湖北省鄂州市重点中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

鄂州市第二中学高二年级12月月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设，方程所表示的曲线是( )
A. 焦点在轴上的椭圆 B. 焦点在轴上的双曲线 C. 焦点在轴上的椭圆 D. 焦点在轴上的双曲线
2.已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
3.先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是”，事件“第一次掷出的点
数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则( )
A. 与 互斥 B. 与 相互独立 C. D. 与 互斥
4.在等差数列中，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知原点到直线的距离为，圆与直线相切，则满足条件的直线有多少条( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
6.已知是双曲线的下焦点，是双曲线外一点，是双曲线上支上的动点，则
的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两
点．设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取
值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，若，则当最大时，( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.给出如下四个命题不正确的是( )
A. 方程表示的图形是圆 B. 椭圆的离心率
C. 抛物线的准线方程是 D. 双曲线的渐近线方程是
10.已知双曲线，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的顶点到其渐近线的距离为
B. 若为的左焦点，点在上，则满足的点的轨迹方程为
C. 若，在上，线段的中点为，则直线的方程为
D. 若为双曲线上任意一点，则到点和到直线的距离之比恒为
11.已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有( )
A. 是递减数列 B. C. D. 最小时，
12.如图是椭圆与双曲线在第一象限的交点，
且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论正确的是( )
A. ， B. 若，则
C. 若，则的最小值为 D.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若抛物线的准线与直线间的距离为，则抛物线的方程为 ．
14.数列中，，，则
15.已知圆：，圆：，，分别为圆和圆上
的动点，为直线：上的动点，则的最小值为
16.如图，过双曲线的左焦点引圆
的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段
中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率
为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题10分已知为圆上的动点，的坐标为，在线段的中点．
Ⅰ求的轨迹的方程；
Ⅱ过点的直线与交于两点，且，求直线的方程．
18.本小题分一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆圆心的轨迹为曲线．
求曲线的方程
点为上一动点，点为坐标原点，曲线的右焦点为，求的最小值．
19.本小题分如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，．
证明：平面平面；
已知，在线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
20.本小题分记为数列的前项和，且，．
证明：数列是等差数列
求数列的通项公式．
21.本小题分已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，且，到的渐近线的距离为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，直线，与轴分别交于，两点．
求双曲线的标准方程．
若直线，的斜率分别为，，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22.本小题分已知椭圆的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于，两点，的周长为．
求椭圆的方程
过作轴的垂线交椭圆于点．
试讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标若不是，请说明理由．
求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程，属于基础题．
求出值的范围，把曲线方程化为标准形式，即可判断曲线的形状．
【解答】
解：若，则，
曲线，即，
，
表示焦点在轴上的椭圆．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用空间向量求点、线、面之间的距离，属于基础题．
利用空间向量求点与面之间的距离，计算得结论．
【解答】
解：点在内，， ．
又平面 的法向量为 ，
点到平面的距离
．
故本题选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件和互斥事件，属于中档题．
计算每个事件的概率，根据互斥事件的定义和相互独立的定义逐项判断即可．
【解答】
解：对于选项A：第一次掷出点数为，第二次掷出点数为，满足事件，也满足事件，
因此与 能够同时发生，所以与 不互斥，故选项A错误；
对于选项B： ， ， ，
所以 ，所以 与 相互独立，即选项B正确；
对于选项C： ，故选项C错误；
对于选项D：第一次掷出点数为，第二次掷出点数为，满足事件，
也满足事件，因此与能够同时发生，所以与不互斥，故选项D错误；
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键，属于基础题．
根据可得，又，即可得解．
【解答】
解：由等差数列的性质可知，，
所以，解得，
所以．
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的切线方程，属于基础题．
由题意，满足条件的直线即为圆和圆的公切线，利用这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，即可得出结论．
【解答】
解：由已知，直线满足到原点的距离为，到点的距离为，
满足条件的直线即为圆和圆的公切线，
两圆的圆心距为，所以两圆外切，
因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线上点到焦点或定点距离的最值问题，属于较难题
【解答】
解：是双曲线的下焦点， ，，，记上焦点为由双曲线的定义可得 ，即当，，三点共线时，取得最小值故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的性质及几何意义，点到直线的距离公式，属于较难题．
任取双曲线的一条渐近线为直线，由点到直线的距离公式，构造，，结合题目已知条件列不等式即可求出双曲线离心率的范围．
【解答】解：由题意可知，直线经过双曲线的右焦点，
所以不妨取，，任取双曲线的一条渐近线为直线，
由点到直线的距离公式可得点到渐近线的距离，
点到渐近线的距离，
所以，因为，
所以，因，所以，即，
所以，所以，
因为双曲线离心率，所以．
所以双曲线的离心率的取值范围为．
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于难题．
过作抛物线准线的垂线，垂足为，则，可得，求出过的抛物线的切线方程，进一步求得切点的横坐标，即可求得当最大时的的值．
【解答】
解：过作抛物线准线的垂线，垂足为，则，
抛物线的焦点为，点，
，
设过与抛物线相切的直线方程为，
代入抛物线方程可得，
由，
得，即的最小值为，
的最大值为，此时最大，
此时方程化为，解得，
则此时．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的方程及椭圆的简单几何性质，同时考查抛物线和双曲线的简单几何性质，属于基础题．
结合圆的方程及椭圆、抛物线、双曲线的性质，逐一分析求解即可．
【解答】
解： 对于，将方程配方得，表示的图形是一个点，故A错误；
对于，由椭圆，可知，则椭圆的离心率，故B错误；
对于， 抛物线的标准方程为，即，焦点在轴上，所以准线方程是，故C正确；
对于， 双曲线的标准方程为，渐近线方程为，故D错误．
故选ABD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线的基本知识，属于中档题．
对于：表示出顶点坐标和渐近线方程，得出结论可判断选项A；
对于：设，根据题意可用，表示点坐标，代入双曲线方程可得出结论，进而判断选项B
对于：设，，代入双曲线方程，可得直线的斜率，再利用点斜式可得出结论，进而判断选项C；
对于：根据两点间距离公式，点到直线的距离公式可直接得出结论，进而判断选项D．
【解答】
解：对于：双曲线的顶点坐标是和，渐近线方程是，
因此其顶点到渐近线的距离：，故选项A错误；
对于：设，
则，
由，
，点在双曲线上，
即：，故选项B正确；
对于：设，，由点，在双曲线上，
则 ，两式相减得，
，
点恰为线段的中点， ， ，
，即：，
直线的斜率为，且过点，
直线的方程为 ，故选项C正确；
对于 双曲线右焦点， 直线 ，
设点，， 即：，
点到点和到直线的距离之比为：
故选项D正确；
故选BCD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列前项和的性质，属于基础题．
根据等差数列的前项和的定义求出，得，进而得到是递增数列，且，利用单调性，可以得到，，从而得到选项BD判断正确．
【解答】
解：因为，所以，即，
所以，即，所以选项错误；
因为，所以，，所以，选项正确；
，选项错误；
当时，最小，选项正确．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆和双曲线的综合应用，属于较难题．
利用椭圆和双曲线的定义和性质对选项逐个判断即可．
【解答】
解：由椭圆和双曲线的定义：，，
故，，故A对．
在中，由余弦定理：
，
，
即
故时，，对．
时，，
由当且仅当时等号成立，
，故C错．
由，故D对，
故答案选ABD．
13.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义，抛物线方程，属于基础题．
由抛物线方程得到其准线方程，根据条件求得的值．
【解答】
解：抛物线的准线为，
则，解得或，
故抛物线的方程为或．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了求数列中的项，属于基础题．
直接计算得到答案．
【解答】
解： ， ，
则 ， ， ， ．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆与圆位置关系中的最值问题，属于中档题．
利用配方法求出圆的圆心坐标和半径，利用圆和直线的对称性，结合两圆位置关系进行转化求解即可．
【解答】
解：圆的标准方程为，圆 ，
则圆心坐标，半径为，圆心坐标，半径为，
设 关于对称的点的坐标为 ．
所以圆 关于对称的点的坐标为 ，对称图形是以为圆心，半径为的圆，由对称性知问题转化为到，的距离之和的最小值，
由图象知当，，三点共线时，的距离最小，
此时最小值为 ，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的离心率计算，属于中档题．
设双曲线的右焦点，连接，，根据已知得到，又，则，整理得，两边平方整理得，从而可得．
【解答】
解：设双曲线的右焦点，连接，．
则中，，，
则，
由直线与圆相切，
可得，
又双曲线中，，
则，
又，则，
整理得，两边平方整理得，
则双曲线的离心率．
故答案为：．
17.【答案】解：Ⅰ设点的坐标为，点的坐标为，
依题意得，，
解得，，
又，
所以，
所以点的轨迹的方程为；
Ⅱ因为直线与曲线交于，两点，且，
所以原点到直线的距离．
若斜率不存在，直线的方程为，此时符合题意；
若斜率存在，设直线的方程为，即，
则原点到直线的距离，解得，
此时直线的方程为，
所以直线的方程为或
【解析】本题考查了点的轨迹方程以及直线和圆的位置关系，属于中档题．
Ⅰ设点的坐标为，点的坐标为，可得，，又，代入即得，即可求出；
Ⅱ若斜率不存在，直线的方程为，此时符合题意；若斜率存在，设直线的方程为，即，根据点到直线的距离公式即可求出．
18.【答案】解：设动圆圆心为，半径为，
将圆的方程分别配方得：圆，圆，
当动圆与圆外切时，，
当动圆与圆内切时，，
所以，
所以点的轨迹是焦点为，，且长轴长等于的椭圆．
所以动圆圆心轨迹方程为．
由得，，设，
所以，
因为点在椭圆上，所以，，
所以，
所以当时，，
故的最小值为．

【解析】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．
求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心与半径，判断动圆的圆心轨迹，推出结果即可．
设，列出的表达式，配方后利用二次函数的性质求最值即可．
19.【答案】解：底面 是平行四边形，则 ，
， ，
平面 ， 平面 ， ，
又 ，、平面 ，
平面 ，
平面 ，平面 平面
易得、、两两垂直，
以 为坐标原点，以 、 、 的方向分别为 ， ， 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ，设 ， ，，

则 ， ， ， ，
则平面 的一个法向量为 ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
，
， ，所以
解法二：
连接 ，由知 ， ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
由 平面 ，所以 ，
所以 为二面角 的平面角，
所以 ，
在 中，因为 ，所以 ，
所以 为等边三角形，
所以 为 中点，所以

【解析】本题考查面面垂直的证明，运用向量法或几何法求二面角的问题，属于中档题．
根据勾股定理证明线线垂直，结合线面垂直得线线垂直，即可由线面垂直的判断定理证明线面垂直，进而可证面面垂直．
建立空间之间坐标系，利用向量的夹角求解二面角，即可或者利用几何法找到二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解．
20.【答案】解：因为，
所以
，又，
所以数列是首项为，公差为的等差数列；
由得，
所以，
当时，；
当且时，，
又不适合上式，
故数列的通项公式为．
【解析】本题考查由数列的递推关系求通项公式，等差数列的证明及通项公式，属于中档题．
通过证明为常数，即可证明数列为等差数列；
由求得，利用，即可求得数列的通项公式．
21.【答案】解：因为，，渐近线方程为，
所以到渐近线的距离为，
又因为，所以，，，
故双曲线的标准方程为
设直线：，，，，，
联立方程组得，
所以，．
因为直线的方程为，
所以点的坐标为，同理可得点的坐标为．
因为，，
所以
，
即为定值为．
【解析】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线中的定值问题，属于中档题．
由，到渐近线的距离，结合，解得，，，即可得出答案
设直线：，，，，联立直线与双曲线的方程，结合根与系数的关系可得，，写出直线的方程，即可得出点的坐标，同理可得点的坐标，再计算，即可得出答案．
22.【答案】解：由题知 的周长 ，
，又 ， ， ，
故椭圆的方程为 ．
由题可设直线 的方程为 ，设 ， ，
联立方程可得： ，化简可得： ，
，
，
因为： 共线，则有： ，化简可得：
即： ，化简可得： 恒成立．
，即：直线 的方程为 恒过定点 ．
设直线 恒过定点记为 ，
由上题 ，可得： ，
， ，
令 ，则
当且仅当 ，即 时，取等号．
面积的最大值为 ．