第15章轴对称与等腰三角形期末复习(3) 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
第15章 轴对称与等腰三角形期末复习(3)　
线段垂直平分线与角平分线
沪科版
1.线段的垂直平分线的定义
经过线段的中点并且垂直这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线.
复习要点
2.线段垂直平分线的性质定理
3.线段垂直平分线的判定定理
与一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线上的点与这条
线段两个端点的距离相等.
(1)线段垂直平分线的性质是解决
线段相等问题的重要方法．
(2)线段垂直平分线的判定
可证明两线的垂直关系．
4.线段垂直平分线的性质定理和判定定理的应用
(3)三角形三边的垂直平分线相交于一点，
这点到三角形三个顶点的距离相等.
A
B
P
C
5.角平分线的概念
一条射线
把一个角
分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线.
C
O
B
A
1
2
OC是∠ AOB的平分线.
角是轴对称图形，角平分线所在的直线
是角的对称轴.
∠1=∠2
6.角平分线的性质定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
7.角平分线的判定定理.
到角的两边的距离相等的点
在这个角的平分线上.
D
P
E
A
O
B
C
8.角平分线性质定理和判定定理的应用
(1)角平分线性质定理可证明线段相等
(2)角平分线判定定理可证明角相等
(3)三角形三个内角的平分线相交于一点，
这点到三角形三边的距离相等.
D
M
N
A
B
C
F
E
P
9.尺规作图
(1)作已知线段的垂直平分线
(2)作已知角的平分线
(3)作已知直线的垂线
A
B
O
M
N
C
A
B
C
K
D
E
F
C
D
A
B
A
B
C
D
O
E
F
证明：
∵ AB=AC，
BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC.
∴ OB =OC．
∵ EF垂直平分AB，
∴ OA=OB．
∴ OA=OB=OC．
例1.已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上
的中线，AB的垂直平分线交AD于点O.
求证：OA=OB=OC.
例题解析
　　 例2.如图，点P是∠BAC平分线上一点，PE⊥AB，FF⊥AC，垂足分别为点E，F．点H，G分别在AB、AC上，且EH=FG，连接PH，PG.求证：PH=PG.
A
B
H
C
E
F
G
P
要证：PH=PG
△PHE≌△PGF
PE=PF
PE⊥AB，FF⊥AC
点P是∠BAC平分线上一点
　　 例2.如图，点P是∠BAC平分线上一点，PE⊥AB，FF⊥AC，垂足分别为点E，F．点H，G分别在AB、AC上，且EH=FG，连接PH，PG.求证：PH=PG.
A
B
H
C
E
F
G
P
∵ PA平分∠BAC ，PE⊥AB，PF⊥AC，
证明：
∴ PE = PF，
∠PEH=∠PFG=90°.
在△PHE和△PGF中，
EH=FG
∴△PHE≌△PGF.
PE=PF
∴ PH = PG．
∠PEH=∠PFG
1.如图，在平面直角坐标系中，线段AB与
它的垂直平分线ED相交于点C(2，1)，
若点A的坐标为(5，1)，则B的坐标是( ).
练习巩固
x
y
O
A
C
B
E
D
A.(1，1) B.(－0.5，1)
C. (－1，1) D.(－2，1)
C
2.如图，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E， 若△BCE的周长为8cm，BC=3cm，则△ABC的周长为 ( ) .
A.11cm B. 13cm
C. 14cm D.16cm
B
D
A
B
C
E
A.65° B.60° C.55° D.45°
3.如图，在△ABC中， ∠B=55°， ∠C=30°，
分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半
径画弧， 两弧相交于点M、N，作直线MN，交
BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为( ).
1
2
A
A
B
C
D
M
N
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 观察图中
尺规作图的痕迹，若CG=4， P为AB上一动点，
则GP的最小值为( ).
A
B
C
D
E
G
P
F
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
B
5.△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线 交BC
于点D，∠BAD－∠DAC=22.5°，则∠B=( ).
A. 37.5° B. 67.5°
C.37.5°或67.5° D.无法确定
A
B
C
E
F
D
A
B
C
E
F
D
C
6.如图，在△ABC中， ∠A=33°， ∠C=68°，
AB的垂直平分线DE交AC于点E， 则∠1= .
35°
D
A
B
C
E
1
7.如图，在△ABC中，AB =AC， 点D是△ABC 的三条角平分线的交点，若∠1=125°，则∠ABC的度数是 .
A
B
C
D
1
70°
8.如图，已知点D是∠AOB的平分线上的一点，
DC⊥OB，垂足是C， DE∥OB，交OA于点E.
若∠ AOB=30°，DC=5cm，则OE= cm .
10
O
B
A
D
C
E
9.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则∠B的度数为 ．
A
B
C
E
D
A
B
E
D
C
40°
50°
∠B＝65°
∠AED＝40°
∠EAB＝50°
∠B＝25°
65°
或25°
10.如图，MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(1)若△APQ的周长为16cm时，则BC= cm.
(2)若∠BAC=105°，则∠PAQ的度数是 .
16
30°
A
B
C
Q
N
P
M
11.如图，△ABC中， ∠ BAC=90°，过点A的直
线DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线交DE于
D，E.若AB=9，AC =12，则DE的长为 .
A
C
E
B
D
21
12.如图，△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB
的平分线交ED于F，G.若FG=2，ED=6，则
BE＋CD的长为 .
A
C
F
E
B
D
G
8
13.如图，在△ABC 中，已知AB ＜ BC＜ CA.
(1)尺规作图： 作边AB的垂直平分线PQ，交AC
于点P，交AB于点Q.(不写作法，保留作图痕迹)
A
B
C
P
(2)连接PB.若AC=6，BC=4，
则△PBC的周长为 .
10
Q
　　14.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
DF⊥AC，点E，F为垂足．求证：AD垂直平分EF.
A
B
D
C
E
F
∵ AD平分∠BAC ，DE⊥AB，DF⊥AC，
证明：
∴ DE = DF．
∴点D在EF的垂直平分线上.
在Rt△AED和Rt△AFD中，
DE=DF
∴ Rt△AED≌Rt△AFD
AD=AD
∴ AE = AF．
∴点A在EF的垂直平分线上.
∴AD垂直平分EF.
(HL).
∠AED=∠AFD=90°.
15.如图，已知：∠B=∠C=90°，E是BC的中点， AE平分∠BAD. 求证： DE平分∠ADC.
A
B
C
E
D
证明：
过点E是EF⊥AD，垂足为F，
∵∠B=90°，
F
∴ EB⊥AB.
∵ AE平分∠BAD，
∴ EF=EB.
∵ E是BC的中点，
∴ EC=EF.
∴ EF=EB.
∵∠C=90°，
∴ EC⊥DC.
∵ EF⊥AD，
EC⊥DC，
EC=EF，
∴ DE平分∠ADC.