“等
值点”的坐标；如果不存在，请说明理由；
9
(2)设函数 y x 0 ， y x b x 0 的图像的“等值点”分别为点 A、B，过点 B作
x
BC x轴，垂足为C，当 ABC面积为 3 时，求b的值；
(3) 2若函数 y x 4 x m 的图像记为W1 ，将其沿直线 x m翻折后的图像记为W2 ，当
W，与W2 组合成的图像上恰有两个“等值点”时，请求出m的取值范围．
【答案】(1)函数 y 2x 1的图象上存在“等值点”为 1, 1 ；函数 y x2 x 2的图象上
不存在个“等值点”
(2)b的值为3 33 或3 33
m 17(3) 1 17 1 17或
8 m 2 2
【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
9
（2）先根据“等值点”的定义求出函数 y x 0 的图象上 “等值点” A 3,3 ，同理求
x
B 1 b, 1 b 1 1 1出 ，根据 ABC的面积为 3 可得 b 3 b 3 ，求解即可；
2 2 2 2 2
1 17 1 17
（3）先求出函数 y x2 4的图象上有两个“等值点” ，2 2
，

1 17 1 17
， ，再利用翻折的性质分类讨论即可．
2 2
【详解】（1）在 y 2x 1中，令 x 2x 1，得 x= 1，
∴函数 y 2x 1的图象上存在“等值点”为 1, 1 ；
在 y x2 x
2
2中，令 x x2 x 2，此时 2 4 1 2 4 0，方程无解，
∴函数 y x2 x 2的图象上不存在个“等值点”；
9 9
（2）在函数 y x 0 中，令 x ，
x x
试卷第 27页，共 29页
解得： x 3，
∴ A 3,3 ，
在函数 y x b中，令 x x b，
1
解得： x b ,
2
B 1∴ b,
1 b ，
2 2
∵ BC x轴，
B 1∴ b,0

，
2
∴ BC
1
b ，
2
∵ ABC的面积为 3，
1 1
∴ b
1
3 b 3 ，
2 2 2
当 b＜0时，b2 6b 24 0，
解得b 3 33 ，
当0 b 6时，b2 6b 24 0，
∵ 6 2 4 1 24 60 0，
∴方程b2 6b 24 0没有实数根，
当 b 6时，b2 6b 24 0，
解得：b 3 33 ，
综上所述，b的值为3 33 或3 33 ；
（3）令 x x2 4，
x 1 17 x 1 17解得： 1 ， ，2 2 2
1 17 1 17 1 17 1 17
∴函数 y x2 4的图象上有两个“等值点” ，2 2
， ， ，
2 2
1 17 1 17
①当m 1 17 时，W1，W2两部分组成的图象上必有 2 个“等值点” ， ，2 2 2
1 17 1 17
，2 2
，

将函数 y x2 4 x m 的图像沿直线 x m翻折后为： y x 2m 2 4 x＜m ，
令 x x 2m 2 4，
试卷第 28页，共 29页
整理得： x2 （4m 1）x 4m2 4 0，
∵W2 的图象上不存在“等值点”，
∴Δ 0，
∴ 4m 1 2 4 4m2 4 0 ，
∴m
17
，
8
1 17 1 17 1 17 1 17 1 17
②当m 时，有 3 个“等值点” ， ， ， ，2 2 2 2 2
1 17 1 17
， ，，
2 2


1 17 m 1 17③当 时，W1，W2 两部分组成的图象上恰有 2 个“等值点”，
2 2
1 17 1 17 1 17
④当m 时，W1，W2 两部分组成的图象上恰有 1 个“等值点” ， ，
2 2 2
m 1 17⑤当 时，W1，W2 两部分组成的图象上没有“等值点”，
2
17
综上所述，当W1，W2 两部分组成的图象上恰有 2 个“等值点”时，m 或8
1 17 m 1 17 ．
2 2
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”综合运用，一
元二次方程根的判别式，翻折的性质等，解题关键是理解并运用新定义，运用分类讨论
思想解决问题．
试卷第 29页，共 29页