第15章轴对称与等腰三角形期末复习(2) 课件（共25张PPT）

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第15章 轴对称与 等腰三角形期末复习(2)　
等腰三角形与直角三角形
沪科版
1.定义：有两条边_____的三角形叫做等腰三角形．
2.性质：(1)等腰三角形两底角_____ ；
(2)等腰三角形____________ 、底边上的中线、
互相重合，简称三线合一；
(3)等腰三角形是轴对称图形，对称轴是__________
所在的直线．
3.判定：(1)有两条边_____的三角形是等腰三角形；
(2)有_____相等的三角形是等腰三角形.
一.等腰三角形
相等
相等
(等边对等角)
顶角平分线
底边上的高
两角
(等角对等边)
底边上的高
相等
复习要点
1.定义：_______都相等的三角形叫做等边三角形．
2.性质：(1)等边三角形三条边_______ ，三个角_______ ，且每个角都等于_____；
(2)等边三角形是____对称图形，它有____条对称轴．
3.判定：(1)三个边都_____的三角形是等边三角形；
(2)三个角都_____的三角形是等边三角形；
(3)有一个角等于_____的____________是等边三角形．
二.等边三角形
三条边
都相等
都相等
轴
三
相等
相等
60°
等腰三角形
60°
(2)直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边_____ ．
1.直角三角形的性质
(1)直角三角形的两锐角_____；
互余
一半
三.直角三角形
(2)有两个角_____的三角形是直角三角形.
(1)有一个角是_____的三角形是直角三角形；
直角
互余
2．直角三角形的判定：
例1.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°， BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点 F.
(1)求证:EF⊥AB. (2) 求证:△ACF为等腰三角形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例题解析
E
A
B
C
D
F
(1)要证:EF⊥AB
DA=DB
∠ABD=36°
∠ABC=72°
AB=AC，∠BAC=36°
例1.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°， BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点 F. (1)求证:EF⊥AB. 　　　　　　　　　
E
A
B
C
D
F
(1)证明:
∵ AB=AC，
∠BAC=36°，
∴∠ABC =∠ACB
=72°
= ×(180°－36°)
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=
=36°.
∴∠ABD=∠BAC.
∴DB=DA.
∵ E是AB的中点，
∴DE⊥AB.
即EF⊥AB.
= ×(180°－ ∠BAC)
1
2
∠ABC
1
2
1
2
例1.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°， BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点 F. (2) 求证:△ACF为等腰三角形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
E
A
B
C
D
F
(2) 证明:
∵ E是AB的中点，
∴FA=FB.
EF⊥AB，
∴∠FAB =∠FBA=72°.
∵∠BAC=36°，
∴EF垂直平分AB，
∴∠FAC=∠FAB －∠BAC=36°.
∵∠ACB=∠FAC＋∠AFC，
∴∠AFC=∠ACB －∠FAC=36°.
∴∠AFC=∠FAC.
∴△ACF为等腰三角形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2.如图，△ABC中，BA=BC， BD⊥AC ，
延长BC到点 E， 使CE=CD， BD=DE.
(1)求: ∠E的度数. (2) 求证:△ABC为等边三角形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A
B
C
D
E
(1)解:
∵ CE=CD，
∵ BD=DE，
∵ BD⊥AC，
∴∠E=∠CDE.
∴∠E=∠DBE.
∴∠EDC=90°.
∴∠DBE＋∠DCB=90°.
∵∠DCB=∠CDE＋∠E，
∴∠DCB=2∠E.
∴∠E＋2∠E=90°.
∴∠E=30°.
例2.如图，△ABC中，BA=BC， BD⊥AC ，
延长BC到点 E， 使CE=CD， BD=DE.
(1)求: ∠E的度数. (2) 求证:△ABC为等边三角形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A
B
C
D
E
(2)证明:
∴∠DCB=2∠E=60°.
∵ ∠E=30°，
即∠ACB=60°.
∵ BA=BC，
∴△ABC为等边三角形.
例3.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
点D是BC的中点，过点D作DE⊥AB，交AB于
点E，点F是AC的中点，过点作FG⊥AC，交
BC于点G. 求证： = .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
ED
CG
3
4
A
B
C
D
E
G
F
证明：
∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B =∠C=30°.
连接AG，
∵ DE⊥AB，
∴∠BED=90°.
∴BD= 2ED.
A
B
C
D
E
G
F
证明：
∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B =∠C=30°.
连接AG，
∵ DE⊥AB，
∴∠BED=90°.
∵点D是BC的中点，
∵点F是AC的中点，
FG⊥AC，
∴AG=CG.
∴FG垂直平分AC，
∴∠GFC=90°，
∠GAC =∠C=30°.
∴∠BAG= ∠BAC－∠GAC =90°，
∴BG=2AG.
∴BG=2CG.
∴BC=BG＋CG=3CG.
∴BD=2ED.
∴BC= 2BD.
∴BC=4ED.
∴
ED
CG
=
∴4ED=3CG.
3
4
1.如果等腰三角形两边长是5 cm和3 cm，那么它的周长是(　　).
A．8 cm B．11 cm
C．13 cm或11 cm D．13 cm
2.如果等腰三角形两边长是4 cm和9 cm，那么它的周长是(　　).
A．13 cm B．17cm
C．17 cm或22 cm D．22 cm
练习巩固
C
D
3. 已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个角的度数是(　　).
A．55°，55° B．70°，40°
C．55°，55°或70°，40° D．以上都不对
4. 已知等腰三角形的一个内角为100°，则另两个角的度数是(　　).
A．100°，40° B．40°，40°
C．100°，40°或40°，40° D．以上都不对
C
B
5.若等腰三角形的一个角等于42°，则它的
底角为(　　)．
A.42° B．69°
C.69°或84° D．42°或69°
D
6.若等腰三角形的一个内角等于40°，则
它的这个等腰三角形的最大内角为(　　)．
A.65° B．40°
C.70°或100° D．65°或100°
C
8.若等腰△ABC的周长为18 cm，BC=8 cm，若△ABC与△A′B′C′全等，则△A′B′C′的腰长等于(　　)．
A．8 cm B．2 cm或8 cm
C．5 cm D．8 cm或5 cm
C
7.在等腰△ABC中，若∠A=36°，则∠B的
度数不可能为(　　)．
A.36° B．72° C.108° D．118°
D
9.如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC、AC上，AD=AE，若∠BAD=α.则∠1与∠B的关系是( )．
A
B
C
E
D
α
1
A. ∠1－∠B=
B．∠B－∠1 =
C. ∠1＋∠B=α
D． ∠1＋∠B=2α
α
2
α
2
A
10.如图，在△ABC中， ∠B =41°， ∠C=107°，AD是角平分线，点E是AB上的点，AC=AE，作EF⊥AD，垂足为点F，则∠DEF的度数是( )．
C
A.16° B．32°
C.33° D．34°
A
B
C
E
D
F
11.在△ABC中，AB＝AC， ∠B =75°，
则∠A的度数为 ．
12.如图，△ABC中，AC=BC，∠B=20°，
点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC，交BC的
延长线于点E，连接AE，则∠EAB = 度.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A
B
C
D
E
30°
60
13.如图，在△ABC中，AB =AC， 点D是△ABC 的三条角平分线的交点，若∠1=125°，则∠ABC的度数是 .
A
B
C
D
1
14.如图， △ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD， DF=DE，则∠E的度数为 .
A
B
C
D
E
F
G
70°
15°
15.已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF＝80°，则∠EGC的度数为______．
B
A
C
E
D
B′
F
G
80°
17.如图，△ABC中，AB=AC，∠C=30°，DA⊥BA于A，AD=2cm，则BC= cm.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A
B
C
D
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠B=30°，AD=2cm，CD是Rt△ABC的高，则BD= cm.
A
B
C
D
6
6
18.如图，等边△ABC的边长为8，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作FE⊥BC于点E，则线段BE的长为____．
A
B
C
D
E
F
5
19.如图，在△ABC中，AB =AC， DE∥BC，点F是BC 的中点，连接FD，FE. 求证：FD=FE.
A
B
C
D
E
F
证明:
∵ AB=AC ，
∴∠ B=∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴DB=EC，
∵点F是BC 的中点，
∴BF=CF，
∴ △BDF≌△CEF
(SAS).
∴FD=FE.
20.如图，点D在等边△ABC的边AC上， 点E在AB的延长线上，使BE =CD，DE交BC于点P.求证：PD=PE.
C
A
B
D
E
P
证明:
过点D作DF∥AB，交BC于点F，
∵ △ABC是等边三角形，
∴∠CDF =∠A，
∠CFD =∠CBA，
∴∠A =∠CBA=∠C=60°.
∴∠CDF =∠CFD=60°.
∴△CDF是等边三角形，
∴CD =FD.
∵ BE =CD，
∴BE =FD.
∠FDE =∠E.
∵∠DPF =∠EPB，
∴△BPE≌△FPD
(AAS).
∴PD=PE.
F
21.如图，在Rt △ABC中，AC=BC， ∠ACB=90°， 点D是BC延长线上一点， 连接AD，作BE⊥AD于点E，
且交AC于点F，连接FD，作FG⊥FD，交BC于点G.
求证：FG∥AB.
A
B
C
D
E
F
G
证明:
∵ AC=BC， ∠ACB=90°，
∠ACD =90°.
∴∠ABC =45°，
∴∠DAC＋∠ADC=90°.
∵ BE⊥AD，
∴∠BED =90°.
∴∠EBD＋∠ADC=90°.
∴∠DAC =∠EBD.
∴△BCF≌△ACD
(ASA).
∴CD=CF .
∴∠C FD=45°.
∵ FG⊥FD，
∴∠GFD =90°.
∴∠C FG=45°.
∴∠CGF=45°.
∴∠ABC =∠CGF.
∴FG∥AB.