第21章二次函数与反比例函数期末复习（6）实际问题与二次函数 课件（共26张PPT）
文档属性
| 名称 | 第21章二次函数与反比例函数期末复习（6）实际问题与二次函数 课件（共26张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 984.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-25 15:48:32 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
第21章二次函数与反比例函数期末复习(6)
二次函数的与实际问题
沪科版
复习要点 二次函数与实际问题
用函数观点解决实际问题需要掌握什么
(1)要对实际问题中变量与变量之间的关系熟练掌握.
(2)将量与量之间的关系看作函数关系，用函数思想
进行分析.
(3)利用函数的图象与有关性质解决实际问题
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长 25 m)的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 (如下图)．设绿化带的 BC 边长为 x m，绿化带的面积为 y m2．
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.
(2)当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
D
C
B
A
25 m
例题解析1 几何问题的最值
D
C
B
A
25 m
xm
40
2
－ x
解：
(1)
y=
40
2
－ x
x
=－
2
x2
＋20x
(0＜x＜25)．
∴当 时，
y 有最大值．
∵ a=－1＜0 ，
y最大值
x=
b
2a
－
40
2×(－1)
=20
=
=－
2
202
＋20×20
=
200
(2)
当x是 20 m 时，绿化带的面积 S 最大．
－
1.解决几何图形中的最值问题的关键是根据图形
的特点和相关计算公式建立二次函数表达式，
再利用二次函数的性质，特别是顶点坐标来解
决问题，注意保证图形存在并有实际意义，所
以通常要对自变量限定取值范围.
规律方法总结
已知一张矩形打印纸的两边长分别为20cm，12cm.现要在打印纸上打印文稿.上下左右各量出相等的宽度.设留出的宽度均为xcm，打印文稿的面积为 ycm2.
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围.
(2)若x为整数，则x为何值时，打印文稿的面积最小
最小面积是多少
x
x
20cm
12cm
练习巩固 几何问题的最值
已知一张矩形打印纸的两边长分别为20cm，12cm.现要在打印纸上打印文稿.上下左右各量出相等的宽度.设留出的宽度均为xcm，打印文稿的面积为 ycm2.
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围.
解：
(1)
x
x
20cm
12cm
根据题意，打印文稿的
长为(20－2x)cm，宽为(12－2x)cm
∴ y=
(12－2x)
(20－2x)
=240－40x－24x＋4x2
=4x2－64x＋240
∵ 0＜12－2x＜12
∴ 0＜x＜6
x
x
20cm
12cm
∵y=4x2－64x＋240，
∵ 0＜x＜6，
(2)
∴ y=4(x－8)2－16
∵ a=4＞0，
∴ y有最小值
∵ x为整数，
∴ x=5时，y值最小.
y最小值=
4×(5－8)2－16
=20
答：留出的宽度为5cm时，打印文稿的面积
最小，最小面积是20cm2 .
且当x=8时，
y取得最小值
∴ x=8不在取值范围内，
∵ a=4＞0，
∴当x＜8时，
y随x的增大而减小.
某旅馆有30个房间供旅客住宿.据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间会住满；若每个房间的定价每增加5元，就会有一个房间空闲，该旅馆对旅客住宿的房间每间要支出各种费用20元/天(没住宿不支出).当房价定为每天多少时，该旅馆每天的利润最大？
例题解析2 求利润的最大值
某旅馆有30个房间供旅客住宿.据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间会住满；若每个房间的定价每增加5元，就会有一个房间空闲，该旅馆对旅客住宿的房间每间要支出各种费用20元/天(没住宿不支出).当房价定为每天多少时，该旅馆每天的利润最大？
解：设房价定为每天x元，利润为y元.
y=
整理，得
y=－ x2＋46x－840
∴y有最大值，
∵ a=－ ＜0 ，
(30－ )
(x－20)
x－60
5
5
1
5
1
解：设房价定为每天x元，每天的利润为y元.
y=
整理，得
y=－ x2＋46x－840
∴y有最大值，
∴当房价定为每天115元时，旅馆每天的利润最大．
∵ a=－ ＜0 ，
(30－ )
(x－20)
x－60
5
5
1
5
1
y最大值=
c
b2
4a
－
=－840
462
4×(－ )
=1805.
相应的x值为
b
2a
x=－
46
2×(－ )
=115
－
5
1
=
5
1
2.利用二次函数解决实际问题中的最值问题，
首先要根据题意建立二次函数表达式，然后
再利用配方法(或公式法)求出何时获得最值，
从而使问题得到解决.
规律方法总结
解：设定价为x元，利润为y元，
y=
则有
整理，得
y=－20x2＋2300x－60000
∴y有最大值，
∴当定价 57.5 元 时，销售利润y最大．
∵ a=－20＜0 ，
某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
[300＋20(60－x)]
(x－40)
相应的x值为
x=
－
=
b
2a
－
2300
2×(－20)
=57.5
练习巩固
5 m
A
B
4 m
16 m
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 4m时，水面宽16m . 水面下降5m，水面宽度增加多少？
(1)求水面宽度增加多少需要什么数据？
需要知道水面下降 5 m后的水面宽度.
如AB.
生活中的抛物线形问题
例题解析3
5 m
(1)求水面宽度增加多少需要什么数据？
需要知道水面下降 5 m后的水面宽度.
A
B
(2)表示水面宽度的线段的端点在哪条曲线上？
抛物线
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 4m时，水面宽16m . 水面下降5m，水面宽度增加多少？
4 m
16 m
5 m
A
B
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 4m时，水面宽16m . 水面下降5m，水面宽度增加多少？
4 m
16 m
(2)表示水面宽的线
段的端点在哪条
曲线上？
(3)如何求出A、B两点的坐标？
要知道A、B两点所在的抛物线解析式.
抛物线
5 m
A
B
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 4m时，水面宽16m . 水面下降5m，水面宽度增加多少？
4 m
16 m
(3)如何求出A、B
两点的坐标？
(4)怎样确定A、B两点所在的抛物线解析式？
要知道A、B两点所在的抛物线解析式
建立适当的坐标系.
5 m
A
B
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 4m时，水面宽16m . 水面下降5m，水面宽度增加多少？
4 m
16 m
(5)如何建立直角坐标系？
(4)怎样确定A、B两点所在
的抛物线解析式？
建立适当的坐标系.
以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
x
y
O
x
y
O
4
8
－4
－8
－4
－8
A
B
(8，－4)
C
D
E
以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
设抛物线的解析式为y=ax2.
拱顶OE离水面 4 m
水面CD宽 16 m
设抛物线的解析式为y=ax2.
∵抛物线经过点D(8，－4)，
∴－4=a×82.
∴a=－ .
∴抛物线的解析式为
当水面下降 5 m时，
即y=－9.
∴－9=－ x2，
∴x1=－12，
24.
∴AB=
水面下降 5 m时，
水面宽度增加8m.
1
16
1
16
1
16
x2=12.
x
y
O
4
8
－4
－8
－4
－8
A
B
(8，－4)
C
D
E
y=－ x2.
拱顶OF离水面 9 m
F
∴AB－CD=24－16=8
3.解决生活中拱桥、喷泉、篮球轨迹等问题，关
键是把实际问题转化为二次函数的模型，恰当
地选择平面直角坐标系，并和用二次函数的性
质解决实际问题.
规律方法总结
3.燃放烟花是一种常见的喜庆活动，小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发射出的第一枚弹的飞行高度h(单位:m)随飞行时间t(单位:s)变化的规律如下表:
飞行时间 t/s 0 0.5 1 4.5 ...
飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5 …
(1)求第一花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式
(不要求写出自变量的取值范围)；
练习巩固
(2)当第一花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度;
(3)为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m，小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求.
∵每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，
∴第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式
为 h=at2＋bt＋2，
第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式为
h= －2t2＋16t＋2.
0.25a ＋0.5b＋c=9.5.
a＋b＋c=16
a=－2
∴
b=16
∴
解： (1)
(2) ∵ h= －2t2＋16t＋2
∴当t=4时，第一枚花弹到达最高点.
∵这种烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，
∴第二枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式是
h= －2t2＋16t＋2.
∴当第一枚花弹到达最高点时，第二枚花弹飞行时间
t=2
= －2(t－4) ＋34
当t=2时，h=
－2 × 2 ＋16 × 2＋2=26(米).
∴当第一枚花弹到达最高点时，第二枚花弹到达的高度为26米.
(3)花弹的爆炸高度符合安全要求，理由如下:
由(1)(2)可知:第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式为 h= －2t2＋16t＋2，
第二枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式是
h=－2(t＋2)2＋16(t＋2)＋2，
第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度
∴ －2(t＋2)2＋16(t＋2)＋2= －2t2＋16t＋2. ，
∴ t=3.
当t=3时，h= －2×32＋16×3＋2=32(米)
∵ 32>30，
∴花弹的爆炸高度符合安全要求.
第21章二次函数与反比例函数期末复习(6)
二次函数的与实际问题
沪科版
复习要点 二次函数与实际问题
用函数观点解决实际问题需要掌握什么
(1)要对实际问题中变量与变量之间的关系熟练掌握.
(2)将量与量之间的关系看作函数关系，用函数思想
进行分析.
(3)利用函数的图象与有关性质解决实际问题
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长 25 m)的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 (如下图)．设绿化带的 BC 边长为 x m，绿化带的面积为 y m2．
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.
(2)当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
D
C
B
A
25 m
例题解析1 几何问题的最值
D
C
B
A
25 m
xm
40
2
－ x
解：
(1)
y=
40
2
－ x
x
=－
2
x2
＋20x
(0＜x＜25)．
∴当 时，
y 有最大值．
∵ a=－1＜0 ，
y最大值
x=
b
2a
－
40
2×(－1)
=20
=
=－
2
202
＋20×20
=
200
(2)
当x是 20 m 时，绿化带的面积 S 最大．
－
1.解决几何图形中的最值问题的关键是根据图形
的特点和相关计算公式建立二次函数表达式，
再利用二次函数的性质，特别是顶点坐标来解
决问题，注意保证图形存在并有实际意义，所
以通常要对自变量限定取值范围.
规律方法总结
已知一张矩形打印纸的两边长分别为20cm，12cm.现要在打印纸上打印文稿.上下左右各量出相等的宽度.设留出的宽度均为xcm，打印文稿的面积为 ycm2.
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围.
(2)若x为整数，则x为何值时，打印文稿的面积最小
最小面积是多少
x
x
20cm
12cm
练习巩固 几何问题的最值
已知一张矩形打印纸的两边长分别为20cm，12cm.现要在打印纸上打印文稿.上下左右各量出相等的宽度.设留出的宽度均为xcm，打印文稿的面积为 ycm2.
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围.
解：
(1)
x
x
20cm
12cm
根据题意，打印文稿的
长为(20－2x)cm，宽为(12－2x)cm
∴ y=
(12－2x)
(20－2x)
=240－40x－24x＋4x2
=4x2－64x＋240
∵ 0＜12－2x＜12
∴ 0＜x＜6
x
x
20cm
12cm
∵y=4x2－64x＋240，
∵ 0＜x＜6，
(2)
∴ y=4(x－8)2－16
∵ a=4＞0，
∴ y有最小值
∵ x为整数，
∴ x=5时，y值最小.
y最小值=
4×(5－8)2－16
=20
答：留出的宽度为5cm时，打印文稿的面积
最小，最小面积是20cm2 .
且当x=8时，
y取得最小值
∴ x=8不在取值范围内，
∵ a=4＞0，
∴当x＜8时，
y随x的增大而减小.
某旅馆有30个房间供旅客住宿.据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间会住满；若每个房间的定价每增加5元，就会有一个房间空闲，该旅馆对旅客住宿的房间每间要支出各种费用20元/天(没住宿不支出).当房价定为每天多少时，该旅馆每天的利润最大？
例题解析2 求利润的最大值
某旅馆有30个房间供旅客住宿.据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间会住满；若每个房间的定价每增加5元，就会有一个房间空闲，该旅馆对旅客住宿的房间每间要支出各种费用20元/天(没住宿不支出).当房价定为每天多少时，该旅馆每天的利润最大？
解：设房价定为每天x元，利润为y元.
y=
整理，得
y=－ x2＋46x－840
∴y有最大值，
∵ a=－ ＜0 ，
(30－ )
(x－20)
x－60
5
5
1
5
1
解：设房价定为每天x元，每天的利润为y元.
y=
整理，得
y=－ x2＋46x－840
∴y有最大值，
∴当房价定为每天115元时，旅馆每天的利润最大．
∵ a=－ ＜0 ，
(30－ )
(x－20)
x－60
5
5
1
5
1
y最大值=
c
b2
4a
－
=－840
462
4×(－ )
=1805.
相应的x值为
b
2a
x=－
46
2×(－ )
=115
－
5
1
=
5
1
2.利用二次函数解决实际问题中的最值问题，
首先要根据题意建立二次函数表达式，然后
再利用配方法(或公式法)求出何时获得最值，
从而使问题得到解决.
规律方法总结
解：设定价为x元，利润为y元，
y=
则有
整理，得
y=－20x2＋2300x－60000
∴y有最大值，
∴当定价 57.5 元 时，销售利润y最大．
∵ a=－20＜0 ，
某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
[300＋20(60－x)]
(x－40)
相应的x值为
x=
－
=
b
2a
－
2300
2×(－20)
=57.5
练习巩固
5 m
A
B
4 m
16 m
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 4m时，水面宽16m . 水面下降5m，水面宽度增加多少？
(1)求水面宽度增加多少需要什么数据？
需要知道水面下降 5 m后的水面宽度.
如AB.
生活中的抛物线形问题
例题解析3
5 m
(1)求水面宽度增加多少需要什么数据？
需要知道水面下降 5 m后的水面宽度.
A
B
(2)表示水面宽度的线段的端点在哪条曲线上？
抛物线
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 4m时，水面宽16m . 水面下降5m，水面宽度增加多少？
4 m
16 m
5 m
A
B
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 4m时，水面宽16m . 水面下降5m，水面宽度增加多少？
4 m
16 m
(2)表示水面宽的线
段的端点在哪条
曲线上？
(3)如何求出A、B两点的坐标？
要知道A、B两点所在的抛物线解析式.
抛物线
5 m
A
B
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 4m时，水面宽16m . 水面下降5m，水面宽度增加多少？
4 m
16 m
(3)如何求出A、B
两点的坐标？
(4)怎样确定A、B两点所在的抛物线解析式？
要知道A、B两点所在的抛物线解析式
建立适当的坐标系.
5 m
A
B
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 4m时，水面宽16m . 水面下降5m，水面宽度增加多少？
4 m
16 m
(5)如何建立直角坐标系？
(4)怎样确定A、B两点所在
的抛物线解析式？
建立适当的坐标系.
以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
x
y
O
x
y
O
4
8
－4
－8
－4
－8
A
B
(8，－4)
C
D
E
以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
设抛物线的解析式为y=ax2.
拱顶OE离水面 4 m
水面CD宽 16 m
设抛物线的解析式为y=ax2.
∵抛物线经过点D(8，－4)，
∴－4=a×82.
∴a=－ .
∴抛物线的解析式为
当水面下降 5 m时，
即y=－9.
∴－9=－ x2，
∴x1=－12，
24.
∴AB=
水面下降 5 m时，
水面宽度增加8m.
1
16
1
16
1
16
x2=12.
x
y
O
4
8
－4
－8
－4
－8
A
B
(8，－4)
C
D
E
y=－ x2.
拱顶OF离水面 9 m
F
∴AB－CD=24－16=8
3.解决生活中拱桥、喷泉、篮球轨迹等问题，关
键是把实际问题转化为二次函数的模型，恰当
地选择平面直角坐标系，并和用二次函数的性
质解决实际问题.
规律方法总结
3.燃放烟花是一种常见的喜庆活动，小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发射出的第一枚弹的飞行高度h(单位:m)随飞行时间t(单位:s)变化的规律如下表:
飞行时间 t/s 0 0.5 1 4.5 ...
飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5 …
(1)求第一花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式
(不要求写出自变量的取值范围)；
练习巩固
(2)当第一花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度;
(3)为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m，小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求.
∵每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，
∴第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式
为 h=at2＋bt＋2，
第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式为
h= －2t2＋16t＋2.
0.25a ＋0.5b＋c=9.5.
a＋b＋c=16
a=－2
∴
b=16
∴
解： (1)
(2) ∵ h= －2t2＋16t＋2
∴当t=4时，第一枚花弹到达最高点.
∵这种烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，
∴第二枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式是
h= －2t2＋16t＋2.
∴当第一枚花弹到达最高点时，第二枚花弹飞行时间
t=2
= －2(t－4) ＋34
当t=2时，h=
－2 × 2 ＋16 × 2＋2=26(米).
∴当第一枚花弹到达最高点时，第二枚花弹到达的高度为26米.
(3)花弹的爆炸高度符合安全要求，理由如下:
由(1)(2)可知:第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式为 h= －2t2＋16t＋2，
第二枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式是
h=－2(t＋2)2＋16(t＋2)＋2，
第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度
∴ －2(t＋2)2＋16(t＋2)＋2= －2t2＋16t＋2. ，
∴ t=3.
当t=3时，h= －2×32＋16×3＋2=32(米)
∵ 32>30，
∴花弹的爆炸高度符合安全要求.